精品解析：2026届江苏省常熟中学高三模拟考前适应性测试数学试题

2026届江苏省常熟中学高三模拟考前适应性测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则M中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，， 则x的可能取值为5,6,7,8. 因此集合M共有4个元素，故选B. 【考点定位】集合的概念 2. 已知向量若与平行，则实数的值是（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以由于与平行，得，解得. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，结合复数的除法运算化简可得结论. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 4. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】选个空盒：种， 分配个小球到个非空盒 情况一（分法）：种 情况二（分法）：种 总分配方法; 种， 总放法数：种 故选： 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 7. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：A. 8. 已知函数，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，解得，分和三种情况讨论，推出，得，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】函数， 由，得， 当时，由，得或，由，得， 不满足； 当时，由，得或，由，得， 不满足； 当时，函数成立，符合条件， 因此，则， 令，求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，故. 所以最大值为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，点是正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 平面DEF截正方体所得截面的周长为 D. 当直线AP与平面ABCD所成的角为时，点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等体积法求出最大体积判断A，作出符合条件的轨迹并求出其长度判断，利用正方体截面的性质建系判断C. 【详解】对于A，显然为正三角形，， 而， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点P到平面的距离最大， 所以点是正方体表面上到平面距离最大的点，此时三棱锥是棱长为的正四面体， 又点到平面的距离， 则，A正确； 对于B，取中点，中点K，连接，，，由， 得，则，， 由平面，平面，得， 而，，，平面， 因此平面， 所以，得点P的轨迹为四边形（除点A外）， 又，则动点P的轨迹长度为，B错误； 对于C， 建立如上图所示所示的空间直角坐标系， 依题意可得截面是五边形， 显然， 由平面几何知识可知， 因为，所以， 得，同理，可得， 又，， 于是，， ，， 所以平面截正方体所得截面的周长为， C错误； 对于D，由平面平面， 得直线与平面所成的角为， 连接，，由平面，平面，且， 则点P为线段或上任意点（除点A外）， 在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧， 当点P为圆弧上任意点时，连接， 由平面， 得是与平面所成角， 而， 则， 因此点轨迹是线段，及圆弧（除A点外）， 所以P点轨迹长度为，D正确； 故选：AD. 11. 已知，将向量绕原点O逆时针旋转到的位置，M，N为平面内两点，使得，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量的性质，建立平面直角坐标系，利用数形结合，以及圆与圆的位置关系的性质，逐个选项进行计算和验证，进而可得答案. 【详解】 由已知得，，得，向量绕原点O逆时针旋转到，则为等边三角形，，故B正确； 且，过作轴，得，所以，，， 得，得，故A正确； 以为圆心，半径为作圆，以为圆心，半径为2作圆，则圆和圆相交的点就是，联立两圆的方程：， 两圆方程作差，可得点在直线上，整理得， ，化简得，， 所以，，解得其中一个有效的，根据对称性，取该点进行运算即可. 又因为，则点在的垂直平分线上，而的中点坐标为，所以，点在直线上，上， 所以，，， 对于C，因为，所以， ，化简得， ，当且仅当时，，故C正确； 对于D，，故D错； 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的面积为. 故答案为：3 13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求得总的取法数，进而求得符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】每次均有4种不同的取法，故总的取法数有种， 这列数中恰有3个不同整数，则必有一个数取了2次， 故这列数中恰有3个不同整数的取法数有种， 故这列数中恰有3个不同整数的概率为. 故答案为：. 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】函数恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求解. 【详解】令，得， 即，令，， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且时，时， 所以的图象如图所示， 设是经过点的的图象的切线，切点为， 则切线斜率为， 所以的方程为， 又经过点，所以， 即，解得或， 或， 所以由图可知，当或， 即或时，函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数恰有2个零点转化为函数的图象与的图象有两个交点，数形结合求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求C； （2）若，△ABC的面积为，求a，b 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化为，结合，求解即可； （2）由，，联立求解即可 【小问1详解】 因为，所以 即 解得或（舍去） 又，所以 【小问2详解】 由（1）可知，△ABC的面积 又C，所以 所以，即，即（舍负） 故. 16. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱柱中，与的距离为，，． （1）证明：平面平面ABC； （2）若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） 取棱中点D，连接，因为，所以 因为三棱柱，所以， 所以，所以 因为，所以，； 因为，，所以，所以， 同理， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点O，连接，取中点P，连接，则， 由（1）知平面，所以平面 因为平面，平面， 所以，， 因为，则 以O为坐标原点，，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 可设点，， ，，， 设面的法向量为，得， 取，则，，所以 设直线与平面所成角为， 则 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，且，证明：恒成立. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为和； （3）证明如下： 由知， 因为，所以， 所以， 设，，所以. 设，，所以得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，又， 由函数零点存性定理知，有一个零点，且大于0， 由且知是的零点， 当时，， 故，即， 所以当且时，恒成立. 【解析】 【分析】（1）由题可得，即得，从而可求解； （2）求出与的解，从而可求解单调区间； （3）要证，即证，即证，再设，，再结合导数可求得，从而可求解. 【小问1详解】 因为，函数定义域为， 可得，此时，又， 所以曲线在处的切线方程：； 【小问2详解】 由（1）知，当时，； 当或时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和； 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届江苏省常熟中学高三模拟考前适应性测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则M中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知向量若与平行，则实数的值是（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则 C. D. 若，则必有 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，点是正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 平面DEF截正方体所得截面的周长为 D. 当直线AP与平面ABCD所成的角为时，点的轨迹长度为 11. 已知，将向量绕原点O逆时针旋转到的位置，M，N为平面内两点，使得，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______. 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求C； （2）若，△ABC的面积为，求a，b 16. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 17. 如图，在三棱柱中，与的距离为，，． （1）证明：平面平面ABC； （2）若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，且，证明：恒成立. 19. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $