河北省邢台市五校2026届高三上学期12月联考数学试卷

河北省邢台市五校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．在复平面内,对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．设向量,则( ) A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件 3．设等差数列的前n项和为，若，，则使最小的n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5 4．为保保农副产品的安全,防止农药残留超标影响公众健康,我国制定了79种农药在32种（类）农副产品中的192项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂,其最高残留限量为.一果园检测发现,某次喷洒农药后,耙耙柑上的百菌清残留量达到了,并以每天的速度降解,直至20天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的10天后,百菌清残留量为,则在该次喷洒农药的___________天后,百菌清残留量约为.（参考数据：,）( ) A.12 B.1 C.15 D.16 5．已知函数的图象如图所示，则的图象大致为( ) A. B. C. D. 6．已知,则( ) A. B. C. D. 7．已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若，，成等差数列，则( ) A.9 B.2 C. D. 8．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是( ). A. B.在方向上的投影向量为 C. D.当时，与的夹角为锐角 10．如图，正方形ABCD为圆柱的轴截面，E为的中点，F为BC的中点，四面体ABEF外接球的表面积为，则( ) A.平面BEF B.该圆柱的体积为 C.直线AC与平面BEF所成的角为 D.点C到平面AEF的距离为 11．已知函数，则( ) A.若，则函数的极小值点是 B.函数的图像关于点中心对称 C.若过点有三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 D.若函数在上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．求过点,且横纵截距的绝对值相等的直线方程________.（最后结果都写成一般式） 13．已知,如果存在实数,使得对任意的实数x,都有成立,则的最小值为______. 14．在正四棱台中，，，，设，，，则______． 4、 解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C. （2）若，，在角C的平分线上取点D，且，判断点D是否在线段AB上，请说明理由. 16．（15分）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意，都有，求实数a的取值范围. 17．（15分）已知数列中,,． (1)证明数列是等比数列,并求的通项公式； (2)数列满足,设为数列的前n项和,求使恒成立的最小的整数k． (3)设,求数列的前n项和． 18．（17分）已知函数． (1)证明：的图象与x轴相切； (2)设． （i）当时,求函数的单调区间； （ii）若在上恒成立,求实数a的取值范围． 19．（17分）如图,在长方体中,. （1）求异面直线与所成角的余弦值; （2）求到平面的距离; （3）求直线与平面所成角的正弦值. 河北省邢台市五校2026届高三上学期12月联考 数学参考答案 1．答案：B 2．答案：C 3．答案：D 4．答案：B 5．答案：C 6．答案：D 7．答案：A 8．答案：B 9．答案：AB 10．答案：ABD 11．答案：BCD 12．答案：或或 13．答案： 14．答案： ． 15．答案：（1） （2）点D不在线段AB上.理由见解析 解析：（1）由及正弦定理， 得. 因为， 所以， 即， 化简得. 因为，所以， 即，亦即. 又，所以，. （2）点D不在线段AB上.理由如下： 理由一：设CE为角平分线，E在AB上. 由，得. 解得，所以点D不在线段AB上. 理由二：由余弦定理，得， 所以. 设c边上的高为h，则， 即，所以. 假设D在AB边上，则. 因为，所以，这与矛盾， 所以点D不在线段AB上. 16．答案：(1)单调递增区间为 (2) 解析:(1)由题意可得， 令， 化简得， 所以函数的单调递增区间为. (2)， 又，得，， 所以，， 当，即时，，，不等式恒成立，所以； 当，即时，不等式可化为， 又，所以， 解得； 综上，a的取值范围为. 17．答案：(1)证明见解析, (2)4 (3) 解析：(1)在数列中,由,得, 则, 所以数列是以3为公比,以为首项的等比数列, 则,解得,所以的通项公式． (2)由(1)知. 所以, 则, 两式相减得：. 因此,, 当时,, 所以由恒成立,可得, 所以使恒成立最小的整数k为4； (3), 所以 . 18．答案：(1)证明见解析 (2)（i）分类讨论,答案见解析；（ii）. 解析：(1)的定义域为, 所以,令,解得, 当时,,单调递增；当时,,单调递减, 又,所以曲线在处的切线方程为,即的图象与x轴相切． (2)（i）, ． 当时,由,解得或；由,解得, 所以函数在和上单调递增,在上单调递减； 当时,由,解得或；由,解得, 所以函数在和上单调递增,在上单调递减； 当时,由,得函数在上单调递增； 当时,由,解得；由,解得, 所以函数在上单调递增,在上单调递减． 综上,当时,函数的单调增区间为和,减区间为； 当时,函数的单调增区间为和,减区间为； 当时,函数的单调增区间为,无减区间； 当时,函数的单调增区间为,减区间为． （ii）在上恒成立可转化为, 设,则． 令,则, 所以函数在上单调递减, 又,,则函数在内存在唯一的零点, 当时,,,单调递减； 当时,,,单调递增, 又,得, 则, 所以,即实数a的取值范围为． 19．答案：（1） （2） （3）. 解析：（1）以A为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, 则, . 因为, 所以, 即异面直线与所成角的余弦值为. （2）设平面的法向量为, 则,令,得. 设到平面的距离为d,则, 即到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为, ,, 即直线与平面所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $