湖南省湘西州2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

2025年秋季义务教育阶段学校期末考试参考答案 九年级数学 一、选择题（每小题只有1个正确选项，每小题3分，共30分） 1—5：DCADB 6—10：DCBAC 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. （2，1） 12. 120° 13. 144° 14. 3 15. 2026 16. 30° 17. 20 18. 3、 解答题（本大题共8道小题，满分66分） 19.（8分） （1） 解：……………………（2分） 解得，…………………………（2分） （2）解：……………………（1分） ……………………（2分） 解得，……………………（1分） 20.（8分） (1) 解：方程有两个实数根，故……（2分） 即 ，…………（1分） 解得 ………………（1分） (2) 解：由韦达定理得， ………………（1分） …………（1分） 解方程 ， ………………（1分） 得 ………………（1分） 21.（8分） （1）相等；…………（2分） （2）画树状图如下： …………（3分） ∵共有12种等可能的结果，其中至少有一个小球表面写的有字母B的结果有6种， ∴一家去花垣十八洞村旅游的概率为： …………（3分） 22.（8分）(1) 坐标为(-4,3) …………（1分） …………（2分） (2) 解：点A旋转扫过的面积为扇形面积， 半径OA=，圆心角90° ∴ 面积 …………（3分） 23. 解：（1）设每副对联降价元，根据题意，得： …………（1分） …………（1分） 解得：， …………（1分） ∵降价越多有让利于顾客 ∴ 当时，售价 = 元 ∴ 此时每副对联的售价应为28元。…………（1分） （2）设每天总利润为元，根据题意，得： …………（2分） 整理，得 …………（1分） ∵ ，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值1350元 …………（1分） 此时售价：元 …………（1分） 答：每副对联售价为33元时，每天获利最大，最大利润为1350元。 24. 解：（1）∵是等腰直角三角形， ∴， …………（1分） 由旋转性质得， ∵ ∴ …………（1分） 在中， ∵ ∴ 则 …………（1分） ∴ …………（1分） (2) 解答过程： 在等腰直角中，， ∴ …………（1分） ∵ ， ∴ …………（1分） 由(1)知，∴， 又 ∴ 在中， …………（2分） 25. （1）①∵ ，AM、BN是的切线，CD是的切线， ∴ ，，， ∵ 于F，则四边形ABFD是矩形， ，，。 又 在中，由勾股定理： ， 展开得：， 化简得：， 即为定值。 …………（2分） ②由①知 ，则， ∴ 由切线长定理知 OD平分，OC平分 ∴ ，， 则， ∴ 是直角三角形， ∴ 在 中，由勾股定理得： 在 中，由勾股定理得： 在 中，，由勾股定理得： 代入得： 整理得 化简得：， …………（2分） （2）∵，， ∴ …………（1分） ∴ 又 联立 解得或 ∴此时，AD的长度为4或16. …………（2分） （3），理由如下： 由（1）知， 把代入 中，得 …………（2分） 又 ∴ …………（1分） 26. 解：（1）将、代入抛物线，得方程组： 解得，， 故抛物线解析式为. …………（2分） 抛物线与y轴交点C的坐标为，设直线AC的解析式为， 代入得： 故直线 AC 解析式为. …………（1分） （2）点P横坐标为（），则.…………（1分） 过点作过作轴于点，交直线于点，则 的水平宽， 铅垂高为 ∴的面积 …………（1分） =…………（1分） ∴当时，S取得最大值 . …………（1分） 综上，S关于m的函数关系式为，S的最大值为 . （3）设点P的横坐标为t，则， N在直线AC上且横坐标为t，故，. . 过C作于D，则，，， 故是等腰直角三角形， 由，得. …………（1分） ∵点P与C不重合，故 两边除以得 分两种情况讨论： ①当P在点N上方时（） 此时，即，得） ∴ 解得 把代入抛物线解析式，得 ， . …………（1分） ②当点P在N下方（）， 此时，即，得或） ∵： 若，则， 解得 把代入抛物线解析式，得 ， 此时. …………（1分） 若，则，解得，舍去. 综上，点P的坐标为或. 九年级数学参考答案 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025年秋季湘西州义务教育阶段学校期末考试试卷 九年级数学 注意：本卷包括26道大题，考试时量120分钟，满分120分。 一、选择题（每小题只有1个正确选项，每小题3分，共30分） 1.2025年12月27日，湖南省足球联赛（简称“湘超”）在长沙贺龙体育场落 下帷幕，14个州市队徽设计充分体现了各地地方特色与足球元素的融合，见证 了湖南足球的荣耀与风采.下列四个地市队徽中的足球元素，是中心对称图形的 是( B. 2.下列事件是必然事件的是() A.水中捞月 B. 守株待兔 C.水涨船高 D.刻舟求剑 3.已知⊙O的半径为3，点P在⊙0内，则0P的长可能是( A.2 B.3 C.4 D.5 4.一元二次方程5x2-2x一1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 () A.5x2,2x,1 B.5x2,-2x,-1 C.5,2,1 D.5,-2,-1 5.已知点A(-2,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标是() A.(-3,2) B.(2,-3) C.(2,3) D.(-2,-3) 6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点D,若AB=8cm,CD=2cm,则 半径的长是() A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6题图 7题图 8题图 九年级数学试卷 第1页共6页 7.如图，点A,B,C在⊙0上，若∠A0B=110°，则∠C的度数为( ) A.45° B.50° C.55 D.60° 8.如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合， 则至少应将它旋转的度数是() A.60° B.72° C.90° D.144° 9.据统计，湖南省2025年第一季度人均可支配收入10860元，第三季度达到 28248元，若第一季度至第三季度间人均可支配收入的增长率都为x,则下面所 列方程正确的是() A.10860(1+x)2=28248 B.28248(1+x)2=10860 C.10860(1-x)2=28248 D.28248(1-x)2=10860 10.如图，二次函数y=a2+br+c(a≠0)的图象与x轴正半轴交于点(，0)，对称 轴为直线x=1,以下结论：①abc>0:②4a+2b+c=0:③5a+4c>0: ④若点(-4，y1),(1,y2),(2.5,y3)均在函数图象上，则>>；⑤对于任意实 数m,都有a+b≤am2+bm,其中结论正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 0 10题图 12题图 13题图 14题图 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11.抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标是 1?如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，若∠A=60°，则∠C的度数为 13.已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则其侧面展开扇形的圆心角的度数 为 14.黑白相间的中国二维码商业应用始于2006年，数学小组对如图所示的二维 码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的 大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑 色部分的面积约为 九年级数学试卷 第2页共6页 15.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,称此方程为“三 新”方程.己知方程a2x2+2025ax-1=0(a≠0)是“三新”方程，则代数式 a2+2024a+1-2025a=· a 16.如图，如图，把△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△ADE的位置，使点 C在线段DE上，连接BD,则∠E的度数为 y(米) x(米) 16题图 17题图 17.2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公 园”，得到广大市民的一致好评.为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水 进行养护.如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头 的高度（即OB的长度）是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大 高度1.8米，水流喷射的最远水平距离0C是 米. 18.如图，正方形ABCD的边长为12，⊙0的半径为3，若 ⊙0在正方形ABCD内平移（⊙0可以与正方形的边相切）， 0 则点A到⊙0上的点的距离的最大值为 三、解答题（本大题共8道小题，满分66分） 19.(8分)解下列一元二次方程（每小题4分）： 18题图 (1)x2-6x+5=0 (2)x(x+3)=2x+6 20.(8分)已知关于x的方程x2-6x+(2m+1)=0. (1)(4分)若方程总有两个实数根，求m的取值范围： (2)(4分)若x1与x2是该方程的两个实数根，且满足x子+x经=22，求m的值. 九年级数学试卷第3页共6页 21.(8分)湘西州是全国宜居和旅游城市，旅游资源相当丰富.春节期间，小 华和爸爸妈妈准备前往湘西旅游.小华一家计划先坐高铁到吉首，再考虑从以下 四个地点中选择两个前往：凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城 景区.由于时间紧和意见难以统一，小华爸爸在外观相同的4个小球表面写上 “A”,“B”,“C”,“D”,分别代表凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇 景区、永顺老司城景区，并将小球装入不透明袋子里面，让小华从中随机抽取小 球，来用以决定前往旅游的地点 (1)(2分)判断：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率 (填“相等”或“不相等”)； (2)(6分)小华很想去花垣十八洞村，但是妈妈想去凤凰古城.于是爸爸说： 小华可以随机摸出两个小球，第一次摸出第一个小球后不放回袋子里，再摸第二 次，摸出第二个小球，如果摸出的两个小球中，至少有一个小球表面写的有字母 “B”，那么就去花垣十八洞村.请你求出小华一家去花垣十八洞村旅游的概率. 22.(6分)在平面直角坐标系内，△AB0的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(3,1), 0(0,0). (1)(3分)画出△AB0绕点0逆时针旋转90°后得到△A1B101,写出点A1的 坐标： (2)(3分)在(1)的条件下，求点A旋转到点A1所扫过的面积. 九年级数学试卷 第4页 共6页 23.(8分)春节临近，“喜洋洋”饰品店试销一款定制对联，每副对联的进价 为18元.试销一段时间后发现，若每副对联售价定为38元，每天可销售60副： 若每副对联的售价每降价2元，每天的销售量就增加12副. (1)(4分)若该饰品店销售这款对联想要每天获利1200元，并且尽可能让利 于顾客，那么每副对联的售价应为多少元？ (2)(4分)通过计算说明，每副对联的售价为多少元时，每天销售这种对联 获利最大，最大利润是多少元？ 24.(8分)如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点（不 与B、C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE,连接BE和DE. (1)(4分)求∠EBD的度数： (2)(4分)若AB=4,BD=√2，求DE的长. 24题图 25.(10分)【问题背景】 如图①，⊙0的直径AB=16cm,AM、BN是⊙0的两条切线，切点分别为点A、 点B,直线CA与⊙O相切于点E,并与AM、BN分别交于点D、C两点. 【问题探究】 (1)如果设AD=xcm,BC=ycm,小明和小华同学在探究过程中，发现线段 AD与线段BC的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法， 请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论. A D M A D A D M 0 N C B 图① 图② 图③ 九年级数学试卷 第5页共6页 ①(2分)小明同学的思路是：如图②，过点D作DF⊥BC于点F,请完成解答 过程 ②(2分)小华同学的思路是：如图③，连接0D、0C、OE,也顺利的完成了 探究，请补全图形，并完成解答过程， 【问题解决】 (2)(3分)请结合图形解决下列问题：如图③，若△C0D的面积是80cm2, 求此时线段AD的长度： (3)(3分)在(1)的条件下，令AD=x,BC=y,a= 64 64 64++ 64+y b=本+ 请比较a、b的大小，并说明理由 26.(10分)【阅读材料】如图①，过△ABC的三个顶点 分别做出与水平线垂直的三条线，外侧两条直线之间的距 铅垂高 离叫△ABC的“水平宽(a)”,中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可以得 出一种计算三角形面积的新方法：SaAC=ah,即三角 B 形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 水平宽a 【解决问题】 图① 如图②，已知抛物线y=-x2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-3,0)和点 B(1,0),与y轴交于点C. (1)(3分)求抛物线的解析式和直线AC的解析式： (2)(4分)若点P为第二象限抛物线上一动点，其横坐标为m,△APC的面积 为S,求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值： (3)(3分)若点P是抛物线上与A、B、C不重合的一点，过P作PM⊥x轴 于点M,交直线AC于点N,当PN=CN时，求点P的坐标. 图② 图③ 九年级数学试卷第6页共6页