精品解析：四川省绵阳市涪城区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度九年级上册期末教学质量监测试卷 （九年级数学） 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求．） 1. 下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 叶玫瑰线 B. 阿基米德螺线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 3. 如图，有4张大小、形状、背面完全相同的扑克牌，小康和小新玩扑克游戏：小新将这扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让小康随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字．小新从中抽取一张，再记下牌面上的数字，则他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，作树状图，然后求解即可． 【详解】根据题意，作树状图为： 由树状图可得，共有12种等可能结果，其中两数字之和为奇数的有8种结果，所以 P（数字之和为奇数） 故选：D 【点睛】本题主要考查了求概率，能根据题意画出树状图，利用概率公式求解是解决问题的关键． 4. 如图，是圆O的直径，交圆O于点F，且与圆O的切线互相垂直，垂足为D．若，，则圆的半径是（ ） A. B. 5 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．连接，利用勾股定理求得，利用切线的性质定理，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的判定与性质得到，利用圆周角定理和垂直的性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴， ∴． ∵为圆的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴圆的半径是． 故选：B． 5. 若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，涉及直接开平法解一元二次方程，熟练掌握一次函数与反比例函数交点问题是解题的关键．联立与得，利用双曲线与直线一定有交点，则方程有解，即可求解． 【详解】解：由题意得， 化简为：， ∵双曲线与直线一定有交点， ∴方程有解， 又∵双曲线中， ∴， 解得：， 故选：A． 6. 如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证即可判断②；取的中点，连接，可得，即可判断③；连接，根据可得，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴关于对称， ∴，故②正确； 取的中点，连接，如图所示： 则， 即：， ∴以为圆心，为半径，则四点共圆，故③正确； 连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：平分； 同理可得：平分； ∴M是的内心．故④正确； 故选：D． 7. 下列语句中正确的说法是（ ） A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C. 长度相等的弧是等弧 D. 圆内接矩形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．根据垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； D、圆内接矩形是不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 8. 已知直线与抛物线在第二象限有两个公共点，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据直线与抛物线在第二象限有两个公共点，可以得到方程有两个不同的负实数根，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵直线与抛物线在第二象限有两个公共点，即公共点横坐标都是负数， ∴方程有两个不同的负实数根， 整理得方程有两个不同的负实数根， ∴与轴交点有两个，且交点横坐标都是负数， 各个选项中只有C选项符合要求， 故选：C． 9. 如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识，先由等腰三角形的性质得到，再由旋转得到，即可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵，，O为中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 10. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 11. 如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据含30度角直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积之和为，再求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 以的三条边为直径作半圆， ∴阴影部分的面积之和为 ． 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质． 过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E，推出为反比例函数图象的对称轴，通过证明，得出，的面积，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E， 由旋转可知， ∵， ∴点A和点B关于对称，， ∴为反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴的面积， 故选：D． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应横线上．） 13. 如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为______． 【答案】##123度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质得到即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点成中心对称的点的坐标特点，代数式求值，解题的关键在于根据对称求出的值． 根据关于原点对称的点的纵、横坐标互为相反数，求出的值，再将的值代入中计算，即可解题． 【详解】解：点与点关于原点成中心对称， ， 则的值为， 故答案为：． 15. 将抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后所得到的抛物线是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行分析解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移2个单位所得直线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：． 故平移后的抛物线的函数关系式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是解题的关键． 16. 某校八年级选举了4名同学获得“学习之星”荣誉，其中有2名女同学，2名男同学，在这4名同学中随机选2名同学作为学生代表在期末大会上发言，那么恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表格法求概率，由题意列出表格，然后根据概率公式，即可求出答案． 【详解】解：列表如下： 女1 女2 男1 男2 女1 ﹣﹣﹣ （女1，女2） （女1，男1） （女1，男2） 女2 （女2，女1） ﹣﹣﹣ （女2，男1） （女2，男2） 男1 （男1，女1） （男1，女2） ﹣﹣﹣ （男1，男2） 男2 （男2，女1） （男2，女2） （男2，男1） ﹣﹣﹣ 总共有12种等可能结果，其中恰好有1名男同学，1名女同学的结果有8种， ∴恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率， 故答案为：． 17. 如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决几何问题，关键是根据正方形与拼接后矩形的面积相等，结合边长的关系列方程求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形的边长为4． 设的长为，由拼图结构可知，矩形的另一边长度为． ∴， 整理得， 由求根公式得， ∴(舍去负值)． 故答案为：． 18. 已知的弦，优弧上的点到的最大距离为1.6，直线，若上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过O点作于D点，连接，先利用垂径定理以及勾股定理求出圆的半径，再数形结合即可求解． 【详解】如图，过O点作于D点，连接， 根据题意有：，，即， ∵， ∴， ∴在中，有， ∴， 解得：， ∵上有4个不同的点到l的距离等于0.4， 结合图形可知，当直线往右移动时，的值将无限接近， 若，此时上只有3个不同的点到l的距离等于0.4，不符合题意， 当直线过圆心时，，满足要求， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直线与圆的关系，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针旋转，得到，写出的坐标，求出扫出的面积． （2）作出的外接圆，不写做法，保留作图痕迹，并直接写出圆心的坐标． 【答案】（1）图见解析，的坐标为，扫出的面积为； （2）图见解析，圆心的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据旋转作图步骤画出，进而写出的坐标，由旋转得到扫出的图形为一个圆心角为的扇形，结合勾股定理求出扇形半径，再结合扇形面积公式求解，即可解题； （2）根据垂直平分线作法，以及方格特点，作的垂直平分线，的垂直平分线交点即为圆心，连接，以为半径画圆即可得到外接圆，再利用垂直平分线特点，以及勾股定理进行计算求解，即可得到圆心的坐标． 【小问1详解】 解：所作如图所示： 由图知，的坐标为， ， 扫出的面积为； 【小问2详解】 解：所作外接圆如图所示： ，，． 由垂直平分线的性质可知，， 设， ， ， 解得， 即圆心的坐标为． 【点睛】本题考查了旋转作图，扇形面积公式，勾股定理，垂直平分线作法，垂直平分线性质，作三角形外接圆，解题的关键在于熟练掌握相关知识点． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明见详解； （2）2或． 【解析】 【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可； （2）不妨设方程两实数根为且，则，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，进而变形即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程的根的判别式 ， 不论取任何实数，都有即成立； 当时，方程有两个不相等的实数根， 当时，方程有两个相等的实数根； 故该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：不妨设方程两实数根为且， 则， ， 又， ， 或， 故的值为2或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式以及直接开平方求解一元二次方程等知识，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系的应用是解答此题的关键． 21. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球． （1）估计袋子中白球的个数约为___________． （2）如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，取一个红球和一个白球放入任意两个不同区域内，求两球放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设袋子中白球的个数为个，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 设袋子中白球的个数为个，根据题意， 解得：（经检验，是原方程根）， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下， ① ② ③ ④ ① ① ①③ ①④ ② ②① ②③ ②④ ③ ③① ③② ③④ ④ ④① ④② ④③ 共有12种等可能结果，符合题意的有8种， ∴两球放在相邻的两个区域的概率为 【点睛】本题考查了根据频率估计概率，已知概率求数量，列表法求概率，掌握概率的求法是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点 （1）求直线的表达式； （2）将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若，请求出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数图象的平移，理解是关键． （1）把的坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，然后把的坐标代入直线解析式，利用待定系数法求得直线的解析式； （2）记平移后直线与轴的交点为，则，根据可得，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， ． 点． 把点代入， 得：， ． 直线的表达式为：． 【小问2详解】 记平移后的直线与轴的交点为，则，连接． ． ． 即：． ． 23. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，问题如下： （1）若获得的利润为1000元，应该如何定价？ （2）如何定价才能使利润最大？ 【答案】（1）50元/件或80元/件 （2）65元/件 【解析】 【分析】（1）先利用销量每件利润得出y与x的函数关系式，再利用y＝1000，解方程求出即可； （2）利用配方法求二次函数最值，解出即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 令， 解得：， ∴当售价为50元/件或80元/件时，利润可达1000元； 【小问2详解】 由题意可得： ， ∴当时，函数有最大值1225， ∴当定价为65元/件时，利润最大． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题关键． 24. 如图，的顶点A，D在上，边切于点M，连接，，交于点N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若圆心O在边上，连接，，若，，，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，并延长交于点E，根据相切得到，在中，由，得到，可得垂直平分线段，问题得解； （2）由，，可得，根据（1）的证明方法，同理可得：，即有，根据四边形内接于，有，，进而可得，，，根据，有，，进而有，，即可证明，即有，即，再证明，即有，可得，在中，，在中，，进而可得方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：连接，并延长交于点E， ∵边切于点M， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ∵圆心O在边上， ∴为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据（1）的证明方法，同理可得：， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 整理：， 解得：或， ∵在钝角中，， ∴， ∴，故不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∵， ∴的半径为． 【点睛】本题是一道圆与三角形的综合题，主要考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及解一元二次方程等知识，证明和是解答本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，与x轴正半轴交于点A，点A坐标． （1）求b，c的值； （2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，，点D在上，，交于点C，，点E在第二象限，连接，，连接，过点E作的垂线，交过点F且平行的直线于点G，连接交于点M，过点A作x轴的垂线，交的延长线于点B，交的延长线于点R，，连接并延长交抛物线于点N，，点T在内，连接，，，，交的延长线于点H，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点和点代入解析式计算即可得解； （2）由（1）得抛物线的解析式为，则，过P作轴于点J，则，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）作轴于J，连接，连接，作于W，作于V，作轴于S，延长，交于Q，由题意可得，证明为等腰直角三角形，证明四边形为正方形，证明点F、G、B共线，，得出，．设，，依次证明，，，可得．作于K，证明，，．则，，设，可得 ．延长，交于X，作于L，交于Z，设交x轴于Y，则．设，则，．可证 ．则，最后利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入抛物线得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵点P为第二象限内抛物线上一点， ，如图：过P作轴于点J， ． ， ． ． 【小问3详解】 （3）如图1， 作轴于J，连接，连接，作于W，作于V，作轴于S，延长，交于Q， 则． 把代入得，． ， ． ． ， ． ． 是等腰直角三角形， ∴可得四边形是正方形 ，． ， ． ， ． ∴点F、G、B共线． ，， ． ∴点G、E、D、B共圆． ，． ． ． ， ． ， ． ． ． ，． 设，， ，． ，． ， ． ∴． ． ． ， ． ∴． ∴． ． ，． ∴，． ， ． ∴． ∴． ∴． ． ， ∴． ， ． ． 作于K，由得， ∴． ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ． ． ∴． ，， 设， ，， ，． ， ． ， ∴． ∴． ． ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2， 延长，交于X，作于L，交于Z，设交x轴于Y， ， ，． ． ． ． ． 设，则，． ，， ． ， ． ，， ． ． ， ∴． ∴． ∴． ． ，设直线的解析式为：． 解得． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题，相似三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度九年级上册期末教学质量监测试卷 （九年级数学） 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求．） 1. 下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 叶玫瑰线 B. 阿基米德螺线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 2. 若关于一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，有4张大小、形状、背面完全相同的扑克牌，小康和小新玩扑克游戏：小新将这扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让小康随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字．小新从中抽取一张，再记下牌面上的数字，则他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是圆O的直径，交圆O于点F，且与圆O的切线互相垂直，垂足为D．若，，则圆的半径是（ ） A B. 5 C. 10 D. 5. 若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 下列语句中正确的说法是（ ） A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C. 长度相等的弧是等弧 D. 圆内接矩形是正方形 8. 已知直线与抛物线在第二象限有两个公共点，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A B. C. D. 11. 如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（ ） A. 3 B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应横线上．） 13. 如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为______． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 15. 将抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后所得到的抛物线是______. 16. 某校八年级选举了4名同学获得“学习之星”荣誉，其中有2名女同学，2名男同学，在这4名同学中随机选2名同学作为学生代表在期末大会上发言，那么恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率为 ___________． 17. 如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 18. 已知的弦，优弧上的点到的最大距离为1.6，直线，若上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为__________． 三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针旋转，得到，写出坐标，求出扫出的面积． （2）作出的外接圆，不写做法，保留作图痕迹，并直接写出圆心的坐标． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的差为2，求的值． 21. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球． （1）估计袋子中白球的个数约为___________． （2）如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，取一个红球和一个白球放入任意两个不同区域内，求两球放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点 （1）求直线的表达式； （2）将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若，请求出的取值范围． 23. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，问题如下： （1）若获得的利润为1000元，应该如何定价？ （2）如何定价才能使利润最大？ 24. 如图，的顶点A，D在上，边切于点M，连接，，交于点N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若圆心O在边上，连接，，若，，，求的半径． 25. 在平面直角坐标系中，点O坐标原点，抛物线经过点，与x轴正半轴交于点A，点A坐标． （1）求b，c的值； （2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，，点D在上，，交于点C，，点E在第二象限，连接，，连接，过点E作的垂线，交过点F且平行的直线于点G，连接交于点M，过点A作x轴的垂线，交的延长线于点B，交的延长线于点R，，连接并延长交抛物线于点N，，点T在内，连接，，，，交的延长线于点H，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $