整式乘法，因式分解，分式 寒假综合练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026八年级上册数学《整式乘法，因式分解，分式》综合练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 2．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．若分式的值为0，那么a的值为（    ） A． B．0 C．5 D． 4．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 7．如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 8．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（   ） A．7 B． C． D． 二、填空题 9．如果分式无意义，那么x的取值范围是 ． 10．因式分解： ． 11．计算： ． 12．计算∶ ． 13．若，，则 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为，则a的值为 ； 15．若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数 ． 16．已知．求 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．已知，，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 19．分解因式： (1)； (2)． 20．计算：． 21．解方程： (1) (2) 22．先化简：再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 23．某商店用元购进，两种品牌的螺蛳粉共袋，且购买两种品牌螺蛳粉的费用相同，已知品牌螺蛳粉每袋的进价是品牌螺蛳粉每袋进价的倍． (1)求两种品牌的螺蛳粉每袋的进价； (2)该商店计划用不超过元的资金再次购进两种品牌的螺蛳粉共袋，若，两种品牌的螺蛳粉每袋的进价不变，则最少应购进品牌螺蛳粉多少袋？ 24．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积． 方法1： ；    方法2： (2)观察图2，请你写出代数式之间的等量关系： (3)根据（2）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 25．教材中这样写道：“我们把及这样的式子叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式， ， ∴当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)求代数式的最小值； (3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状并说明理由． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年1月24日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C C A B D 1．D 【分析】本题考查同底数幂相乘，平方差公式，完全平方公式，单项式乘单项式，根据相关的知识逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，故本选项计算错误，不符合题意； 选项B：，故本选项计算错误，不符合题意； 选项C：，故本选项计算错误，不符合题意； 选项D：，故本选项计算正确，符合题意． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查完全平方公式与因式分解，多项式可以用完全平方公式分解因式，则可以写成的形式，由此可解． 【详解】解：， ∵多项式可以用完全平方公式分解因式， ∴， 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了最简分式的定义． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，即分子和分母互质．判断每个选项是否能约分即可． 【详解】解：选项A：，分子和分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项B：，分母因式分解为，与分子有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子和分母无公因式，是最简分式； 选项D：，分子因式分解为，与分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 故选：C． 6．A 【分析】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解． 将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ , 又∵，， ∴ 原式． 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为b的小正方形的面积为10， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法的应用，找出本题的数字规律是解题的关键． 根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和，据此计算求值． 【详解】解：， 的系数是， 故选：D． 9． 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，分母为零． 根据分式无意义的条件是分母为零可得，求解即可． 【详解】解：根据分式无意义的条件，可得分母，解得 ， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了因式分解．提取后，再根据平方差公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 【详解】解：原式 故答案为：． 12． 3 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，利用负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：原式； 故答案为：3． 13．4 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；利用平方差公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：由平方差公式，得． 代入已知条件，，解得． 故答案为4． 14． 【分析】本题考查了作图基本作图，每个象限内点的坐标特点，解分式方程以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点横坐标的绝对值纵坐标的绝对值． 根据基本作图可判断平分，则利用第一象限的角平分线上点的坐标特征得到，然后解关于的分式方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 即点P在第一象限的角平分线上， 所以， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟悉完全平方公式的结构特征，即，并据此建立关于的等式求解． 根据完全平方公式的结构，将多项式与对应，确定，，从而得到，进而求出整数的值． 【详解】解： 多项式能用完全平方公式分解因式， ． ， ． ． 故答案为：． 16． 34 【分析】本题考查完全平方公式的应用，能够熟练运用完全平方公式是解题关键； 由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 即 ． 则 ． 故答案为： 34． 17．(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，整式的混合运算，合并同类项，正确运用幂的运算法则是解题关键． （1）先根据同底数幂的乘法法则计算得到，再根据同底数幂的除法法则计算得到，最后合并同类项； （2）先利用单项式乘多项式法则展开，再利用平方差公式展开，然后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．(1)23 (2)30 (3)37 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据完全平方公式变形求解； （2）将（1）中所求的，以及代入即可求解； （3）根据，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，公式法分解因式，掌握提公因式法分解因式，公式法分解因式是解题的关键． （1）先提取公因式，再用完全平方公式，求解即可． （2）先提取公因式，再用平方差公式，求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 20． 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及：乘方、负整数指数幂、零次幂、绝对值、算术平方根，解题的关键是掌握相关运算法则．先计算乘方、负整数指数幂、零次幂、绝对值、算术平方根，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 21．(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． 22．，（当时） 【分析】本题考查分式的混合运算，因式分解，分式有意义的条件，正确进行因式分解是解题关键．先对括号内分式通分合并，将除法转化为乘法并对所有分子分母因式分解后约分，再与后面的分式合并化简，最后选择合适的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 根据题意可知，要使原分式有意义，则，且， 故令，． 23．(1)品牌螺蛳粉每袋的进价为元，品牌螺蛳粉每袋的进价为元 (2)最少应购进品牌螺蛳粉袋 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意建立关系式是解题的关键． （1）设品牌螺蛳粉每袋的进价为元，则品牌螺蛳粉每袋的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验，即可求解； （2）设购进品牌螺蛳粉袋，则购进品牌螺蛳粉袋，根据题意列出不等式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设品牌螺蛳粉每袋的进价为元，则品牌螺蛳粉每袋的进价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 所以． 答：品牌螺蛳粉每袋的进价为元，品牌螺蛳粉每袋的进价为元． （2）解：设购进品牌螺蛳粉袋，则购进品牌螺蛳粉袋． 根据题意，得． 解得． 答：最少应购进品牌螺蛳粉袋． 24．(1)； (2) (3)①5；② 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景和转化，熟练对公式变形是解题关键． （1）方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出； （2）由图2可知两种方法所得大正方形的面积值相等，从而得到； （3）①由（2）公式可变形得，代入求出的值即可； ②令，，从而得到，由可得，利用（2）公式求出的值即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， 方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积， ∴大正方形的面积为：； 故答案为：方法1：；方法2：； （2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为； 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．(1) (2)3 (3)等腰三角形；理由见解析 【分析】本题考查了完全平方式的应用，等腰三角形的定义，平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）将原式化为，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （2）将原式配方得，即可解答； （3）原式可化为，进而得到的值，即可判断的形状． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∵， ∴的最小值是3． （3）解：等腰三角形，理由如下： ， ， ， ∵，，， 是等腰三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $