2026年高二数学寒假作业一 空间向量与立体几何1（天津适用）

高二数学寒假作业 寒假作业一---空间向量与立体几何一 知识梳理 1. 空间向量的基本概念 2. 空间向量的线性运算 3. 空间向量基本定理 4. 空间向量的数量积运算 基础巩固 一、单选题 1．已知空间四点，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 3．在正方体中，若，，，为线段上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 4．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 5．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 6．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（    ） A．2 B． C． D． 7.已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 8.如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 二、填空题 9．如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    10．已知平行六面体，， ，，则的长是 ． 11．在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 12．已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为 ． 素养提升 1．在四面体中，是棱的中点，且，则的值为__________. 2.已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 3.点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $盘 高二数学寒假作业 寒假作业一-一空间向量与立体几何一 夏 知识梳理 1.空间向量的基本概念 2.空间向量的线性运算 3.空间向量基本定理 4.空间向量的数量积运算 宫基础巩固 一、单选题 1.已知空间四点A,B,C,D,则DA+CD-CB=() A.BA B.AB C.0 D.BD 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则，根据起点相同的原则，首先计算 CD-CB=BD,再计算DA+BD=DA-DB=BA,即可得出正确答案 【详解】DA+CD-CB=DA+BD=DA-DB=BA; 故选：A 2.如图所示，在三棱锥A-BCD中，点E是BC的中点，记AB=ā，AC=b,AD=c,则 DE=() 31 A.- b+c 2 B. 1 a+-b-c 2 2 c.-a-l6+1e 2 2 第1页，共3页 D.a+18-18 22 【答案】B 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案 【详解】D死=D丽+Dc)(而-而+C-而例) 号+号-40-+6- 22 故选：B 3.在正方体ABCD-AB,CD中，若AB=a,AD=b,AA=c,E为线段BC上一点，且 BE=BC,则D,E=（） 3 A.a-25-eB.a+6+ 11」 33 3 C.- D.a+5+ 2 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解即可 【详解】在正方体ABCD-AB,C,D,中，B:a,AD=6,A=C,BE=;BC, 3 D B A D B 则AE=西+BE=B+Bc+BB)=a+6+, 又AD,=AD+AA,=b+c, 所以0正=正-瓜-[a+5+司-(6+-a-6- 故选：A 4.若{a,b,c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是() A.a+b,a+b+2c,-c B.B+c,B,B-c 第1页，共3页 高二数学寒假作业 C.a+c,a-c,c D.a+b,a-b,c 【答案】D 【知识点】判定空间向量共面 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得。 【详解】对A:因为[a+6)-(a+6+2]=-c,故a+6,a+万+2，-c共面，故A错误： 对B:因为b+=2b-(6-,故i+c,五，6-共面，故B错误； 对C:因为[a+d-(a-c]=c,故a+c,a-c,c共面，故c错误： 对D:由a,b,c是空间的一个基底，故a,6,c不共面， 则不能由a+b、a-b表示出c,故a+b,a-b,c不共面，故D正确. 故选：D 5.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，AB·DC=() A.4W2 B.4 C.22 D.2 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可 【详解】在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中， 易知AB=2,DC=V2+22=22, 因为丽=DC,DC与DC,的夹角为子， 所以丽与DC的夹角为子-DC=@号=2x2反x-4 故选：B D B A D B 6.如图，平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹 第1页，共3页 角都是60，则BD=() D D A.2 B.5 C. D.6 【答案】C 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的基底表示结合向量的数量积和模长的计算即可. 【详解】BD=BA+AD+DD, 所以BD=VBA+AD+DD+2BAAD+2BADD,+2AD.DD, 因为三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60， 所以BD= 1+1+1+2×1×1× 1 所以BD,=BD=V2 故选：C 7.已知空间单位向量a,五，c两两垂直，则a-万+=() A.3 B.6 C.3 D.6 【答案】A 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求 解模长即可， 【详解】因为空间单位向量ā，b,c两两垂直， 所以d=1,=1,=l,a5=0,ca=0,6c=0, 所以a-万+d=Va-万+c-va层+b+c2-2a方-25a+2aa =V1+1+1-0-0+0=V3. 第1页，共3页 高二数学寒假作业 故选：A. 8.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AC=AB=AA=V2,BC=2AE=2,则向量 AE与A,C的夹角是() A C B A.30° B.45° C.60 D.90 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】，AA⊥平面ABC,ABc平面ABC,ACc平面ABC, .A,A⊥AB,A,A⊥AC. ,AC=AB=√2，BC=2,∴.AB2+AC2=BC2,AB⊥AC, 又BC=2AE=2,.E为BC的中点， “正=aB+4C. .'AC=AA=2,.AC=2. :cAc-+aC(ac-到C=1 A正.AC1 ·.0sA正，4C=4d2 又0°≤AE,AC≤180°，.AE,AC=60°. 故选：C 二、填空题 9.如图，在四面体D-ABC中，点G是ABC的重心，设DA=a,DB=b,DC=c,则 DG=·(用a,五，c表示) 第1页，共3页 D G 【答案15ā+号6+ 1 .1 3 3 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据G是ABC的重心，可知AG=?A正，再根据空间向量的线性运算即可求解 【详解】~G是ABC的重心， c-号-号+0号+c-0丽-网列+c-网 DC-D. c=-ni+G=0i+n+0c-号0i-0i++0c-i+ 3 故答案为：5+ 10.已知平行六面体ABCD-A,B,CD,AB=AD=AA=1,∠AAB=∠AAD=90°， LBAD=60°，则AC的长是 【答案】2 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积运算，即可求出模长 【详解】在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，可得AC=AB+AD+AA, 因为AB=AD=AA=1,∠AAB=∠AAD=90°，∠BAD=60°， 所以AC=AB+AD+A4=VB+D+不+2AB.4D+2BAM+2AD =V1+1+1+2x1x1x,+0+0=2, 2 所以AC的长为2 故答案为：2. 第1页，共3页 高二数学寒假作业 ■ B 1,在平行六面体A8CD-48,CD,中，各棱长均为2，∠AB=∠B1D=∠A4D-骨，则 AC·BA= D A B B 【答案】0 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的加减运算 【分析】根据题意，设AB=a,AD=i,AA=c,求得AC=a+b+c,BA=c-a,结合向量 的数量积的定义与运算公式，即可求解 【详解】设向量B=a,0=6,=,则日===2，(a,）=(a,c)=(6,9)=于 所以a.b=ac=bc=2×2cos=2, 3 又由AC=AB+BC+CC=a+b+c,BA=AA-AB=c-a, 所以4G-Bm=(a+i+G-C-a=a:c-a2+6-c-a6+c2-ac=2-2+2-2+2-2=0 故答案为：0。 12.己知四面体0ABC,空间的一点P满足OP=OA+1OB+1OC,若P,A,B,C共面，则 实数2的值为 【答案】号 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】利用四点共面的性质即可求解参数 第1页，共3页 【详解】空间的一点P满足OP=OA+OB+0C,由P,4,B,C共面， 可得+2+名1→元 6 3 1 故答案为：3 g 素养提升 1.在四面体ABCD中，E是棱CD的中点，且BE=xAB+yAC+zAD,则x+y+?的 值为 【答案】0 【分析】利用空间向量加减法法则，把8E用AB、AC、AD表示出来，即可求出结果。 D 【详解】 B 如图所示，因为E是棱CD的中点， 所以E=8D+8c={aD-A+4C-=-B+4C+D, 11 则x=-1y=22=2' 所以x+y+z=0, 故答案为：0 2.已知四面体0ABC,空间的一点P满足OP=O1+O+OC,若P,A,B,C 共面，则实数入的值为」 第1页，共3页 高二数学寒假作业 ■ 【答案】日 【分析】由向量的线性运算可知亚=A丽+号C+久-o,再由夫面定理可知 1-0,即可得解 【详解】由oP=1oA+0B+oc, 得0m-0=0丽-0+c-0+-a, 即-+4c+{a, 又P,A,B,C四点共面， 即AD,AB,AC共面， 所以存在唯一实数对(x,y),使AP=xAB+yAC, 所以2音=0， 解方 故答案为：2 3.点M、N分别是正四面体ABCD棱BC、AD的中点，则cos(AM,CW)= 【答案】号 【分析】以孤，4C,4D为基底，M=B+AC,C=0-4C,即可求解。 【详解】解：以AB,AC,AD为基底，它们两两之间均为60°，设正四面体ABCD棱 长为2，则 =B+AC),CN=)0-4c, -+cg0-C}D孤+DC-c丽-cc )1+1-2-4=-2 所以网-+网可-a+ac- 网-得而-c-而-而元+元-5， 第1页，共3页 所以cos(AM,CN) AM.CN 2 故答案为： 号 第1页，共3页