江苏省南通市2025-2026学年上学期九年级期末数学模拟试卷

江苏省南通市2025-2026学年九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 2.在中，，，，那么下列锐角三角比中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图所示的几何体中，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 4.如图，已知∽；：：，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，如果，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.科技承载梦想，创新始于少年某校科技社团的学生制作了一艘轮船模型如图，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力是其速度的反比例函数，其图象如图所示，下列说法不正确的是          (    ) A. 该段航行过程中，随的增大而减小 B. 时， C. 该段航行过程中，函数解析式为 D. 时， 7.如图，在中，，，，垂足为，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在的、边上分别取点、使得与以、、为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定、的方法，正确的有   ． A. 种 B. 种 C. 种 D. 全部错误 9.如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为设矩形菜园的边的长为，面积为，其中有下列结论：的取值范围为；的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；矩形菜园的面积的最大值为其中，正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 10.如图，是半径为半圆的直径是圆中可移动的弦，且，连接、相交于点，弦从与重合的位置开始，绕着点顺时针旋转，则交点运动的路径长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共21分。 11.如图，一辆汽车在坡度即的斜坡上沿斜坡前进了米，则该汽车竖直方向升高了          米． 12.如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点若，则的对应点的坐标是          ． 13.如图，在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧，连结、若，则图中阴影部分的面积是      ． 14.如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小亮在点处测得自己的影长，沿方向从后退到处，测得自己的影长，如果小亮的身高，则路灯杆的高度是        米 15.已知二次函数，当时，的取值范围为________． 16.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，矩形的面积为，矩形的顶点，分别在矩形的边，上，矩形的面积为，边，相交于点，函数的图象经过点，并交边于点，则            ；若，则点的坐标为            ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 17.计算： 解方程： 四、解答题：本题共8小题，共89分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 如图是某几何体的三视图． 这个几何体的名称是______； 若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 19.本小题分 甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：汽车数量为整数； 月利润月租车费月维护费； 两公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： 当每个公司租出的汽车为辆时，甲公司的月利润是          元；当每个公司租出的汽车都为          辆时，两公司的月利润相等． 求两公司月利润差的最大值． 甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 20.本小题分 如图，在中，，点是边上的点，点是边上的点，过点作与边，分别相交于点，，． 求证：为的切线； 当，时，求的长． 21.本小题分 如图，方格中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． 在方格纸中，画出点在格点上，满足，且的面积是； 在的边上画出点，使线段的长是个单位长度保留作图痕迹，体现作图过程，连接，并直接写出的值． 22.本小题分 红星路上有一棵树，树底距离护路坡的底端有米，斜坡的坡角为度，小森发现，下午点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻米长的竹竿影长为米下午点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示． 树的高度是______米； 求的长． 23.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别相交于点，点在点的右侧，与轴交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，且点的横坐标为． 求点的坐标及，的值； 连接，，点为抛物线上一点，若时，求点的坐标； 二次函数与二次函数组成新函数，当时，新函数的最小值为，最大值为，请直接写出的值． 24.本小题分 【定义】将一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值为“旋似比”． 【概念初识】如图，，点，，在一条直线上，其中，，，，线段绕着点旋似至线段，则旋似角为______，旋似比是______； 【概念应用】如图，在中，，线段绕着点旋似至线段，使得点落在线段上，且旋似比，求线段绕着点旋似至线段的旋似角的度数； 【深度思考】如图，在第问的条件下，延长至点，使得，连接并延长交线段于点，当点是中点时，求线段绕着点旋似至线段的旋似比． 25.本小题分 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交轴，轴于，两点． 请直接写出，两点的坐标； 在该反比例函数的图象上取一点，连接，，直线交射线于点，若∽，且相似比为，求的值； 在的基础下，设直线对应的一次函数为，结合图象直接写出当时，的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：横坐标左加右减，纵坐标上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：， ， ，， ， A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项正确； D.，故此选项错误． 故选：． 先运用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可． 此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 3.【答案】  【解析】解：从正面看左边一个正方形，右边一个正方形，故D符合题意； 故选：． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4.【答案】  【解析】解：∽，：：， ：：：， 又， ， 故选：． 利用相似三角形的性质可得：：：代入即可得出． 本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：由题意可知：、是圆的切线，， ，， 在中，，， 则， 故选：． 根据切线的性质得到，根据切线长定理得到，再根据含角的直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径． 6.【答案】  【解析】解：、根据图象可知，是定值，随的增大而减小，选项正确，不符合题意； B、根据图象可知，当时，，选项错误，符合题意； C、根据图象可知，函数表达式为，选项正确，不符合题意； D、由，时时，，选项正确，不符合题意． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，再利用角的和差关系可得，从而可得，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 本题考查等腰三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 8.【答案】  【解析】本题主要考查相似三角形的判定、圆内接四边形的性质、作图基本作图等知识点，掌握相似三角形的判定方法以及基本作图的方法是解题的关键． 第一种情况，由圆内接四边形的性质推出，而可判定；第二种情况：由作图知：，即可判定；第三种情况：由作图知：平分，在的垂直平分线上，得到，推出，判定，进而完成解答． 【详解】解：第一种情况： 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； 第二种情况： 由作图知：， ， ； 第三种情况： 由作图知：平分，在的垂直平分线上， ， ， ， ， 使得与以、、为顶点的三角形相似，三种尺规作图确定、的三种方法都正确． 故选：． 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】解：是半径为半圆的直径．是圆中可移动的弦，且， 连接，，， ， ， 当弦从与重合的位置开始，绕着点顺时针旋转时， 即， 此时点与点，重合， 为直径， ， ， ， ， 作的外接圆，记为，连接，， 点的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度， ， 连接， 为中点， ， ， ， ， 路径长为：， 故选：． 连接，，，先导角得到，作的外接圆，记为，连接，，那么点的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度，则，连接，解直角三角形得到，路径长为． 本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在确定点的运动轨迹． 11.【答案】  【解析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟知坡度的概念是解题的关键． 设汽车竖直方向上升的高度为米，根据坡度的概念用表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设汽车竖直方向上升的高度为米， 斜坡的坡度， 汽车前进的水平宽度为米， 由勾股定理得：， 解得：负值舍去， 则汽车竖直方向上升的高度为米， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】本题考查了位似变换，由与位似，，得与的相似比为，，再根据位似变换的性质即可求解，正确求出相似比是解题的关键． 【详解】解：与位似，， 与的相似比为， ， ，即， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧如图，作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点，连接、， ，， ，，、 ， ， ，， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：小亮在点处测得自己的影长，沿方向从后退到处，测得自己的影长， 由题意，得，，， ，， ∽，∽， ， ， ，即， ， ， ， ； 故答案为：． 证明∽，∽，列出比例式进行求解即可． 本题考查相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：二次函数中， 抛物线开口向上，有最小值， ， 抛物线的对称轴，， ， 当时，． 当时，． ． 故答案为． 16.【答案】   【解析】解：在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，  如图，连接，，，      则 ，  ，  ；  由条件可知，  ，，  ，  ，  ，  设，则，  同理：设，则，  ，，  ，  ， 解得：，，  ，    故答案为：，． 如图，连接，，，先求得，再根据反比例函数的几何意义可得；再说明，易得设，则；设，则，进而得到，可求得、的值，进而确定点的坐标． 本题主要考查了反比例函数与几何的综合、矩形的性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 17.【答案】解：原式 ； 移项得 解得，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】三棱柱  平方厘米  【解析】解：由三视图可知主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形可知，这个几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； 由题知，该几何体的表面积． 答：这个几何体的表面积是平方厘米． 从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； 根据直三棱柱的棱长的和以及表面积公式计算即可． 此题考查从三视图判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． 19.【答案】【小题】 【小题】 设两公司的月利润分别为元，元，月利润差为元．  则，  分情况讨论： 当甲公司的利润大于乙公司时，， 当时，利润差最大，为元； 当乙公司的利润大于甲公司时，，  ，由二次函数的性质可知，当时，利润差最大．即利润差元综上，两公司月利润差的最大值为元． 【小题】 捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，利润差为此二次函数图像的对称轴为直线只能取整数，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，月利润之差最大，，解得．   【解析】  当每个公司租出的汽车为辆时，甲公司的月利润为元设每个公司租出汽车为辆，由题意可得，解得或舍去，即当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等．  略  略 20.【答案】证明：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； 解：在中，，， ，， ， ∽， ， 设的半径为，即，则， ， 解得， ．  【解析】根据圆周角定理，平行线的判定和性质以及切线的判定方法进行解答即可； 根据直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质列方程求出半径即可． 本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握掌握切线的判定和性质，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． 21.【答案】如图所示．   如图，点即为所求．  【解析】如图所示． 如图，点即为所求． 过点作于点． ，，，， ， ，， ， ， ． 根据要求画出图形即可； 取格点，，连接交于点，过点作于点，求出，可得结论． 本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22.【答案】  米  【解析】解：米长的竹竿影长为米，米， 则：：， 解得：， 故答案为：； 延长，交于点， ，， ， 米， 米， 米， 答：的长为米． 根据在同一时刻物高和影长成正比，即可求出结果； 延长交延长线于点，根据角的直角三角形的性质即可求出结果． 本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影．解决本题的关键是作出辅助线得到的影长． 23.【答案】点的坐标为，，  点的坐标为   【解析】解：由， 令得， 解得，， 点在点右侧， ，， 点在上，横坐标为， ， ， 经过和， ， 解得，； 过点作轴交于点， 由知点的坐标为，点的坐标为， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， 当点在上方时， 设与轴交于点， ，， ∽， ， ， ， ， ； 设直线的解析式为，把点与点代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令， 则， 解得，舍去， 点的坐标为； 当点在下方时，设与轴交于点， 同理可得：∽， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点与点代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令， 则， 解得舍去， 点的坐标为； 由题意得，， 当时，最大值为， 在上时，， 解得， 则设该点为点； 在上时，， 解得，舍去， 则设该点为点， 过点和点作轴的垂线，如图， 存在三种情况，当时，则在点处，函数取最小值， 与假设矛盾，故舍去； 当时，则， ， 由图可知，该范围内的图象在轴上方，故最小值大于，则与最小值为相矛盾， 此情况不存在； 当时，函数在点处取最小值， ， ， 解得，舍去， 综上所述，的值为． 令，再根据图象可求出点和点，最后根据点在上，横坐标为，即可求解； 过点作轴交于点，由知点的坐标为，点的坐标为，证明四边形是矩形，进而可得，再根据题意分为两种情况：当点在上方时和当点在下方时，根据相似三角形的判定和性质求解即可； 由题意得新函数为，根据最大值为，可求出或，再根据新函数图象进行分情况求解即可． 本题考查了二次函数图象和性质、矩形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，学会分情况讨论是解决本题的关键． 24.【答案】，；   ；    【解析】，，，， ． ， ∽， ，， 旋似比为， 点，，在一条直线上， ，， ， 旋似角为； 故答案为：，； ，， ∽， ， ， 线段绕着点旋似至线段的旋似角为； 由知是直角三角形， 点是中点，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 线段绕着点旋似至线段的旋似比为． 根据，易证∽，结合，推出，，可得旋似比，再根据三角形外角的性质得到，结合，推出，可得旋似角； 根据，，易证∽，推出，进而得到，可得旋似角； 由知是直角三角形，根据点是中点，可得，设，根据，得到，进而求出，利用勾股定理求出，进而求出，再根据等边对等角得到，由，推出，利用对顶角的定义推出，结合，证明∽，得到． 本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 25.【答案】，      【解析】解：直线分别交轴，轴于，两点， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， ，； ∽， ， ， 直线分别交轴，轴于，两点． 直线的表达式为， 设点， 由得，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∽，且相似比为， ， ， ， 即， 将代入反比例函数的解析式可得， 解得：； 由得，， 如图， 直线对应的一次函数为， 当时，则． 在中，当时，，即可得出点的坐标，当时，，解得，即可得出点的坐标； 由相似三角形的性质可得，再结合一次函数的性质可得直线的表达式为，设点，求出，从而可得，求出，即，再利用待定系数法求解即可； 根据得出，又因为，故运用数形结合思想得，即可作答． 本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的性质，勾股定理，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $