青海省湟川中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

青海湟川中学2025一2026学年第一学期期末考试 高二数学参考答案 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.C 7.D 8.B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.ABD 10.ABD 11.AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 2苦=1（或号0 13.2×32024 14.②④ (每道解答题只提供一种解法)】 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分13分) (1)解：设P(x,y) 则IP1 x-2+6- 1 IPBT= Vx-22+(y-2 =2 化简得x2+y2-4x+3=0 即(x-2)2+y2=1 (2)解：由(x-2)2+y2=1知，圆心为C(2,0),半径r=1 因为(0-2)2+32>1 所以点Q(0,3)在圆外 1CQ1=VW(2-0)2+(0-32=√13 所以|PQlm=1CQ1+r=1+√13,1 PO=lCQ1-r=√/13-1 (3)解：因为圆心C(2,0)到直线x+y+1=0的最小距离为d=2+0+山-3y2 2 2 所以曲线E上的点到直线x+y+1=0的最小距离为d-,=3y巨-1 2 16.（本题满分15分) (1)解：设等差数列{an}中，公差为d 则=3与a+d:33a=1 a=9la+4d=99{d=29a=2n-l 由Sn=2bn-1得 当n=1时，b1=2b1-1→b1=1 当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2bn-1-(2bn-1-1)→bn=2bn-1(n≥2) 所以亿}为公比为2的等比数列，bn=2 (2)解：数列{c}中，cn=anbn=(2n-1)·2”- 则Tn=1×2°+3×2+…+(2n-3)·2-2+(2n-1)·2- 所以2Tn=1×2+3×2+…+(2n-3)·2-+(2n-1)·2” 故-Tn=1+2(2+22+…+2m-1)-(2n-1)·2”=(3-2n)·2”-3 所以Tn=(2m-3)·2”+3 17.(本题满分15分) (1)解：由题可知，2 sinAcosBcosC+2 sinCcosAcosB=sinB 2cosB(sinAcosC sinCcosA)=sinB 因为sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB 代入上式，得2 cosBsinB=simB,因为sinB≠0，所以cosB=2 又因为B∈(0，)，所以B=号 1 (2)解：由余弦定理得，b2=a2+c2-2 ac cosB,即12=a2+c2-ac① 因为△ABC的周长为a+b+c=6+2√3，即a+c=6② 由①②解得ac=8 1 所以Sac=2 acsinB=2W3 18.(本题满分17分) (1)解：因为∠BAF=90° 所以AB⊥AF 而平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AFC平面ABEF 所以AF⊥平面ABCD 又因为BCC平面ABCD 所以BC⊥AF (2)解：由(1)知AF⊥平面ABCD,ADC平面ABCD 则AF⊥AD 而AB⊥AF,AB⊥AD 所以以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图 又因为AB∥CD,AB∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2 则A(0,0,0),D(2,0,0),F(0,0,2),C(2,1,0),E(0,1,2),B(0,2,0) C2=(-2,0,2),CB=(-2,1,0),A元=(2,1,0)，A=(0,0,2) 设平面BCE的法向量为m=(x,y,a) 函m=-2x+y=0,令x=1,得m=(1,2,1) 则 C2m=-2x+2x=0 设平面ACF的法向量为n=(x1,y1,a) ac.n=2x1+y1=0 则 AF.n=251=0 令1=2，得n=(-1,2.0) 所以cosm,心m·nFW6xE物 m'n 3 10 所以平面4CF与平面BE夹角的正弦值为V-(0厂-0 10 (3)解：设Q(a,b,c),由题可知，DQ=入DF+uDB a-2=-2入-2u 即{b=2u c=2A a=2-2λ-2u 则{b=2u ,即Q(2-2入-2,2u,2入) c=2入 则AQ=(2-2A-24,24,2A) 因为AQ⊥平面BCE 所以AQ是平面BCE的一个法向量 则AQ∥m 即222业-2娑2头 1 1 解得=子，=方 1 因此A0-(31,2〉 所以划0=√骨+1+子-5 19.(本题满分17分) (1解：由椭圆c: 之+2=1(4>b>0)的离心率为今 得a-&.3 a 2 则a=2b 又因为椭圆C过点Q(1,2) 得+ 解得/a=2v2 b=√2 所以辅圆C的标准方程是苓+号：1 (2)① 解：设P(2,t),A(x1,y),B(x2,y2) 由题可知PA:g+空=1 因为PA,PB都过点P 得1 yat ,点A,B都在直线x+冬y=1上 (8+x2=1 因此直线4B的方程为x+名-1=0 所以直线AB恒过定点D(1,O) ② t x+8y=1 解：由 + 整理得，(2+162-16y-64=0 x=2 16t -64 则+2=F+i6,=P+16 S0=70D1-y-为 =2V0+wP-4 +流 256 =8v2VP+8 2+16 8V2 ≤ 8W2 V平+8+ 82 2VNF+8+8 当且仅当F+8=8。时，即：=0时等号成立 √2+8 所以SAoB的最大值为2 32026年1月19日14：00前保密 青海湟川中学2025一2026学年第一学期期末考试试卷 高二数学 命题人：申珍香 张英 审题人：蒋豆豆沙莎 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.本试卷为试题卷，不允许作为答题卷使用，答题部分请在答题卡上作答，否则无效。 3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场、座位号写在答题卡上，同时填写在试卷上。 4.选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标 号)，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡相应位置，字体工整，笔迹清楚。作图必须用2B铅 製 笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若方程2 y2 m+13一m=1表示双曲线，则实数m的取值范围是 A.(-1,3) B.(-3,1) 國 C.(-0,-1)U(3,+∞) D.(-,-3)U(1,+0) 2.若直线(a+1)x+2y-a=0与直线x+ay-1=0互相平行，则a= 靼 A.1 B.-2 C.-2或1 D.-2或-1 水 3.已知m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，下列结论正确的是 剧 A.若m∥n,m∥&，则n∥& B.若m⊥&，m⊥B,则&∥B 长 C.若a⊥B,mc,则m⊥B D.若m∥&，m∥B,则a∥B ☒ 4.{an}为等差数列，Sn为数列{an)的前n项和，若a1+3a8+a1s=120,下列不是定值的是 A.S15 B.a3+a13 C.2a-a10 D.a16 都 5.已知a=(分，5,0).61=3，a1(a+b,则1a-b1 廊 A.12 B.8 C.2√3 D.2√2 6.在数列{a}中，a1=1,an+1=an+ 11 n+,则a, a日 B. C.2n-1 D 7.已知点A(3,4),B(-2,-1),若直线l:x-y+1-2=0与线段AB相交，则k的取值范围是 A[分+) B号，3 C.(-,0U[2,3 D.(-0,2]U[3,+) 8.已知斜率为- 和 的直线与椭圆号 3 =1(a>b>0)交于4，B两点，若△0AB的重心在直线x-2y=0 上，则椭圆的离心率为 A号 R c 0 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知数列{an}满足2an+1=an+an2,记Sn为其前n项和，若a1>0,S12=S1o,则下列说法正确的是 爵 A.a11>0 B(倍}为递波的等差数列 C.当n=12时，Sn取得最大值 D.使得Sn<0成立的最小正整数n的值为23 青海湟川中学高二数学期末试题第1页（共4页） 10.已知圆C:x2+y2-4x-2y+4=0,则 A.l:mx+2y-2m-1=0(m∈R)与圆C一定相交 B.圆M:x2+(y+1)2=4与圆C的公共弦所在的直线方程为4x+4y-7=0 C.若圆N与圆C关于直线l:x+y+1=0对称，则圆N的方程为(x+2)2+(y-4)2=16 D.过1：x+y+3=0上一动点Q向圆C引切线，则切线长的最小值为√I7 11.设抛物线y2=4x,F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是 A.若P点坐标为(3,2√5)，则PF1=4 B.若1P℉1=3，则P点坐标为(2,2√2) C.若A点坐标为(3,2)，则1PA|+1PF1的最小值为4 D.过F点且斜率为2的直线与抛物线相交于C,D两点，则1CD1=6 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.双曲线C的离心率为2，且双曲线C与圆0：x2+y2=1有且仅有2个交点，请写出双曲线C的一个标 准方程： 13.若数列a满足a1=3a-1,则称a为对奇数列”已知{6+}为“对奇数列”，且61=2，则6s 14.如图，P是正方体ABCD-ABCD1的面对角线BC1上一点，对任意的点P,有以下四个结论： ①点P到直线AD的距离不变 ②AP∥平面ACD1 ③DP⊥BC ④平面PDB,⊥平面ACD1 其中正确结论的序号是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分13分)》 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥 曲线论》八卷。他发现平面内到两个定点的距离之比为定值入（入≠1）的点所形成的图形是圆。后 来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称阿氏圆）。已知在平面直角坐标系xOy中， A2,宁》，(2,2.点P满足路-宁，设点P的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程； (2)若Q点的坐标为(0,3)，求|PQ|的最大值和最小值； (3)求曲线E上的点到直线x+y+1=0的最小距离. 青海湟川中学高二数学期末试题第2页（共4页） 16.(本题满分15分) 已知数列{a}为等差数列，a2=3,a=9,数列{bn}的前n项和为Sn,且满足Sn=2bn-1. (1)求{an}和{b}的通项公式； (2)若cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn. 17.(本题满分15分) 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,2 a cosBcosC+2 e cosAcosB=b. (1)求B; (2)已知b=2√3，△ABC的周长为6+2V3,求S△HBC 青海湟川中学高二数学期末试题第3页（共4页） 18.(本题满分17分) 如图，四边形ABCD和四边形ABEF为直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF。其中AB∥CD∥EF, CD=EF=1,AB=AD=AF=2,∠BAD=∠BAF=90° (1)求证：BC⊥AF; (2)求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点Q,满足DQ=ADF+uDB(A,u∈R),且直线AQ⊥平面BCD,求AQ的长度， 明 19.(本题满分17分) @知圈c:二+养o>b>0的离率为号且过点02 (1)求椭圆C的标准方程； 熘 (2)若一条直线与椭圆恰有1个公共点，则定义该直线为椭圆的切线，这个公共点称为切点，已知椭圆 剑 +1m:>0,且m≠n上(，为切点的切线方程是+四=1(m,n>0,且m m n 过椭圆C外一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A,B若点P在定直线x=2上运动，0为原点. ①求证：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标； ②求S△oB的最大值. 青海湟川中学高二数学期末试题第4页（共4页）