5.2 简单的轴对称图形 课件-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 5.2.3角平分线的性质 第五章 图形的轴对称 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年1月25日 2026年1月25日星期日4时32分16秒 2026年1月25日星期日4时32分17秒 学习目标 1.了解角是轴对称图形。 2.理解并掌握角平分线的性质定理。 3.能利用尺规作一个角的角平分线。 问题 观察下列常见的物品，你能想到数学中的哪个图形？ 如图，将 ∠AOB 对折，你发现了什么？ O B A 角两边能完全重合 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线. 知识要点 1. 下列说法错误的是( ) B A. 角是轴对称图形 B. 角平分线是角的对称轴 C. 将对折，使和重合，折痕所在的直线是 的对称轴 D. 角只有1条对称轴 中考考法 5 O B A 思考1：如图，OP 是∠AOB 的平分线，点 C 是 OP 上的任意一点. 在∠AOB 中画出以 OP 所在直线为对称轴的一组对应点 D 和 D'，连接 CD 和 CD'. (1) 你认为线段 CD 和 CD' 之间有什么关系? 说说你的理由. CD = CD'，因为∠AOB 是轴对称图形，D 和 D' 是对应点，所以 CD 和 CD' 是以 OP 所在直线为对称轴的一组对应线段，所以CD = CD'. C D D′ P 因为 CD⊥OA，即 ∠ODC = 90°， 所以∠OD'C =∠ODC = 90°. 所以 CD'⊥OB. 线段 CD 和 CD' 之间还有(1)中的关系. 得到结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 所以∠ODC 和∠OD'C 是以 OP 所在直线为对称轴的组对应角. 所以∠ODC =∠OD'C. (2) 特别地，当 CD⊥OA 时(如图)，CD' 与 OB 有怎样的位置关系? 为什么? 此时，线段 CD 和 CD' 之间还有(1)中的关系吗? 由此你能得到什么结论? O B A C D D′ CD'⊥OB. 因为∠AOB 是轴对称图形，D和 D'是对应点， P （第2题） 2. 如图，在 中， ， 平分 ，于点 ，如果 ，那么 等于( ) B A. B. C. D. 中考考法 8 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D，E. 试说明：PD = PE. P A O B D E 解：因为 PD⊥OA，PE⊥OB， 所以 ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， 所以△PDO≌△PEO(AAS). 所以 PD = PE. 验证：你能验证上题中的结论吗？ C ∠PDO =∠PEO = 90°， ∠DOP =∠EOP， OP = OP， 性质： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 性质的作用： 证明线段相等. B A D O C E 几何语言： 因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以 CD = CE. CD⊥OA，CE⊥OB， 要点归纳 （第3题） 3. 如图，在中， , , 平分,交于点,于点 ,且 ,则 的周长为( ) B A. B. C. D. 不能确定 中考考法 11 4. 如图，在三角形中， , 平 分交于点,且,,点是 上一动点， 连接,则 的最小值为___. 2 （第4题） 中考考法 12 【点拨】 如图，当时， 有最小值. 因为， ，所以 .因为平分 ， ， ， 所以，所以 的最小值为2. 中考考法 13 思考 2：如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线? 假设∠AOB 的平分线已作出，那么 (1)这条射线有什么特征? (2) 如何确定这条射线上除端点之外的一个点? 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢?与同伴进行交流. O B A 注意：需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作. A B O 例1 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB 的平分线. 典例精析 (2) 分别以点 D、点 E 为圆 心，大于 DE 的长为半径 画弧，两弧在∠AOB 的内部 相交于点 C； 作法： 1. 在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD = OE； A B E D C O (3) 作射线 OC. 射线 OC 就是∠AOB 的平分线. 5.如图，，的平分线与的平分线 相 交于点，作于点.若，则两平行线与 间的距离为___. 4 （第5题） 中考考法 17 【点拨】 如图，过点作,交于点 ，交 于点.因为，所以 .因 为的平分线与的平分线 相交于点，于点 ， 所以，.所以 ，即 两平行线与 间的距离为4. 中考考法 18 思考 3：请你说说这样作图的道理. 合作探究 比较：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点?与同伴进行交流. 角平分线的作图依据是“SSS”. 6. 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车 站，要求车站到两个村庄， 的距离相等，且车站到两条公 路，的距离相等，在内部确定车站的位置 . （保留作图痕迹，不写作法） 中考考法 20 【解】如图所示. 中考考法 21 例2 如图所示，在 Rt△ABC 中，BD 是 ∠ABC 的平分线，DE⊥AB，垂足为点 E. DE 与 DC 相等吗？为什么？ B A C D E 解：DE 与 DC 相等. 因为射线 BD 是 ∠ABC 的平分线，点 D到角两边 BA，BC 的距离分别是 线段 DE，DC 的长， 所以 DE = DC. 典例精析 （第7题） 7. 如图，点是直线上的点，点, 分 别是， 平分线上的点， 于点，于点 , 于点 ,则下列结论错误的是 ( ) C A. B. C. 与互余的角有2个 D. 点是 的中点 中考考法 23 （第8题） 8. 如图，是 的角平分 线，于点， 的面 积是10，， ， 则 的长是( ) C A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 中考考法 24 9. 如图，点是的平分线 上一点， 于点，点是线段 上一点. 已知，，点为上一点，若满足 ， 则 的长度为______. 3或7 中考考法 25 10.如图，的三边，， 的长分别为40，50，60. 其三条角平分线交于点，则 _______. （第10题） 中考考法 26 11.如图,钝角三角形的面积是16,最长边, 平分 ,点,分别是,上的动点,则 的最小值为 ___. 4 （第11题） 中考考法 27 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 两距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段(距离)相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 $ 北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 5.2.2线段垂直平分线的性质 第五章 图形的轴对称 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年1月25日 2026年1月25日星期日4时32分21秒 2026年1月25日星期日4时32分22秒 学习目标 1.了解线段的轴对称性。 2.理解并掌握线段垂直平分线的性质。 3.能用尺规作线段的垂直平分线。 问题 线段AB是轴对称图形吗？你能画出它的对称轴吗? A B 思考 对折线段AB，使A，B两点重合，设折痕l与AB 的交点为O。 你发现了什么？ A B O l 知识点1 垂直平分线及其性质 4 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。 思考（1）折痕l与AB有怎样的位置关系？ （2）AO与BO相等吗？ 垂直 AO=BO A B O l 知识点1 垂直平分线及其性质 5 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线)。 知识点1 垂直平分线及其性质 A B O l 6 1. 下列说法中错误的是( ) C A. 线段是轴对称图形 B. 线段的对称轴一定经过这条线段的中点 C. 线段有无数条对称轴 D. 线段的垂直平分线是它的一条对称轴 中考考法 7 线段垂直平分线的性质 2 思考1：如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线， 点 C 是 l 上的任意一点. 在线段 AB 上画出关于直线 l 成轴对称的点 D 和 D'，连接 CD 和 CD'. (1) 你认为线段 CD 和 CD' 之间有什么关系? 说说你的理由. D D' C l A B CD = CD' 且关于直线 l 对称 (2) 特别地，当点 D 与点 A 重合时，点 D' 位于什么位置? 此时，线段 CD 和 CD' 之间还有 (1) 中的关系吗? 由此你能得到什么结论? 点 D' 与点 B 重合，线段 CD 和 CD' 之间还有 (1) 中的关系：CD = CD' 且关于直线 l 对称. D D' C l A B 结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这个结论吗? 已知：如图，MN ⊥ AB，垂足为点 C，AC = BC，点 P 是直线 MN 上的任意一点. 试说明：PA = PB. 证一证 C B P N A M ∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA = PB. 解：∵MN⊥AB， ∴∠PCA = ∠PCB = 90°. 在△PCA 和△PCB 中， AC = BC， ∠PCA =∠PCB， PC = PC， 2. [2025连云港] 如图，在中，， 的垂直平 分线分别交，于点，， 的垂直平分线分别交 ，于点，，则 的周长为( ) C A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 中考考法 11 知识要点 B P A l 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言： 因为点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点， 所以 AP = BP. （第3题） 3. 如图，在中， ， ，的垂直平分线交于点 ， 交于点，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 中考考法 13 利用尺规作线段的垂直平分线 3 思考 2：如图，已知线段 AB，如何作出它的垂直平分线? 假设线段 AB 的垂直平分线已作出，那么 (1) 这条直线有什么特征? (2) 如何确定这条直线上的两个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢? 与同伴进行交流. A B 注意：需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作. 例1 利用尺规，作线段 AB 的垂直平分线. 作法： 1.分别以点 A 和 B 为圆心，以大 于 AB 的长为半径作弧， 已知：线段 AB. 求作：线段AB 的垂直平分线. 2. 作直线 CD．直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线. • • A B C D 两弧相交于点 C 和 D； • • 典例精析 作法：①以点 P 为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点 A，B； 思考3：如图，已知直线 l 和 l 上的一点 P，如何用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P ? 能说明你的作法的道理吗? B P A l ② 分别以点 A 和 B 为圆心，以大 于 AB 的长为半径作弧， 直线MN 即为直线 l 的垂线. 两弧相交于点 M 和 N， N M 合作探究 4. [2025无锡期中] 有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们 中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三 角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位 置是在三角形的( ) B A. 三边中线的交点处 B. 三边垂直平分线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边上高的交点处 中考考法 17 例2 如图，AC 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点E，AB＝12 cm，BC＝10 cm，则△BCD 的周长为(　) A．22 cm B．16 cm C．26 cm D．25 cm 解析：根据线段垂直平分线的性质 得 CD＝AD，故△BCD 的周长为 DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC ＝AB＋BC＝12＋10＝22 (cm).故选A A 典例精析 【点拨】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，由 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知，要放 在 的三边垂直平分线的交点处. 中考考法 19 例3 如图，某地由于居民增多，要在公路 l 边增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站 C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)? 解：这个公共汽车站 C 的位置如图所示. 解析：连接 AB，作 AB 的垂直平分线交 直线 l 于点 C，交 AB 于点 E. 因为 EC 是线段 AB 的垂直平分线， 所以点 C 到 A，B 的距离相等. 此时两个小区到车站的路程一样长. 5.如图，在中，的垂直平分线交于点 ，若 的周长为5，，则边 的长的取值范围为_____ _______. （第5题） 中考考法 22 （第5题） 【点拨】 因为的周长为5， ，所以 ，所以 .因为的垂直平分线交 于点，所以 ，所以 .由三角形的三边关系得 ，所以 ，即边 的长的取值范围为 . 中考考法 23 6.如图，在中，，于点 . （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交边于点 ， 交于点 ；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 中考考法 24 【解】如图，直线 即为所求. 中考考法 25 （2）连接，试说明： . 中考考法 26 如图，因为 ， 所以 . 因为是 的垂直平分线， 所以 . 所以 . 所以，即 . 因为，所以 . 所以 ， . 所以 . 中考考法 27 （第7题） 7. 如图，等腰三角形中， ， .线段的垂直平分线交于点 ， 交于点，连接 ，则图中等腰三角形共有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 28 （第8题） 8. 如图，线段，的垂直平分线， 相交于点.若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 29 10.如图，在中， ，分别以点 ， 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧 分别交于，，作直线，为 的中 点，为直线上任意一点，若 ， 的面积为12，则 长度的最小 值为___． 4 中考考法 30 线段垂直平分线的性质 内容 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 $ 北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 5.2.1 等腰三角形的性质 第五章 图形的轴对称 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年1月25日 2026年1月25日星期日4时32分26秒 2026年1月25日星期日4时32分27秒 学习目标 1.探索并了解等腰三角形的轴对称性和其他性质。 2.根据等腰三角形的性质，探索等边三角形的轴对称性和其他性质。 问题 观察下面的金字塔和人字梁屋架的图片，这些物体的外观结构形式是我们见过的哪一种图形？ 等腰三角形 等腰三角形是比较常见的图形。你有哪些办法可以得到一个等腰三角形? 知识点1 等腰三角形的性质 底角 底角 顶角 底边 腰 腰 4 （第1题） 1. [2025扬州] 在如图的房屋人字梁 架中，，点在 上，下 列条件不能说明 的是( ) B A. B. C. D. 平分 2. 等腰三角形的对称轴有( ) D A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或3条 中考考法 5 思考1：(1) 等腰三角形是轴对称图形吗? 如果是，沿着它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角? A B C 等腰三角形是轴对称图形. AB＝AC， BD＝CD， ∠B＝∠C， ∠BAD＝∠CAD， ∠BDA＝∠CDA. D 合作探究 (2) 等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线? 你是如何描述的? A B C (3)你认为等腰三角形有哪些特征? 与同伴交流. 2.等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴. 3.底边上的高所在的直线是它的对称轴. 1.等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（也称“三线合一”），它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴. 等腰三角形的两个底角相等. 归纳总结 （第3题） 3. 如图，在等腰三角形 中， ，点在 的延长线上， ，若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 中考考法 9 例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的 2 倍， 求它的各个内角的度数. 解：设这个等腰三角形顶角的度数为 x°，则底角度数为 2x°. 根据“三角形三个内角的和等于180°”，得 x＋2x＋2x＝180. 解得 x＝36. 2×36＝72. 所以这个三角形的三个内角分别为36°、72°、72°. 典例精析 （第4题） 4. 山西万荣东岳庙的飞云楼是典型的元明 风格建筑，飞云楼的顶端可以近似看作是 等腰三角形（如图），其中 ， 是边上的中线，已知 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 中考考法 11 等边三角形的特征 2 思考 2：通过学习我们知道等腰三角形的轴对称性及其特征，那么当等腰三角形的腰与底边相等时它是什么三角形? 等边三角形，它是特殊的等腰三角形 (1) 等边三角形有几条对称轴？ (2) 你能发现它的哪些特征？ 等边三角形有 3 条对称轴 1.等边三角形三个内角都相等，且均为60°. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线. 3.等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合. 要点归纳 例2 如图是由大小相等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴. 典例精析 （第5题） 5. [2025北京] 如图， ，点 在射线上，以点为圆心， 长为半径画 弧，交射线于点.若分别以点， 为圆 心，长为半径画弧，两弧在 内部交 于点，连接，则 的大小为( ) B A. B. C. D. 中考考法 15 【点拨】如图，连接,， ，由作图可 得，,，所以 为 等边三角形，所以 .因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 . 中考考法 16 例3 等腰三角形的一个内角是 50°，则这个三角形的 底角的大小是 (　　) A．65° 或 50° B．80° 或 40° C．65° 或 80° D．50° 或 80° 解析：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°，综上所述，选 A. A 6. 定义：在一个三角形中，如果一个内角度 数是另一内角度数的 ，我们称这样的三角形为“半角三角形”， 若等腰三角形为“半角三角形”，则 的顶角度数为 __________. 或 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹 角为 ，则这个等腰三角形的一个底角的度数是________ ______. 或 中考考法 18 例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为 BC 边上的中线，∠CAD = 40°，EF 为过点 A 的一条直线，且 EF∥BC，求∠BAE 的度数. 解：在△ABC 中，因为 AB = AC， AD 为 BC 边上的中线， 所以 AD⊥BC，且 AD 平分∠BAC， 所以∠ADB = 90°，∠BAD =∠CAD = 40°， 所以∠B = 50°， 因为 EF∥BC， 所以∠BAE =∠B = 50°. 8.如图，已知，于点，， 的 周长为20，求 的周长. 中考考法 20 【解】在中，因为 ， 于点，所以是 的中线. 所以 . 因为 的周长为20， 所以 . 所以 的周长 . 中考考法 21 （第9题） 9. 如图，在中，，， 分 别是的中线和角平分线.若 ， 则 的度数是( ) B A. B. C. D. 中考考法 22 （第9题） 【点拨】因为，是 的中线， 且 ，所以 , .所以 .因为 是 的角平分线，所以 . 中考考法 23 （第10题） 10. [2025天津和平区期中] 如图，已知 是四 边形内一点， , ,则 的大 小是( ) D A. B. C. D. 中考考法 24 （第10题） 【点拨】因为 ,所以 , .因为 ,所以 .所以 .因为 , ,所以 . 故选D. 中考考法 25 （第11题） 11. 如图，在 中，， ，点 从点出发以的速度向点 运 动，同时点从点出发以 的 速度向点 运动，其中一个动点到达 D A. B. C. D. 终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以 为 底边的等腰三角形时，该等腰三角形的腰长是( ) 中考考法 26 （第11题） 【点拨】设运动的时间为 ,则 , .又因为 ,所以 . 当是以 为底边的等腰三角 形时，,即 ， 解得,所以 . 中考考法 27 12.如图，是等边三角形，，连接 ， ,则 的度数为____. （第12题） 中考考法 28 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一） 等腰三角形是轴对称图形 $