精品解析：贵州省遵义市第二十三中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期学科素养练习 八年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效， 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列“最美播州”四个字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选B． 2. 蚕丝是人类最早利用的动物纤维之一，其截面圆的直径约为0.000018m．数据0.000018用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的形式为，其中，n为整数，对于小于1的数，n为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数，然后问题可求解． 【详解】解：数据0.000018用科学记数法表示为； 故选B． 3. 下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，逐一验证各选项中较小的两边之和是否大于第三边即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、，能组成三角形，故此选项符合题意； D、，不大于，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式（除了1）的分式，根据最简分式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握最简分式的定义是解此题的关键． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查各选项分子分母的公因式，即可判断． 【详解】∵ A中分子分母有公因数4，可约分为，不是最简分式； ∵ B中分母，与分子有公因式，可约分，不是最简分式； ∵ C中分子m与分母无公因式，且分母不能分解因式，故为最简分式； ∵ D中分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． ∴ 最简分式是C． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、合并同类项及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘除法、合并同类项及积的乘方进行求解即可． 【详解】解：选项A：，符合指数运算规则，正确； 选项B：与不是同类项，不能合并，错误； 选项C：，错误； 选项D：，错误； 故选：A． 6. 如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，准确判断是解题的关键． 对每一项进行分析即可得解． 【详解】选项作的是边上的高，此选项符合题意； 选项三角板未过点，故作的不是高，此选项不符合题意； 选项作的是边上的高，此选项不符合题意； 选项作的是边上的高，此选项不符合题意． 故选：． 7. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题，大意是：粮仓开仓收粮，有人送来谷米石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得粒，其中夹有谷粒粒，假定谷米中谷粒按数量的比例与其按体积的比例相等，则这批谷米内夹有谷粒约为（ ） A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，通过样本中夹谷粒的比例估算总体中夹谷粒的数量即可． 【详解】解：∵样本中夹谷粒的比例为， ∴总体中夹谷粒约为（石）． 故选：B． 8. 如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，具体步骤如下： ①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②画射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，与上一步所画弧交于点； ④过点画射线，则． 从作图过程中，能判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由作图可知，然后问题可求解． 【详解】解：由作图可知， ∴； 故选D． 9. 如图，将播州区图书馆的标志平面示意图放在平面直角坐标系中，A，B两点关于y轴对称．若点的坐标为，点坐标为，则值为（ ） A. 2 B. 1.5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可解． 【详解】解：，关于y轴对称， 解得， 故选：D． 10. 将关于的多项式因式分解得，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将展开，与原多项式比较即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵原多项式为， ∴， 故选：． 11. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，记载一道题，大意为：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，绫布每尺价格与罗布每尺价格之和为120文，由此列方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺，由题意可列方程为； 故选B． 12. 如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（ ） A. B. 16 C. 15 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积，解题的关键是理解题意；由题意可设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有， ∵， ∴， ∵两个正方形面积之差为16， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 某公司研发了一款智能无人机，如图是该无人机经过5次升级后每次续航时长的折线统计图，第___________次升级续航时长增加得最多． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，从统计图中获取有用信息是解答本题的关键．根据折线统计图上的数据解答即可． 【详解】解：由题意可知，第2次升级续航时长增加得最多，增加超过10分钟，其他均为增加5分钟． 故答案为：2． 15. 已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 16. 如图，在等腰直角和钝角中，点在线段上，连接，．若，且点到的距离为时，则点到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键． 过点作于，交于，过点作于，连接，延长到，使，连接，利用证明，得出，根据等腰直角三角形的性质得出及含角的直角三角形的性质得出，，证明，，得出，根据外角性质及等边对等角得出，即可得答案． 【详解】解：过点作于，交于，过点作于，连接，延长到，使，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵等腰直角中，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为． 故答案为： 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤以及实数的混合运算法则． （1）分别计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再进行加减计算； （2）两边同乘以，化成整式方程，解这个整式方程，检验，即可． 【详解】解：（1）； （2）， 两边同乘以，得， 移项合并，得， 检验，是原分式方程的根， ∴原方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中；小欣的化简过程如下： 解：原式………………第一步 ………………………………………第二步 ……………………………………………………第三步 小欣的化简过程是否正确？如果正确，请求出式子的值；如果错误，从第___________步开始错的，并写出正确解答． 【答案】二， 正确解答如下： 原式 ； 当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．小欣在第二步错误地改变了乘除运算顺序，将原式中的÷和×优先计算了后两个分式的乘积，但乘除运算应从左向右依次进行，正确化简后得到，代入，即可求解． 【详解】解：小欣在第二步错误地改变了乘除运算顺序，将原式中的÷和×优先计算了后两个分式的乘积，但乘除运算应从左向右依次进行； 19. 如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接． （1）求的度数； （2）若的面积为，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，是中线， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴对称的，写出的坐标； （2）在轴上作点，连接，，使的周长最小，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求，的坐标为； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用轴对称求线段的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中找出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可；关于y轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得的坐标； （2）由轴对称的性质得，则，当A，，D共线时，等号成立，的周长最小，因此求出直线与y轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与B关于y轴对称， ， ， 当A，，D共线时，等号成立，的周长最小，如图： 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 21. 如图，在和中，，，，在同一条直线上，连接，， （1）写出一组平行的边，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若的面积为10，，求的面积． 【答案】（1），（答案不唯一） 理由：∵， ∴， ∴； ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ，理由如下： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的判定定理及三角形的中线与面积关系，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的判定定理及三角形的中线与面积关系是解题的关键； （1）根据全等三角形的性质及平行线的判定定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∵的面积为10，， ∴， ∴． 22. 播州区苟坝会议会址是红色旅游热门景点，为提升游客体验，景区引入了两种电动观光车接驳游客．某兴趣小组以此为契机，开展了以“景区观光车运行与采购方案设计”为主题的项目式学习． 素材 A型观光车比B型观光车平均每小时少行驶4千米．A型观光车从景区入口到陈列馆行驶6千米的时间与B型观光车从景区入口到会议旧址行驶7.2千米的时间相同． 问题解决 任务1 （1）求两种观光车的速度． 任务2 （2）若景区计划采购观光车共15辆，A型每辆8万元，B型每辆10万元．若15辆车都在行驶的情况下，1小时行驶总路程不少于310千米，应如何采购才能使总费用最低？ 【答案】（1）A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时 （2）采购A型观光车辆，B型观光车辆才能使总费用最低 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程及不等式的应用，根据题意，准确找出关系是解题的关键． （1）设A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时，则，再解方程即可； （2）设采购A型观光车辆，B型观光车辆，则，，再代入解不等式即可得到，结合观光车的费用即可求解． 【详解】解：设A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时， ，整理得， 即，解得， 答：A型观光车的速度为千米/小时，则B型观光车的速度为千米/小时； （2）解：设采购A型观光车辆，B型观光车辆， ，且， ，解得， 又观光车的费用， 所以应尽量多采购A型观光车才能使费用更低， 故时，费用最低， 答：采购A型观光车辆，B型观光车辆才能使总费用最低． 23. 在中，点为上一点，用下列方法作射线： 如图1，①以点为圆心，适当长度为半径画弧，交线段和线段于，两点； ②以点为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，与第②步中所画的弧交于点； ④作射线． （1）与的位置关系为___________； （2）如图2，在射线上找一点，使，连接，求证：平分； （3）在（2）的条件下，如图3，交于点，交的中点于点，．若，，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3） 【解析】 【分析】（1）由尺规作图的步骤可知，根据“同位角相等，两直线平行”得出； （2）由得，由得，即可得，即平分； （3）过点作，垂足为，连接，由 且，可得，由平分得，由，，可得，，可证，可得，结合得，可证三角形是等边三角形，结合是中点，可得是的垂直平分线，得，可得，进而得，由得，可得，进而得，由得，即可得，即可得出的值． 【小问1详解】 解：根据尺规作图的步骤可知，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，垂足为，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵平分 ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵是中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线间的距离、等边三角形的判定与性质、角所对直角边是斜边的一半、全等三角形的判定与性质，从尺规作图中得到并结合角度推导判定等边三角形是解题的关键 24. 新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． （1）初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； （2）进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； （3）拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 【答案】（1）40 （2）“比肩数”为，60是比肩数 （3） 证明：由（2）可知：， ∴ ， ∵是完全平方数 ∴是一个完全平方数的4倍． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“比肩数”的定义可直接代入进行求解； （2）设两个连续正整数为和，根据“比肩数”的定义可得，然后问题可进行求解； （3）由（2）可知：，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴这个比肩数是； 故答案为40； 【小问2详解】 解：设两个连续正整数为和，则根据“比肩数”的定义可知： ， ∴“比肩数”是两个连续正整数积的两倍， ∵， ∴60是“比肩数”； 【小问3详解】 略 25. 综合与实践 【知识背景】在中，． 【操作探究】 操作一：在射线上有点，连接，过点作的垂线，交于点； 操作二：射线与射线交于点； 【初步探究】 （1）当在线段上时，补全图1，写出一对互余的角：___________； 【继续探究】 （2）若是的角平分线，求证：； 【拓展探究】 （3）连接．若，直接写出的面积． 【答案】 （1）如图所示：中，，，交延长线于， ∴， ∴互余的角为与， 故答案为：与（答案不唯一） （2）如图所示， ∵是的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． （3）或． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定及三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）根据互余的定义，找出和为的两个角即可； （2）利用证明，得出，利用证明，得出，即可证明； （3）过点作于，于，分点在线段上和在延长线上，两种情况，分别证明，，得出，，求出，或，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，当点在线段上时，过点作于，于， 同（2）可证明， ∴，， ∴平分 ∴， ∴、都是等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 如图，当点在延长线上时， 同理可得：， ∴， ∴． 综上所述：的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期学科素养练习 八年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效， 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列“最美播州”四个字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 蚕丝是人类最早利用的动物纤维之一，其截面圆的直径约为0.000018m．数据0.000018用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题，大意是：粮仓开仓收粮，有人送来谷米石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得粒，其中夹有谷粒粒，假定谷米中谷粒按数量的比例与其按体积的比例相等，则这批谷米内夹有谷粒约为（ ） A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 8. 如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，具体步骤如下： ①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②画射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，与上一步所画弧交于点； ④过点画射线，则． 从作图过程中，能判定的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将播州区图书馆的标志平面示意图放在平面直角坐标系中，A，B两点关于y轴对称．若点的坐标为，点坐标为，则值为（ ） A. 2 B. 1.5 C. D. 10. 将关于的多项式因式分解得，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，记载一道题，大意为：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（ ） A. B. 16 C. 15 D. 8 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解：________ 14. 某公司研发了一款智能无人机，如图是该无人机经过5次升级后每次续航时长的折线统计图，第___________次升级续航时长增加得最多． 15. 已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 16. 如图，在等腰直角和钝角中，点在线段上，连接，．若，且点到的距离为时，则点到的距离为___________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中；小欣的化简过程如下： 解：原式………………第一步 ………………………………………第二步 ……………………………………………………第三步 小欣的化简过程是否正确？如果正确，请求出式子的值；如果错误，从第___________步开始错的，并写出正确解答． 19. 如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接． （1）求的度数； （2）若的面积为，，求的长度． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴对称的，写出的坐标； （2）在轴上作点，连接，，使的周长最小，并直接写出点的坐标． 21. 如图，在和中，，，，在同一条直线上，连接，， （1）写出一组平行的边，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若的面积为10，，求的面积． 22. 播州区苟坝会议会址是红色旅游热门景点，为提升游客体验，景区引入了两种电动观光车接驳游客．某兴趣小组以此为契机，开展了以“景区观光车运行与采购方案设计”为主题的项目式学习． 素材 A型观光车比B型观光车平均每小时少行驶4千米．A型观光车从景区入口到陈列馆行驶6千米的时间与B型观光车从景区入口到会议旧址行驶7.2千米的时间相同． 问题解决 任务1 （1）求两种观光车的速度． 任务2 （2）若景区计划采购观光车共15辆，A型每辆8万元，B型每辆10万元．若15辆车都在行驶的情况下，1小时行驶总路程不少于310千米，应如何采购才能使总费用最低？ 23. 在中，点为上一点，用下列方法作射线： 如图1，①以点为圆心，适当长度为半径画弧，交线段和线段于，两点； ②以点为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，与第②步中所画的弧交于点； ④作射线． （1）与的位置关系为___________； （2）如图2，在射线上找一点，使，连接，求证：平分； （3）在（2）的条件下，如图3，交于点，交的中点于点，．若，，求的值． 24. 新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． （1）初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； （2）进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； （3）拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 25. 综合与实践 【知识背景】在中，． 【操作探究】 操作一：在射线上有点，连接，过点作的垂线，交于点； 操作二：射线与射线交于点； 【初步探究】 （1）当在线段上时，补全图1，写出一对互余的角：___________； 【继续探究】 （2）若是的角平分线，求证：； 【拓展探究】 （3）连接．若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $