2026年高二数学寒假作业五 直线和圆二（天津适用）

高二数学寒假作业 寒假作业五---直线和圆二_ 知识梳理 1. 圆的标准方程 2. 圆的一般方程及二元二次方程表示圆的条件 3. 点与圆的位置关系的判断 4. 直线与圆的位置关系的判断 5. 直线与圆相交的弦长问题 基础巩固 一、单选题 1．直线 的倾斜角为（    ） A． B． C．不存在 D． 2．已知直线l经过两点，，那么直线l的斜率为（   ） A． B． C． D．3 3．已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 4．圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 5．以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 9．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 10．已知直线与圆的交点为A，B，则线段的长为 . 11．过点的圆的标准方程为 . 12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为 ． 13．圆关于直线对称的圆的方程为 ． 三、解答题 14．已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程. 15．已知直线过点，且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)若圆心为的圆与直线相交于A、B两点，且为正三角形，求的值. 素养提升 1.已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 3.已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为 4.已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为 5.某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      6.已知圆，圆心在直线上，且被直线截得弦长为. (1)求圆的方程； (2)若，已知点，，，当在圆上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学寒假作业 寒假作业五---直线和圆二 知识梳理 1. 圆的标准方程 2. 圆的一般方程及二元二次方程表示圆的条件 3. 点与圆的位置关系的判断 4. 直线与圆的位置关系的判断 5. 直线与圆相交的弦长问题 基础巩固 一、单选题 1．直线 的倾斜角为（    ） A． B． C．不存在 D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角 【分析】直接判断直线的倾斜角即可. 【详解】直线即，是一条与轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为． 故选：D． 2．已知直线l经过两点，，那么直线l的斜率为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率. 【详解】， 故选：C 3．已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-2 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两条直线平行系数关系列式计算求解参数. 【详解】直线，直线， 由，得，即，即，解得或. 当时，两直线重合，舍去. 当时，满足平行且不重合. 故选:B. 4．圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】直接由圆的标准方程可得圆心坐标. 【详解】由圆的标准方程，可知圆心为. 故选：B 5．以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求出圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】易知该圆圆心为的中点， ，故半径， 所以该圆的方程为. 故选：D. 6．若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设，，根据线段的中点坐标得到与和与的关系式，再代入圆的方程即可求得结果. 【详解】设，，则线段的中点坐标为， 即，所以. 因为点在圆上，所以满足. 化简得. 故选：C. 7．点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 8．已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】结合表示点到原点的距离，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】表示点到原点的距离, 点到原点距离的最小值为原点到直线的距离. 故选：C 9．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦 【分析】根据弦长公式判断最值并求解. 【详解】直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 故选：C． 二、填空题 10．已知直线与圆的交点为A，B，则线段的长为 . 【答案】4 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先求出圆的圆心坐标和半径，然后求出圆心到直线的距离，最后根据勾股定理求出弦长. 【详解】圆的方程化简为， 所以该圆的圆心坐标为，半径. 所以圆心到直线的距离为， 根据勾股定理得，所以. 故答案为：4. 11．过点的圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的一般式方程，代入三点坐标，得方程组，求解即得圆的方程. 【详解】设该圆的一般式方程为，, 由题意，可得,解得, 则该圆的方程为，即. 故答案为：. 12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为 ． 【答案】或 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 13．圆关于直线对称的圆的方程为 ． 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般式化成圆的标准式，根据对称分析可知圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程. 【详解】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 三、解答题 14．已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线与直线平行，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）设圆心，根据圆的定义可得，可得圆心和半径，即可得方程； （2）设直线的方程为，结合直线与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心，可得， 即，解得， 故圆心，半径， 所以圆的方程为：. （2）由（1）可知：圆心，半径， 设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，    若直线与圆相切，则， 即，可得或. 所以直线的方程为或. 15．已知直线过点，且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)若圆心为的圆与直线相交于A、B两点，且为正三角形，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据所求直线与直线垂直，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线的方程. （2）先确定圆心和半径，再利用圆心到直线的距离等于列式，可求的值. 【详解】（1）直线的斜率为， 由于直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）由圆，即，， 则圆心，半径为， 由题意为正三角形， 则圆心到直线的距离为， 则，解得. 素养提升 1.已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据圆的定义列出不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 2.线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 3.已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为 【答案】 【分析】直线恒过定点，可得点在圆内，可得当时弦最短,利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内， 所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即. 故选： 4.已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为 【答案】1 【分析】根据直线方程确定所过的定点，再由定点与圆心的距离即可得圆心C到直线l的最大距离. 【详解】由直线l得：，则直线l恒过定点， 由圆，则圆心， 故圆心C到直线l的最大距离. 故选：1 5.某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      【答案】5.39m 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为，，． 设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得． 故圆拱所在的圆的方程是． 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.39m． 6.已知圆，圆心在直线上，且被直线截得弦长为. (1)求圆的方程； (2)若，已知点，，，当在圆上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意结合圆的弦长公式列方程求解圆心坐标即可； （2）设，将表示成一个关于的式子，求解最值即可. 【详解】（1）圆， 所以圆心，半径为2， 圆心在直线上，故， 所以圆心到直线直线的距离， 直线截得弦长为，所以， 解得，或. 所以圆的方程为：或. （2）若，则圆. 当在圆上运动时，设， 则 ， 在圆上，故，所以的最大值， 的最小值， 所以. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $