精品解析：江西省南昌市第十九中学2025-2026学年上学期九年级第三次阶段性数学评估卷

2025-2026学年南昌市第十九中学 初三年级第三次阶段性数学评估卷 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，求算术平方根，计算各选项的数值并比较大小，熟练掌握实数的大小比较方法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故最小的是， 故选：B． 2. 若最简二次根式与能合并，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相同，因此需使，求解的值，熟练掌握最简二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得， 故选：C． 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查立体图形的三视图，充分发挥空间想象力是关键． 按照几何体的特征进行判断即可． 【详解】解：从上往下看，该几何体的俯视图是一个矩形，中间凹进去部分为三条线段． 故选：C． 4. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，菱形的一边在轴上，将菱形绕原点顺时针旋转至、、、的位置，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、解直角三角形，过点作于点，则，由平行四边形的性质可得，，求出，由旋转的性质可得，，则，求出，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将菱形绕原点顺时针旋转至、、、的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 6. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案． 【详解】解：x2－xy= x(x－y). 故答案： 【点睛】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键. 8. 元谋人距今约1700000年，是我国境内目前已确认的最早古人类．将1700000用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需将数字1700000表示为的形式，其中，为整数． 【详解】解：1700000 ． 故答案为：． 9. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为， 故答案为：． 10. 如图，在中，已知，现将边绕点逆时针旋转得到．若点恰好落在的延长线上，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将边绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 某电动自行车厂十月份的产量为10000辆，由于市场需求量不断增大，十二月份的产量提高到14400辆，则该厂十一、十二月份的月平均增长率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十一、十二月份的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该厂十一、十二月份的月平均增长率为， 故答案为：． 12. 在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点在折线上运动，不与点重合．分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，分别结合勾股定理计算即可得出结果，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点是折线上的动点（且点不与点重合）， ∴当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当时，，此时（负值不符合题意，舍去），此时； 当点在上运动时，如图： ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴当时，，此时（即点与点重合），此时； 综上所述，当为整数时，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，点，在上，．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、零指数幂、绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，即可证明． 【详解】（1）解： ； （2）略 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入进行计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 如图，以矩形的边为斜边作等腰，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在①中作出一条矩形的对称轴； （2）在图②中以为腰作一个等腰直角三角形． 【答案】（1）如图①，直线即为所求； （2）如图②，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了矩形和等腰直角三角形的性质及无刻度直尺作图，解题的关键是利用矩形的对称性和等腰直角三角形的性质找到作图的关键点． （1）利用矩形的中心对称性，结合等腰直角三角形的顶点，作出过矩形中心的直线即为对称轴； （2）根据矩形对边相等和等腰直角三角形的性质，找到与CD相关的等腰直角三角形的顶点，连接得到图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 语文复习课上，计老师准备了四张卡片，上面写有四首古诗的名字，分别是：《山居秋暝》（田园诗）、《使至塞上》（边塞诗）、《凉州词》（边塞诗）、《送杜少府之任蜀州》（送别诗），请甲、乙两位同学同时上台抽取卡片，并背通对应古诗． （1）甲同学抽到送别诗的概率是______________； （2）求甲、乙两位同学都抽到边塞诗的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接根据概率公式计算，即可； （2）根据题意，列出表格，可得共有12种等可能性结果，其中甲、乙两位同学都抽到边塞诗的结果有2种，再根据概率公式计算，即可． 【小问1详解】 解：∵四首诗中有一首诗是送别诗， ∴甲同学抽到送别诗的概率是； 故答案为： 【小问2详解】 解：用A，B，C，D分别表示《山居秋暝》（田园诗）、《使至塞上》（边塞诗）、《凉州词》（边塞诗）、《送杜少府之任蜀州》（送别诗）， 根据题意，列表如下： 甲 乙 由表可知，共有12种等可能性结果，其中甲、乙两位同学都抽到边塞诗的结果有2种， ∴甲、乙两位同学都抽到边塞诗的概率 17. 如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积？ 【答案】（1）一次函数解析式为y=x+1；反比例解析式为；（2）． 【解析】 【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式； （2）设一次函数与x轴交点为D点，过A作AE垂直于x轴，由△ABC面积=△BDN面积－△ADE面积－梯形AECN面积，求出即可． 【详解】（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1， ∴一次函数解析式为y=x+1． 将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2， ∴反比例解析式为． （2）设一次函数与x轴交于D点，过点A作AE垂直于x轴于点E， 在y=x+1中，令y=0，得x=﹣1，即OD=1． ∴A（1，2）． ∴AE=2，OE=1． ∵N（3，0）， ∴B横坐标为3． 将x=3代入y=x+1得：y=4， 将x=3代入得：， ∴B（3，4），即ON=3，BN=4，C（3，），即CN=， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 新年将至，玩具店计划购买型玩具和型玩具进行销售，若用1000元购买型玩具的数量与用1500元购买型玩具的数量相同，且一个型玩具的进价比一个型玩具进价贵10元． （1）求型玩具和型玩具的进价分别是多少？ （2）若型玩具的售价为28元/个，型玩具的售价为40元/个，张老板购进型玩具共100个，要使总利润不低于880元，则型玩具最多购进多少个？ 【答案】（1）型玩具进价20元/个，型玩具进价30元/个 （2）型玩具最多购进60个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设型玩具进价为元/个，则型玩具进价元/个，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案； （2）设型玩具购进个，则型玩具购进个，根据题意列出一元一次不等式，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：设型玩具进价为元/个，则型玩具进价元/个， 根据题意，可得， 解得（元/个）， 经检验，是该分式方程的解， ∴（元/个）， 答：型玩具进价20元/个，型玩具进价30元/个； 【小问2详解】 解：设型玩具购进个，则型玩具购进个， 根据题意，可得， 解得， 答：要使总利润不低于880元，则型玩具最多购进60个． 19. 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，即可得解； （2）先推出，过点作于点，推出四边形为矩形，由矩形的性质可得，，然后在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知：，，， ∴，即， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴的长为； 【小问2详解】 解：由题意知：，， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴，即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴塔的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键． 20. 某校举办了数学素养大赛，下表是九年级班和班前10名学生的成绩（单位：分）． 70 80 75 90 85 80 80 75 80 85 70 75 80 70 90 80 80 80 85 90 表格中的数据可以用折线统计图直观展示如下： 请根据上述信息回答下列问题． （1）请在图中作出班前10名学生成绩的折线统计图； （2）班前10名学生成绩的众数是___________分，班前10名学生成绩的中位数是___________分； （3）现要在同一个班中选出5名学生参加全市九年级数学素养团体大赛，通过计算统计量（平均成绩），你认为应该在哪个班选？ 【答案】（1） 班前10名学生成绩的折线统计图如图所示：   （2）， （3）应该在班选 【解析】 【分析】本题考查了画折线统计图、众数、中位数、平均数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据表格画出折线统计图即可； （2）根据众数和中位数的定义计算即可得出结果； （3）先分别求出两个班的前5名学生成绩的平均数，比较大小即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在班前10名学生成绩中，出现了次，出现的次数最多，故众数是； 班前10名学生成绩按从小到大的顺序排列为，，，，，，，，，，位于中间的两个数据为，，故中位数为； 【小问3详解】 解：班前5名学生成绩的平均数为（分）， 班前5名学生成绩的平均数为（分）， ∵， ∴应该在班选． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，直径，是线段延长线上的一点，切于点，是上一点，且，连接，． （1）求证：是的切线； （2）当时（如图2），求的长； （3）若四边形是菱形（如图3），求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接、，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵切于点，是上一点， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接、，则有，证明得，根据切线的性质可得，进而得到，即可得证； （2）如图，连接、，由（1）知：，证明四边形为正方形，求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答； （3）如图，连接、，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、， 由（1）知：， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵，直径， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接、，设， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴ ． 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定、菱形的性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，掌握切线的判定与性质、扇形的面积公式是解题的关键． 22. 已知二次函数． 【特例研究】 （1）若二次函数经过点时，回答下列问题： ①___________； ②请在图1中画出该函数图像； ③已知，结合所画的图像，则的取值范围是___________； 【深入探究】 （2）二次函数的对称轴为___________，与轴交点坐标为___________； 【拓展提升】 （3）将在间的图像记为，若图像与直线有2个交点，请求出的取值范围． 【答案】（1）①1； ②描点，连线，即可画出其函数图像，如下图所示： ③（2），和 （3）且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及其图像的性质，一次函数及其图像的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）①将点代入抛物线的解析式，进而得出结果；②列表，描点，连线得出图像；③取顶点得出最小，取求得最大值； （2）根据抛物线对称轴公式即可确定该二次函数图像的对称轴；令，可得，求解即可获得答案； （3）首先确定函数与直线始终有一个交点，再分和两种情况，分别分析求解即可． 【详解】解：（1）①将点代入二次函数， 可得，解得． 故答案为：1； ②由①可知，该函数解析式为， 列表： … 0 1 2 3 4 …. 5 0 0 5 ③已知，结合所画的图像，则的取值范围是． 故答案为： ； （2）二次函数的对称轴为， 令，可得， 整理可得， ∵， ∴，解得， 即与轴交点坐标为和． 故答案为：，和； （3）由（2）可知，该函数图像与轴交点坐标为和， 对于直线，令，可得，解得， ∴直线经过点， ∴函数与直线始终有一个交点， ①当时，由图像明显可知在这段只有一个交点，不合题意； ②当时，由图像可知，两个函数有一个交点为， 对于直线，当时，， 对于抛物线而言，则当时，即可有两个交点， ∴，解得， 当时， 整理可得， 若， 解得， 此时只有一个交点； 对于直线，当时，， 当经过点时，可得， 解得， ∴， 综上所述：且． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 定义：如图2，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． （1）知识理解：①如图1，若，都是等边三角形，则___________的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”） 如图2，与互为“旋转相似图形”， ②若，，则___________； ③若，，，则___________，若连接，，则___________； （2）知识运用： 如图3，在四边形中，，于，， 求证：①； ②和互为“旋转相似图形”； （3）拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点为的中点，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 【答案】（1）①是；②；③， （2） ①证明：∵，， ∴； ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与有公共顶点， ∴和互为“旋转相似图形”； （3）， 【解析】 【分析】（1）①先证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得出结果；②由“旋转相似图形”的定义可得，再由相似三角形的性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果；③由“旋转相似图形”的定义可得，再由相似三角形的性质计算得出，连接，， 由相似三角形的性质可得，，从而得出，，即可推出，再由相似三角形的性质即可得出结果； （2）①由对顶角相等可得，再结合题意即可得证；②由，得出，从而可得，再证明，得出，最后再证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得证； （3）由等腰直角三角形的性质可得，，，结合题意可得，由“旋转相似图形”的定义可得，由相似三角形的性质可得，，，则，求出，作于点，则为等腰直角三角形，求出，证明垂直平分，由勾股定理可得，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵与有公共顶点， ∴是的“旋转相似图形”； ②∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∴； ③∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 连接，，如图： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作于点， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年南昌市第十九中学 初三年级第三次阶段性数学评估卷 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 若最简二次根式与能合并，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的一边在轴上，将菱形绕原点顺时针旋转至、、、的位置，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________________. 8. 元谋人距今约1700000年，是我国境内目前已确认的最早古人类．将1700000用科学记数法可表示为___________． 9. 不等式组的解集是___________． 10. 如图，在中，已知，现将边绕点逆时针旋转得到．若点恰好落在的延长线上，则的度数是___________． 11. 某电动自行车厂十月份的产量为10000辆，由于市场需求量不断增大，十二月份的产量提高到14400辆，则该厂十一、十二月份的月平均增长率为___________． 12. 在矩形中，，，点是折线上的动点（且点不与点重合），当的长为整数时，则的长是___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，点，在上，．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，以矩形的边为斜边作等腰，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在①中作出一条矩形的对称轴； （2）在图②中以为腰作一个等腰直角三角形． 16. 语文复习课上，计老师准备了四张卡片，上面写有四首古诗的名字，分别是：《山居秋暝》（田园诗）、《使至塞上》（边塞诗）、《凉州词》（边塞诗）、《送杜少府之任蜀州》（送别诗），请甲、乙两位同学同时上台抽取卡片，并背通对应古诗． （1）甲同学抽到送别诗的概率是______________； （2）求甲、乙两位同学都抽到边塞诗的概率． 17. 如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 新年将至，玩具店计划购买型玩具和型玩具进行销售，若用1000元购买型玩具的数量与用1500元购买型玩具的数量相同，且一个型玩具的进价比一个型玩具进价贵10元． （1）求型玩具和型玩具的进价分别是多少？ （2）若型玩具的售价为28元/个，型玩具的售价为40元/个，张老板购进型玩具共100个，要使总利润不低于880元，则型玩具最多购进多少个？ 19. 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 20. 某校举办了数学素养大赛，下表是九年级班和班前10名学生的成绩（单位：分）． 70 80 75 90 85 80 80 75 80 85 70 75 80 70 90 80 80 80 85 90 表格中的数据可以用折线统计图直观展示如下： 请根据上述信息回答下列问题． （1）请在图中作出班前10名学生成绩的折线统计图； （2）班前10名学生成绩的众数是___________分，班前10名学生成绩的中位数是___________分； （3）现要在同一个班中选出5名学生参加全市九年级数学素养团体大赛，通过计算统计量（平均成绩），你认为应该在哪个班选？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，直径，是线段延长线上的一点，切于点，是上一点，且，连接，． （1）求证：是的切线； （2）当时（如图2），求的长； （3）若四边形是菱形（如图3），求阴影部分面积． 22. 已知二次函数． 【特例研究】 （1）若二次函数经过点时，回答下列问题： ①___________； ②请在图1中画出该函数图像； ③已知，结合所画的图像，则的取值范围是___________； 【深入探究】 （2）二次函数的对称轴为___________，与轴交点坐标为___________； 【拓展提升】 （3）将在间的图像记为，若图像与直线有2个交点，请求出的取值范围． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 定义：如图2，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． （1）知识理解：①如图1，若，都是等边三角形，则___________的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”） 如图2，与互为“旋转相似图形”， ②若，，则___________； ③若，，，则___________，若连接，，则___________； （2）知识运用： 如图3，在四边形中，，于，， 求证：①； ②和互为“旋转相似图形”； （3）拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点为的中点，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $