精品解析：天津市西青区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025～2026学年度第一学期学校学业质量期末监测 八年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2.本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C D. 2. 在一些美术字中，有汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个等腰三角形的一边长为，周长为，这个等腰三角形的腰长是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 在中，比大，比大，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 1 11. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点E，F，过点A作于点D，且点D恰好为线段的中点，若的周长为28，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 12. 如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画两条弧（两条弧半径不等），使得两弧分别与相交于点M，P，N，Q，连接相交于点O，连接并延长，与边相交于点D． 有下列结论： ①； ②； ③； ④的面积是面积的2倍； ⑤点D既在线段的垂直平分线上，也在的平分线上． 其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2.本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：__________． 14. 计算：__________． 15. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是__________． 16. 已知（x，y都是正整数），则值为__________． 17. 如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为_______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 三、解答题（本大题共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 分解因式． （1） （2） 20. 先化简，再求值． （1），其中，． （2），其中． 21. 按照题目要求完成作图． （1）如图1，已知平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，作出线段关于轴对称的线段，并直接写出点，的坐标． （2）尺规作图：如图2，已知线段，，求作等腰，使它的底边长为，底边上高的长为（不写画法，保留作图痕迹）． 22. 如图，是的高，是的角平分线，平分，与相交于点F，已知，，求和的度数． 23. 中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． （1）根据题意填空． ①小明设___________为km/h，列出尚不完整的方程：___________； ②小华设___________为h，列出尚不完整的方程：； （2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 24. 已知点E，M分别是的边，上的点，点F在边的延长线上，满足，点D在外部，且，，与相交于点O，连接． （1）如图①，求证：； （2）如图②，当，时，若，求线段的长． 25. 已知中，，点，E分别在边上，和相交于点，． （1）如图①，求证：为等边三角形； （2）如图②，过点B作于点H，求证：； （3）如图③，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期学校学业质量期末监测 八年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2.本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此可得答案． 【详解】解：A、是因式分解，符合题意； B、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、不是多项式，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选C． 3. 若分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题关键是牢记分母不为零． 根据分式有意义的条件：分母不为零，求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 4. 将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； ．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； ．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； ．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，幂的乘方法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 一个等腰三角形的一边长为，周长为，这个等腰三角形的腰长是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形三边之间的关系，等腰三角形周长，一边长为，需分情况讨论该边是腰或底边，并验证三角形不等式． 【详解】解：当等腰三角形的腰为时，则等腰三角形的底边为， 则三角形三边长分别为、、， ， 不能构成三角形， 当等腰三角形的底边为时，则等腰三角形的腰长为， 则等腰三角形的三边长分别为、、， ， 能构成三角形， 等腰三角形的腰长为7. 故选：B． 8. 在中，比大，比大，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理应用，熟练掌握三角形内角和定理，是解题的关键．利用三角形内角和为，设为，表示出和，列方程求解即可． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 9. 如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键．直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故选：A． 10. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 利用已知条件和，通过完全平方公式求． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 即， ∴， 故选C． 11. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点E，F，过点A作于点D，且点D恰好为线段的中点，若的周长为28，，则的长为（ ） A 6 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．连接，根据垂直平分线的性质得出，，根据垂直平分线的性质得出，即可． 【详解】解：连接，如图所示： 的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 12. 如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画两条弧（两条弧半径不等），使得两弧分别与相交于点M，P，N，Q，连接相交于点O，连接并延长，与边相交于点D． 有下列结论： ①； ②； ③； ④的面积是面积的2倍； ⑤点D既在线段的垂直平分线上，也在的平分线上． 其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，作线段，三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，由作图可得，易证，推出，结合，易证，推出，结合已知求出，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：由作图可得， ，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ， ， ， ∴平分， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵中，， ∴是等腰三角形， ∴点在线段的垂直平分线上，也在的平分线上，故⑤正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于即不一定垂直，故①错误； 综上，正确的有②③④⑤，共4个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2.本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方及负整数幂，先计算积的乘方，再利用负整数幂的运算法则化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O的竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 过点作于点，摆绳与地面的垂足为，证明，得到，再利用勾股定理求出，得到，求出，由题意得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂足为， 与成角， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴． 故答案为：． 16. 已知（x，y都是正整数），则的值为__________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，涉及幂的乘方和同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握计算公式． 先由得，然后将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：由得． ∴． 故答案为：32． 17. 如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解． 【详解】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 【答案】 ①. (1)1 ②. (2) 【解析】 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 分解因式． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值． （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算以及代数求值，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先利用平方差公式和完全平方公式化简，然后合并后代入求解即可； （2）首先将分子分母因式分解，然后约分，然后将除法转化为乘法后约分，然后通分后代入求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∵ ∴原式； 【小问2详解】 解： ， ∵ ∴原式． 21. 按照题目要求完成作图． （1）如图1，已知平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，作出线段关于轴对称的线段，并直接写出点，的坐标． （2）尺规作图：如图2，已知线段，，求作等腰，使它的底边长为，底边上高的长为（不写画法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）图见解析；； （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的对称问题，线段的尺规作图，熟练掌握对称点坐标的确定方法是解题的关键． （1）两点关于轴对称，横不变，纵相反，确定各自的对称点坐标，然后在坐标系中描点，连接即可； （2）先作射线，确定、的位置，再做出线段的垂直平分线，确定点，再做即可． 【小问1详解】 解：图中线段即为所作， 点，的坐标分别为，． 【小问2详解】 解：先作射线，确定、位置，再作出线段的垂直平分线，确定点，再做， 下图即为所作： 22. 如图，是的高，是的角平分线，平分，与相交于点F，已知，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线、高线及直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质得到，求出，然后利用三角形内角和定理求出；利用直角三角形两锐角互余求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴． 23. 中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． （1）根据题意填空． ①小明设___________为km/h，列出尚不完整的方程：___________； ②小华设___________为h，列出尚不完整的方程：； （2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）①普通列车的平均速度，；②动车的行驶时间， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． （1）①设普通列车的平均速度为x km /h，则动车的平均速度为，根据所需时间比普通列车少，即可列出关于x的分式方程，此题得解．②设动车的行驶时间为h，根据动车行驶的平均速度比普通列车快，列出方程即可； （2）解（1）中列出的方程并检验即可． 【小问1详解】 解：①小明设普通列车的平均速度为km/h，列出的方程为：， 故答案为：普通列车的平均速度， ②小华设动车的行驶时间为h，列出的方程为：； 故答案为：动车的行驶时间， 【小问2详解】 ①设普通列车的平均速度为，列出的方程为：， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ， 答；该动车行驶的平均速度． ②设动车的行驶时间为h，列出的方程为： 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ， 答；该动车行驶的平均速度． 24. 已知点E，M分别是边，上的点，点F在边的延长线上，满足，点D在外部，且，，与相交于点O，连接． （1）如图①，求证：； （2）如图②，当，时，若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）先证明，再根据“”证明即可； （2）根据，得出，，证明，得出． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 25. 已知中，，点，E分别在边上，和相交于点，． （1）如图①，求证：等边三角形； （2）如图②，过点B作于点H，求证：； （3）如图③，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）16 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键． （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴等边三角形； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $