精品解析：广东省揭阳市普宁市2025-2026学年上学期期终八年级教学质量监测数学科试题卷

2025-2026学年度第一学期期终八年级教学质量监测数学科试题卷 全卷共8页，满分120分，考试用时为120分钟 说明：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上指定的栏目填写自己的监测号、姓名、监测室号和座位号，用2B铅笔在每张答题卡的“监测室号”栏、“座位号”栏相应位置填涂自己的监测室号和座位号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，答题卡交回，试卷自己保存． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6、7、10 B. 12、16、20 C. 1、2、3 D. 4、5、8 2. 数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 3. 当时，一次函数的函数值为（　　） A. B. 1 C. 5 D. 13 4. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 直角三角形的两锐角互余 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C. 如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 5. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制)选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ） A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 6. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在一次考试中，某校八年级班和班成绩的箱线图如图所示，已知两个班的人数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 班成绩比班成绩集中 B. 班成绩的上四分位数是分 C. 班同学的成绩有超过分的 D. 班和班成绩的中位数相同 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数和（k为常数，）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 12. 如图．一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽为，当电脑张角为时，顶部边缘处离桌面的距离为，调整电脑的张角，当张角为（点与点为笔记本顶部边缘同一点）时，顶部边缘处到桌面的距离为，则处与处之间的距离长为____． 13. 已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m2﹣n＝_____． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 15. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 解方程组： 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． （1）根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； （2）在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为深入贯彻党的二十大关于加快建设教育强国的战略部署，中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（2024-2025年）》．纲要明确提出，要保障中小学生每天综合体育活动时间不低于．为了更好地落实这一政策，某中学对部分学生每天综合体育活动时间进行了调查，并根据统计结果制成了如下不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）①被调查的学生人数为_______，________，________； ②被调查的学生每天综合体育活动时间的众数和中位数分别为________和________． （2）补全条形统计图． （3）若该中学共有2000名学生，试估计该校每天综合体育活动时间未达到要求的学生人数． 20. （1）如图1，，． ①与平行吗？为什么？ ②试说明：； （2）一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 21. 在某中学团支部爱心义卖活动中，准备了无人机模型和玩具车模型共100台，若售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收入180元． （1）问两种模型的售价各是多少元？ （2）已知无人机模型的数量不超过66，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多？并求出总收入的最大值． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ （1）请补全表中的勾股数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． （3）某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 23. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，． ①直接写出_____，_____； ②点的坐标_____； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，若，是直线上的动点，点在轴上的坐标为，动点坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是_____（直接写出答案即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期终八年级教学质量监测数学科试题卷 全卷共8页，满分120分，考试用时为120分钟 说明：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上指定的栏目填写自己的监测号、姓名、监测室号和座位号，用2B铅笔在每张答题卡的“监测室号”栏、“座位号”栏相应位置填涂自己的监测室号和座位号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，答题卡交回，试卷自己保存． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6、7、10 B. 12、16、20 C. 1、2、3 D. 4、5、8 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理即可判断； 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股数的判断，掌握相关知识是解题的关键． 2. 数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，立方根，无理数的估算等知识，根据数轴得出P所表示的数在1和2之间，然后结合选项分析即可求解． 【详解】解：， 由数轴知：点P表示的数在1和2中间， 观察各选项，在该范围内的数是， 故选：C． 3. 当时，一次函数的函数值为（　　） A. B. 1 C. 5 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求函数值，把代入求出函数值即可解题． 【详解】解：当时，， 故选：A． 4. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 直角三角形的两锐角互余 B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 C. 如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及直角三角形的性质、对顶角、全等三角形和三角形外角的性质，根据直角三角形的性质，两锐角互余是真命题；其他选项均存在反例，是假命题． 【详解】解：对于A：∵在直角三角形中，两锐角之和为，∴两锐角互余，故A是真命题． 对于B：两个角相等不一定是对顶角，∴B是假命题． 对于C：两个直角三角形面积相等不一定全等，例如直角边分别为和的三角形与直角边分别为和的三角形面积都是但不全等，∴C是假命题． 对于D：三角形的一个外角可能等于或小于某个内角，例如直角三角形中直角处的外角等于直角，∴D是假命题． 故选：A． 5. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制)选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ） A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：（分）； 故选B． 6. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据，点在射线上，可求出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，点在射线上，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 7. 褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据点的坐标，点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点的坐标． 【详解】解：根据嘴部点的坐标为，尾部点的坐标为，建立直角坐标系， 则点C的坐标为： 故选：D． 8. 在一次考试中，某校八年级班和班成绩的箱线图如图所示，已知两个班的人数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 班成绩比班成绩集中 B. 班成绩的上四分位数是分 C. 班同学的成绩有超过分的 D. 班和班成绩的中位数相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的解读，准确定位中位数与四分位数是解题关键． 对比两个班箱线图的箱体宽度、最大值和中位数位置，依次验证选项． 【详解】解：、班箱线图的箱体更窄，故班成绩更集中而非班，错误； 、班成绩的下四分位数是分，而非上四分位数，错误； 、班成绩的最大值没有超过分，故没有学生的成绩超过分，错误； 、两个班成绩的中位数均为分，两个班的中位数相同，正确． 故选：． 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设木长为尺，绳子长为尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， 根据题意得， 故选：． 10. 一次函数和（k为常数，）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数与y轴的交点位置情况即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象可知，故不符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象可知，故不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象可知，故符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求解，解题的关键是正确理解关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴关于轴对称的的坐标是， 故答案为：． 【点睛】 12. 如图．一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽为，当电脑张角为时，顶部边缘处离桌面的距离为，调整电脑的张角，当张角为（点与点为笔记本顶部边缘同一点）时，顶部边缘处到桌面的距离为，则处与处之间的距离长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理分别求出、的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：，，，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 13. 已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m2﹣n＝_____． 【答案】12﹣ 【解析】 【分析】由于3＜＜4，由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分，小数部分让原数减去整数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵3＜＜4， ∴m＝3； 又∵3＜＜4， ∴n＝-3 则m2−n＝9−＋3＝12−． 故答案为12−． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．估算出整数部分后，小数部分＝原数−整数部分． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称等知识，分两种情形画出图形分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，设直线l交于E，交于F． 由题意：， ∵， ∴， 设， 在中，则有：， ∴， ∴， 当点P在的延长线上时，设， 在中，则有：， 解得， ∴， 故答案为：或15． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质，乘法公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】原方程组可化为， ①②，得 ， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． （1）根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； （2）在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如图所示： 如图所示： （2） 如图所示； 点C的对应点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查根据题中已知点建立平面直角坐标系及轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质． （1）根据点、坐标可建立坐标系； （2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为深入贯彻党的二十大关于加快建设教育强国的战略部署，中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（2024-2025年）》．纲要明确提出，要保障中小学生每天综合体育活动时间不低于．为了更好地落实这一政策，某中学对部分学生每天综合体育活动时间进行了调查，并根据统计结果制成了如下不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）①被调查的学生人数为_______，________，________； ②被调查的学生每天综合体育活动时间的众数和中位数分别为________和________． （2）补全条形统计图． （3）若该中学共有2000名学生，试估计该校每天综合体育活动时间未达到要求的学生人数． 【答案】（1）①200；19；38 ②； （2） 补图如下： （3）1580人 【解析】 【分析】①根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，利用百分比之和为1，频数等于频率乘以样本容量计算即可． ②根据中位数，众数的定义解答即可． 先计算的频数，后补图即可； 利用样本估计总体的思想解得啊即可． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图，样本容量的计算，用样本估计总体，中位数和众数，会计算样本容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：①∵(人)， ， 故， 根据题意，(人) 故答案为：200,19,38． ②根据题意，得出现了80次,频数最多，故众数为． 中位数是第100个数据，第101个数据的平均数，根据题意，第100个数据，第101个数据都是，故其平均数也是， 故中位数是， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：根据题意，得的频数为(人) 【小问3详解】 解：根据题意，得人， 答：该校每天综合体育活动时间未达到要求的学生有1580人． 20. （1）如图1，，． ①与平行吗？为什么？ ②试说明：； （2）一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】 （1）①解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明： 如图1所示，过点F作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据平行线的性质得，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可证明； （2）过点E作，根据平行线的性质得，，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：如图2所示，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵底部支架与吊线平行，， ∴， ∴， ∴． ∴与所成锐角的度数为． 21. 在某中学团支部爱心义卖活动中，准备了无人机模型和玩具车模型共100台，若售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收入180元． （1）问两种模型的售价各是多少元？ （2）已知无人机模型的数量不超过66，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多？并求出总收入的最大值． 【答案】（1）无人机模型的售价是30元，玩具车模型的售价是20元 （2）准备无人机模型66台，玩具车模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2660元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）设无人机模型的售价是元，玩具车模型的售价是元，根据售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收人180元，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）设准备无人机模型台，总收入为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的性质求得结果． 【小问1详解】 设无人机模型的售价是元，玩具车模型的售价是元． 根据题意得，解得 答：无人机模型的售价是30元，玩具车模型的售价是20元． 【小问2详解】 设准备无人机模型台，总收入为元， 则根据题意得． ∵，， ∴的值随值的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时，， 所以准备无人机模型66台，玩具车模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2660元． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ （1）请补全表中的勾股数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． （3）某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 【答案】（1） 补全表中的勾股数如下： （2） 解：根据表格信息可知，，，， 证明：∵，，， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格中提供的数据可得答案； （）根据表格中规律可得，，，然后通过完全平方公式即可求解； （）设，由于最短边可种株花，则有，从而求出，，从而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵最短边可种株花， ∴， 由（）可得，， ∴该直角三角形上一共可以种植花（株）， 故答案为：． 23. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，． ①直接写出_____，_____； ②点的坐标_____； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，若，是直线上的动点，点在轴上的坐标为，动点坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是_____（直接写出答案即可）． 【答案】（1）①8，6；② （2）不变， （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；②过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得，，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，直线解析式为， 令，则，即， 令，则有， 解得，即， ，． 故答案为：8，6； ②过点作轴，垂足为，如下图， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：当的取值变化时，的面积是定值，，理由如下： 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的取值变化时，的面积是定值，； 【小问3详解】 解：当时，如下图，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $