2026年高二数学寒假作业六 直线和圆三（天津适用）

高二数学寒假作业 寒假作业六---直线和圆三_ 知识梳理 1. 直线与圆的位置关系及判定 2. 直线与圆相切切线方程：过圆上一点，过圆外一点 3. 圆与圆的位置关系及判定 4. 两圆相交公共弦方程及弦长问题 5线与圆相离---圆上的点到直线的距离最值 直线与圆相交---与弦长有关的最值 基础巩固 一、单选题 1．以为圆心，且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 4．若直线 与圆 相切，则 （     ） A． B． C．3 D．2 5．圆与圆的公切线有（   ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 6．圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 7．有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 8．已知圆，直线，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．圆心为，且与轴相切的圆的标准方程为 . 10．直线被圆所截得的弦长为 . 11．圆：与圆：的公共弦长为 . 12．已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则 ． 13．在平面直角坐标系中，一条光线从点发出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 三、解答题 14．已知圆关于轴对称且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于、两点，若，求直线的方程. 15．已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l过点且与圆C交于AB两点，劣弧AB所对圆周角为，求直线l的方程； (3)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足，求点P的轨迹方程． 素养提升 1.“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 2.若直线与相离，则点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 3.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 4.莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（    ） A． B． C． D． 5.最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是 . 6.已知直线与圆交于，两点，则的最小值为   7圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 8已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学寒假作业 寒假作业六---直线和圆三_ 知识梳理 1. 直线与圆的位置关系及判定 2. 直线与圆相切切线方程：过圆上一点，过圆外一点 3. 圆与圆的位置关系及判定 4. 两圆相交公共弦方程及弦长问题 5线与圆相离---圆上的点到直线的距离最值 直线与圆相交---与弦长有关的最值 基础巩固 一、单选题 1．以为圆心，且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由圆心及圆上一点求出半径，再利用圆的标准方程即可求解. 【详解】，所以圆的半径，又以为圆心， 所以圆的标准方程为：. 故选：C 2．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】利用圆心与切点连线和切线垂直可求出切线斜率，再根据点斜式可得答案. 【详解】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A 3．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因为， 所以两圆的位置关系是相交. 故选：C 4．若直线 与圆 相切，则 （     ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先将圆的方程配方，根据题意列出关于的方程，即可得解. 【详解】由配方得，则圆心为,半径为, 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，则, 即，解得. 故选：C. 5．圆与圆的公切线有（   ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】圆的公切线条数 【分析】将两圆方程化为标准形式，求出圆心坐标与半径，计算圆心距并与半径差比较，判断两圆位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径. 圆的标准方程为， 圆心为，半径. 两圆心距. ，，故圆内含于圆. 两圆内含时，无公切线. 故选：A 6．圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】根据题意，化简圆的方程为一般式方程，两圆的方程相减，即可求解. 【详解】由圆的方程，可化为， 联立方程组，两圆的方程相减，可得， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故选：A. 7．有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意求圆心和半径，即可得圆的方程，令运算求解即可. 【详解】建立平面直角坐标系如图，则， 可知圆心在y轴负半轴上，设为， 则，即，解得， 即圆心为，半径， 可得桥拱所在圆的方程为， 令，可得，解得， 所以水面宽是12米． 故选：A. 8．已知圆，直线，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先根据圆上恰有两个点到直线的距离等于1，再确定圆心到直线的距离的取值范围，最后利用点到直线的距离公式求解b的取值范围即可. 【详解】因为圆的方程为 ，因此圆心为 ，半径 ， 因为直线 可化为 ， 所以圆心 到直线的距离为， 又因为圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以，代入 ， 得， 即，整理得， 解得. 故选：D. 二、填空题 9．圆心为，且与轴相切的圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求出圆的半径，得到圆的方程. 【详解】圆心为，且与轴相切，故圆的半径为3， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 10．直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径 【分析】首先求圆心到直线的距离，再代入弦长公式即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：. 11．圆：与圆：的公共弦长为 . 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】两圆作差得到公共弦所在直线方程，再利用圆的弦长公式求解. 【详解】已知圆：，圆：，两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离，圆的半径为， 所以公共弦长为. 故答案为： 12．已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则 ． 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将圆的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据为等边三角形可知等于圆的半径，由此求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得的值. 【详解】由圆，得. 所以圆心的坐标为，半径. 因为为等边三角形，所以. 所以圆心到直线的距离为. 即，所以. 故答案为：. 13．在平面直角坐标系中，一条光线从点发出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 【答案】或（写出一条即可） 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先求出点关于直线的对称点B的坐标，由题意，经过B的直线与圆相切，分别讨论斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式，分别求出直线，综合分析，即可得答案. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 由题意得，解得，即， 由反射后的直线与圆相切，得过点的直线与圆相切， 圆，变形为，则圆心为，半径为2， 当过点B的直线斜率不存在时，即为， 则圆心到直线的距离为2，等于半径，符合题意， 当过点B的直线斜率存在时，设为k，则方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，反射后光线所在直线的方程为或. 故答案为：或（写出一条即可） 三、解答题 14．已知圆关于轴对称且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解； （2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【详解】（1）由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心； ∴设圆的标准方程为， 则解得： 故圆C的标准方程为； （2）由（1）知圆C的圆心为，， 因为 ，所以圆心C到直线l的距离为； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，不满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即 则圆心C到直线l的距离， 解得或 此时直线l的方程为，即，或 综上所述：直线l的方程为或. 15．已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l过点且与圆C交于AB两点，劣弧AB所对圆周角为，求直线l的方程； (3)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足，求点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2)或； (3) 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、求平面轨迹方程、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离求解半径，进而求解圆的标准方程即可； （2）首先根据弦长，求得圆心到直线的距离，然后分斜率存在和斜率不存在两种情况分别求解直线方程即可；斜率不存在时可通过直接求解交点坐标判断条件是否成立，斜率存在时可通过待定系数法，设直线根据条件列出等式进行求解. （3）连接MC，PC，根据可得：，然后设，根据已知条件代入化简即可得到点P的轨迹方程. 【详解】（1）已知圆的圆心，且圆与直线相切， 可得：圆的半径， 综上可得：圆C的方程为：， （2）根据题意，其圆心为，半径为，已知劣弧所对的圆周角为，则所对的圆心角为，由此可知， 设圆心到直线的距离为，因此可得：，解得：. 当直线l的斜率不存在时，其方程为， 联立方程：，解得：或， 此时直线l与圆C的交点为，，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得， 所以直线l的方程为， 综上，直线l的方程为或； （3）如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则， 所以为直角三角形，即． 设，由（1）知，， 因为，所以， 化简得点P的轨迹方程为． 素养提升 1.“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先证明直线被圆截得的弦长为当且仅当或，然后根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】要使直线被圆截得的弦长为， 当且仅当圆心到直线的距离. 此即，即，即或，即或. 显然，“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A. 2.若直线与相离，则点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】由题设及点线距离公式有，进而可得即可判断位置关系. 【详解】由题设与直线的距离，即， 所以点在圆内. 故选：A 3.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由得， 所以圆心为，半径为， 设切点分别为，连接，则为两切线的夹角， 由于， 所以， 由二倍角公式可得， 故选：B. 4.莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案. 【详解】的外接圆设为， ，解得， 外接圆方程为，即， 易知外接圆在处切线方程为， 又，令得，，， 在处切线方程为， 又，令得，， 则三角形的线的方程为，即 故选：B. 5.最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是 . 【答案】/ 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、直线的斜截式方程及辨析 【分析】首先求出直线的方程并计算圆心到直线的距离，再由平面几何知识得出结论. 【详解】由直线的截距式可知，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相离， 所以圆上的一点到直线距离的最小值为， 则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是， 故答案为： 6.已知直线与圆交于，两点，则的最小值为   【答案】 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选： 7圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【答案】（或） 【知识点】求两圆的交点坐标、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】先求出两圆的交点，利用直接法或者待定系数法可求圆的方程，或者利用圆系方程求解. 【详解】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 8已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 【答案】 【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意，只需圆心到直线的距离为即可，再结合点到直线的距离求解即可. 【详解】解：因为圆的方程为，所以圆心为，半径为 因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1， 所以只需要圆心到直线的距离为即可满足条件， 直线的一般式方程为：， 所以圆心到直线的距离为：，解得， 故当时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $