精品解析：陕西省西安市金太阳多校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列是关于的二次函数的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 4. 三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，且，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若和的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上．过点，且与交于点，是上的一点，则（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 抛物线的顶点坐标为_____． 10. 如图，在中，，半径，则所对的长为______cm． 11. 如图，某堤坝的横截面是梯形，若坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长为_____． 12. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，为线段的黄金分割点．若，则的长为_____． 13. 如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为_____． 14. 如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 三、解答题（本大题共12小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解方程：． 16. 计算：． 17. 在中，，求的度数． 18. 如图，在中，，．在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在的正方形网格中，点是格点（网格线的交点），是格点三角形（顶点在格点的三角形），且是点以点为位似中心的对应点． （1）画出以点为位似中心的位似图形． （2）与的相似比是_____． 20. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 21. 已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： （1）线段的长； （2）的值． 22. 如图，学校后山坡上有一棵山楂树，小明和同学准备利用所学知识测量山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点到所在直线的距离，方案及测量报告如下． 测量对象 山楂树 测量工具 平面镜、皮尺、测倾器 测量方案 ①小明站在点处，让同学移动平面镜至点处，此时小明在平面镜内可以看到山楂树顶点，并测量米．眼睛到地面的距离米； ②测量平面镜至山脚下的距离米； ③小明又站在点处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角．（测倾器的高度米，点在同一水平线上，） 测量示意图 请根据以上测量报告中的数据，帮助小明求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数．参考数据：） 23. 如图，这是将窗户抽象成的几何图形，它的上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形．图中所有线段的总长为，设的长为． （1）直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的面积． （2）当窗户的总面积为时，求的长． 24. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 25. 某公园计划修建一个如图1所示的以为半径的圆形喷水池，喷水池中心处立着一个高为的实心石柱，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，与池面的距离为．在距离池面的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． （1）求圆形喷水池的半径． （2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少？ 26. 问题提出： （1）如图1，在中，，点是的外接圆的圆心，则的长为_____． 问题探究 （2）如图2，矩形为的中点，以为直径作半圆为半圆上一动点，则点之间的最大距离为_____． 问题解决 （3）某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列是关于的二次函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握相关知识是关键． 根据二次函数的定义，关于的二次函数必须是整式且最高次数为 2，逐一判断即可． 【详解】解：对于A，含有分式，不是二次函数，故A错误； 对于B，，化简得，是一次函数，故B错误； 对于C，，展开得，是二次函数，故C正确； 对于D，，化简得，，不是整式，故D错误． 故选：C． 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，余弦函数；由勾股定理得，由余弦函数的定义得，即可求解；理解余弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， 故选：C． 3. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 4. 三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此即可求解． 【详解】解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误； B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的长度应该相等，故本选项错误； C．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确； D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该互相平行，故本选项错误． 故选：C． 5. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，且，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作于点E，后根据，确定点，解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E， ∵点，点， ∴， ∵以为边在第四象限内构造矩形，且． ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：B． 6. 如图，若和的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质并合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 作底边上的高，底边上的高，由题意可计算出，，，结合，证得，得，再根据三角形面积公式得出，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为G，则为底边上的高，过点F作的延长线，垂足为H，则为底边上的高， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在正方形网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上．过点，且与交于点，是上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，锐角三角函数的定义，勾股定理，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据勾股定理求得，结合锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， 在中，， 故． 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负， 再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， ∴， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①符合题意， ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于， 即， ∴，故②符合题意， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即，故③符合题意， 由函数图象可知，当时，函数值小于零， ∴， 又∵， ∴， 即，故④符合题意， ∵抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， ∴当时，函数值小于零， 又∵当时，函数值大于零， 则， ∴， ∴，故⑤不符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据抛物线的顶点式，直接读出顶点坐标． 【详解】解：抛物线 ，该形式为顶点式 ，其中顶点坐标为，对比可得，，因此顶点坐标为． 故答案为：． 10. 如图，在中，，半径，则所对的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、扇形弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键． 根据圆周角定理可得，利用扇形弧长公式求出长即可． 【详解】解：在中，， 则， 因此所对的长为：， 故答案为：． 11. 如图，某堤坝的横截面是梯形，若坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点A作于点F，结合坡度以及特殊角度，分别计算出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：过点A作于点F，如下图： ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵的坡度为， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，为线段的黄金分割点．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵为线段的黄金分割点，， 故， ∴， ． 故答案为：． 13. 如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是应用平行线间的距离处处相等得到和的面积相等．连接，得到和的面积相等，然后结合反比例函数的比例系数的几何意义求得的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴轴， ∴点和点到的距离相等， ， ， 故答案为：3． 14. 如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共12小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据平方差公式将等号右边的部分因式分解，再移项，提公因式，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故或， ∴，． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据，计算即可． 本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂，三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 在中，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负性，确定角的三角函数值，由特殊角的三角函数值确定的角的大小，再利用三角形内角和计算即可． 本题考查了实数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和，熟练掌握三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 18. 如图，在中，，．在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质． 作的垂直平分线交的延长线于点，以点为圆心，为半径作圆． 【详解】解：如图所示． 19. 如图，在的正方形网格中，点是格点（网格线的交点），是格点三角形（顶点在格点的三角形），且是点以点为位似中心的对应点． （1）画出以点为位似中心的位似图形． （2）与的相似比是_____． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）画位似图形的一般步骤如下：①确定位似中心；②连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形． （2）要求位似比则需要把对应边的长度求解并做比值即可． 本题考查了位似的作图，位似计算，熟练掌握作图是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故， 画图如下： ， 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 故相似比为：． 故答案为：． 20. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 21. 已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： （1）线段的长； （2）的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质等知识点． （1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出∠C的正切值即求出了的值． 【小问1详解】 解：∵是边上的高，和是， 在中， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，学校后山坡上有一棵山楂树，小明和同学准备利用所学知识测量山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点到所在直线的距离，方案及测量报告如下． 测量对象 山楂树 测量工具 平面镜、皮尺、测倾器 测量方案 ①小明站在点处，让同学移动平面镜至点处，此时小明在平面镜内可以看到山楂树顶点，并测量米．眼睛到地面的距离米； ②测量平面镜至山脚下的距离米； ③小明又站在点处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角．（测倾器的高度米，点在同一水平线上，） 测量示意图 请根据以上测量报告中的数据，帮助小明求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】山楂树顶到山脚下的垂直距离约为8米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 过点作交延长线于点，交直线于点，证明四边形是矩形，则有米，设米，再利用正切的定义可得，表示出的长，再证得，得到，解出的值，得到的长即可解答． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，交于点． ， ． ， ， 四边形是矩形， 米． 设米， 在中，， （米）， 米，米． ， ， ， 即， 解得， （米）． 答：山楂树顶到山脚下的垂直距离约为8米． 23. 如图，这是将窗户抽象成的几何图形，它的上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形．图中所有线段的总长为，设的长为． （1）直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的面积． （2）当窗户的总面积为时，求的长． 【答案】（1）， （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可求出，根据题意可得，，即可求得；； （2）根据题意，列出方程，解方程求出的值，结合实际，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，可得，， ． 所有线段总长为，， ，， ． 【小问2详解】 解：由（1），可得， 解得，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，， 的长为． 24. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，求的长． 【答案】（1） 解：直线与相切，理由如下： 连接，则：， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 25. 某公园计划修建一个如图1所示的以为半径的圆形喷水池，喷水池中心处立着一个高为的实心石柱，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，与池面的距离为．在距离池面的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． （1）求圆形喷水池的半径． （2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少？ 【答案】（1）圆形喷水池的半径为 （2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质；结合题意熟练运用二次函数的性质解题是关键． （1）通过顶点坐标求得二次函数解析式；再令，解一元二次方程，得出，保留符合题意的值，即解得答案； （2）根据题意，令，解一元二次方程求出，保留符合题意的值，即解得答案． 【小问1详解】 解：以为原点建立平面直角坐标系，则第一象限抛物线的顶点的坐标为． 设第一象限抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得． ． 令，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 圆形喷水池的半径为． 【小问2详解】 解：令，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 为了不影响水流，小水池的半径不能超过． 26. 问题提出： （1）如图1，在中，，点是的外接圆的圆心，则的长为_____． 问题探究 （2）如图2，矩形为的中点，以为直径作半圆为半圆上一动点，则点之间的最大距离为_____． 问题解决 （3）某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？ 【答案】（1）；（2）9；（3）修建这条小路最多要花费元． 【解析】 【分析】（1）连接，，并延长交于D，根据题意得，是等腰三角形，由三线合一得且，求出，设，则，依据勾股定理列方程解答即可； （2）连接并延长交半圆于点P，取半圆上一点，连接，根据即可解答； （3）作射线交于点．根据题意得所在圆的圆心在射线上，假设圆心为点，半径为，连接，则，在中，求出，过点作，垂足为．求出 ，，得点在内部，连接并延长，交于点，在上任取一点异于点的点，连接．得为入口到上一点的最大距离．过点作，垂足为，则，，，即可解答． 【详解】解：（1）连接，，并延长交于D， ∵， ∴是等腰三角形， 由三线合一得且， ∴， ∴， ∵点是的外接圆的圆心， ∴， 设，则， ∴，即，化简得， 解得； （2）解：连接并延长交半圆于点P，取半圆上一点，连接， ∵矩形为的中点， ∴，， ∵以为直径作半圆， ∴为的中点， ∴，， ∵， ∴的最大值为； （3）如图，作射线交于点． 是劣弧， 所在圆的圆心在射线上，假设圆心为点，半径为， 连接，则（米）． 在中，， 解得（米），（米）． 过点作，垂足为． ，． 在中，（米）． 在中，（米）， ，点在内部． 连接并延长，交于点，在上任取一点异于点的点，连接． ，即， 为入口到上一点的最大距离． 过点作，垂足为， 则（米），（米）， （米）， （米）， 修建这条小路最多要花费元． 【点睛】本题考查三线合一，勾股定理，三角形外接圆的性质，三角形三边关系，圆的基本知识，熟练掌握相关知识，作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $