第八章 实数 单元测试 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第八章《实数》测试卷2025-2026学年人教版七年级数学下册 1、 选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．的算术平方根是（　　 ） A．2 B． C． D． 2．数，，，，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个）中，无理数出现的频率为（　　 ） A．0.9 B．0.5 C．0.3 D．0.1 3．下列说法中错误的是（　　 ） A．9的算术平方根是3 B．的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 4．估计的值在（　　 ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 5. 把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中， 被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　 ） A． B． C． D．﹣ 6. 如图为小亮的答卷，他的得分应是（　　 ） A．10分 B．8分 C．6分 D．4分 7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心， 对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　 ）      A． B． C． D．2.5 8． 已知，则x，，，的大小关系为（　　 ） A． B． C． D． 9． 如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（　　 ） A．输入值为16时，输出值为4 B．输入任意整数，都能输出一个无理数 C．输出值为时，输入值为9 D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值 10． 对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，． 例如：．已知，且和为两个连续正整数， 则的立方根为（　　 ） A． B．1 C． D．2 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 11．比较大小： . 12．a、b为实数，在数轴上的位置如图所示，则+的值是 ． 13.已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体， 截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm． 14．若，，则 ． 15．若则， ． ． 16．若一个正数的平方根分别是和，这个正数是 . 17． 在草稿纸上计算：①，②，③…， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： = ，= ． 18.对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，． 现对82进行如下操作： ，这样对82只需进行3次操作后变为1． 类似地，对625只需进行 次操作后变为1． 3、 解答题：（本题共7小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。） 19．将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{     …} ②无理数集合{     …} ③负实数集合{     …} 20．计算： (1)； (2)． 21．求下列各式中的值： (1)； (2)． 22．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 23．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题． ；；    （1）请用含有为正整数的等式______； （2）推算出______． （3）求出的值． 24. 选取三个互不相等的整数，若任意两数的乘积的算术平方根都是正整数， 则称这三个数为“和谐数”，其乘积的算术平方根为“和谐根”． 例如：4，9，25这三个数．，，，其结果6，10，15都是整数， 所以4，9．25这三个数称为“和谐数”，6，10，15称为“和谐根”． (1) 取三个负整数，，，请问这三个数是“和谐数”吗？请说明理由； (2) ①根据题干中的条件任意写出一组“和谐数”________（要求三个数字都为正整数）； ②请根据做题经验，任意写出一条你新写“和谐数”的心得． 25．阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分， 我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1) 请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2) 若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3) 已知，其中是整数，且，求的平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章《实数》测试卷2025-2026学年人教版七年级数学下册（解析卷） 1、 选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．的算术平方根是（　　 ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握并深刻理解算术平方根的定义是解题的关键． 先求得的值，再继续求它的算术平方根即可得出答案． 【详解】解：， 而的算术平方根是， 的算术平方根是， 故选：C． 2．数，，，，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个）中，无理数出现的频率为（　　 ） A．0.9 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、无理数，频率，根据算术平方根、无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）逐个判断即可得无理数个数，再根据频率频数总数即可求解．熟记无理数的概念是解题关键． 【详解】解：， 则无理数有，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个），共3个， ∴无理数出现的频率为， 故选：B． 3．下列说法中错误的是（　　 ） A．9的算术平方根是3 B．的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 【答案】C 【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，故本选项错误； B、的平方根是，故本选项错误； C、27的立方根是3，故本选项正确； D、立方根等于1的数是1，故本选项错误； 故选C． 4．估计的值在（　　 ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，用夹逼法估算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在3到4之间， 故选：B． 5. 把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中， 被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　 ） A． B． C． D．﹣ 【答案】B 【分析】设被墨迹覆盖住的无理数为x，由图可知：3＜x＜4，得，进而解决此题． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为x． 由图可知：3＜x＜4． ∴． ∵， ∴x＝． 故选：B． 6. 如图为小亮的答卷，他的得分应是（　　 ） A．10分 B．8分 C．6分 D．4分 【答案】C 【分析】本题考查平方根，关键是根据平方根、相反数和绝对值的定义进行解答，掌握相关概念是解题的关键； 根据平方根、相反数和绝对值的定义进行解答即可． 【详解】解：①的平方根是，原答案错误； ②的绝对值是，正确； ③，正确； ④，原答案错误； ⑤的相反数是2，正确； 所以得分是分， 故选：C． 7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心， 对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　 ）      A． B． C． D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是， 故选：C． 8．已知，则x，，，的大小关系为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，代入数值分别求出具体数值，比较得出答案即可． 【详解】解：假设，则，，， ∵； ∴． 故选：C． 9．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（　　 ） A．输入值为16时，输出值为4 B．输入任意整数，都能输出一个无理数 C．输出值为时，输入值为9 D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值 【答案】D 【分析】根据运算规则即可求解． 【详解】解∶A．输入值x为16时，，，即y=，故A错误； B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误； C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误； D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确； 故选∶D． 10． 对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，． 例如：．已知，且和为两个连续正整数， 则的立方根为（　　 ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．本题主要考查新定义无理数的估算，立方根的运算，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a和b为两个连续正整数，，， ∴即，， ∴， ∴， 则的立方根为的1， 故选：B． 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 11．比较大小： . 【答案】> 【分析】因为两数的分母相同，比较分子的大小即可． 【详解】解：∵1>-1 ∴>. 故答案为 > 12．a、b为实数，在数轴上的位置如图所示，则+的值是 ． 【答案】b﹣2a． 【分析】根据数轴可知a小于0，b大于0，从而得到a﹣b小于0，根据负数的绝对值等于它的相反数可把第一个加数化简，然后根据=|a|及a为负数，把第二个加数化简，合并即可求出值． 【详解】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0， ∴a﹣b＜0， 则+ 故答案为b﹣2a． 13.已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体， 截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm． 【答案】4 【分析】此题主要考查了立方根的应用，设截得的每个小正方体的棱长，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是，则 由题意得， 解得． 答：截去的每个小正方体的棱长是． 故答案为：4． 14．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根，由题意得出被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解． 【详解】解：，， 被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， ， 故答案为：． 15．若则， ． 【答案】-1 【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得． 【详解】解：∵， ∴a-1=0，b+2=0，c-3=0， ∴a=1，b=-2，c=3， ∴． 16．若一个正数的平方根分别是和，这个正数是 . 【答案】  9 【详解】由于一个正数有两个平方根且互为相反数， 所以，即，所以此正数为9. 17． 在草稿纸上计算：①，②，③…， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： = ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 18.对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，． 现对82进行如下操作： ，这样对82只需进行3次操作后变为1． 类似地，对625只需进行 次操作后变为1． 【答案】四 【分析】本题考查了无理数的估算，新定义．根据程序图一步一步计算即可得出答案． 【详解】解：第一次，， 第二次，， 第三次，， 第四次，， ∴对625只需进行四次操作后变为1． 故答案为：四． 3、 解答题：（本题共7小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。） 19．将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{     …} ②无理数集合{     …} ③负实数集合{     …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【分析】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 【详解】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）原式． （2）原式． 21．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义，准确计算即可． （1）直接开平方即可； （2）两边同时除以，然后两边开立方即可． 【详解】（1）解： 或； （2）解： ． 22．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 23．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题． ；；    （1）请用含有为正整数的等式______； （2）推算出______． （3）求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （2）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可． 【详解】（1） 解：由题意得：， 故答案为：； （2） ， 所以， 故答案为：； （3） ． 24. 选取三个互不相等的整数，若任意两数的乘积的算术平方根都是正整数， 则称这三个数为“和谐数”，其乘积的算术平方根为“和谐根”． 例如：4，9，25这三个数．，，，其结果6，10，15都是整数， 所以4，9．25这三个数称为“和谐数”，6，10，15称为“和谐根”． (1) 取三个负整数，，，请问这三个数是“和谐数”吗？请说明理由； (2) ①根据题干中的条件任意写出一组“和谐数”________（要求三个数字都为正整数）； ②请根据做题经验，任意写出一条你新写“和谐数”的心得． 【答案】(1)三个负整数，，，是“和谐数”理由见解析； (2)①（答案不唯一）；②任意两个数的乘积都是完全平方数． 【分析】此题考查了算术平方根、积的算术平方根等知识， （1）根据“和谐数”的定义进行计算验证即可； （2）①根据定义写出一组和谐数即可；②根据经验写出心得即可． 【详解】（1）三个负整数，，，是“和谐数”， 理由如下：∵，，， ∴三个负整数，，，是“和谐数”； （2）①∵，，， ∴正整数这三个数称为“和谐数”； 故答案为： ②根据做题经验，称为和谐数的三个数满足以下条件：任意两个数的乘积都是完全平方数． 25．阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分， 我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1) 请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2) 若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3) 已知，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的小数部分为； （2）解：， ，， ，， ； （3）解： ， ∴， ∴， 又∵，其中是整数，且， ∴， ∴， ∴的平方根是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $