福建省泉州市多校2026届高三上学期12月联考数学试卷

福建省泉州市多校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知集合A={i,z1+i},B={2,2026,且A∩B={2),则z=() A.1+i B.2+2i c.1-i D.2-2i 2 2x- 的展开式中x的系数是() A.-6 B.6 C.-12 D.12 3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a2,a2022是方程x2-3x+2=0的两个根， 则log2a1+l0g2a2+l0g243+…+l0g2a2023的值为() .2023 2023 A.3 B 2 C.2023 D.1022 已知纹角g满足os0-5,则cs0+m口-升() 2 1 4 1 A.15 C. 75 05 n2+元 5.在数列{a中，已知a,=2,则“>1”是“(a,为单调递减数列”的(） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件 6.已知平面向量a=(2,4),b=(2,),则向量4在向量a+2b上的投影向量的坐标为 () 5√5 A.（33 B.(2W5,25) c.(25,V5) D.3,3) 7.若x∈[-元，]，曲线f(x=a(x+2-4a与gx=sinr+ax2恰有一个交点，则a的 取值范围为() [任*j c.-.qu D.(-.0)U 8.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为BC的中点，则点A到直线DE的距 离为() A.42 B26 c25 45 D 3 3 3 3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9。已知厚度不计的容器是由半径为2m圆心角为5的扇形以一条最外边的半径为轴旋 转号得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有() A.棱长为l.lm的正方体 B.底面半径和高均为1.9m的圆锥 C.棱长均为2m的四面体 D.半径为0.75m的球 10.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且对任意的x∈R,都有 f(x)+f'(x)>0,则下列说法正确的是() A.ef(1)<f(0) B.fI)>f(0) C.2f(In 2)<ef(1) D.2f(In 2)>ef(1) 11.已知数列a}满足4=2，且a1=a-a.+1,则() A.a}为递增数列 B.a,≥n+1 L+L++1<1 \99 C.aa 1+a2+…+ag≤4. 0 2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知√3 bsinC=csin2B, sin4+V3cosA=2,△ABC,外接圆直径为4，则边c的长为 S2=n+2 a+ag= 13.数列a,},{b,}的前n项和分别为S,T,若3n+12,则b。 14.若a>0,b>0,且6+3lna-a=9b-3lnb,则a+b=. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.(13分)已知数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}满足b2=4, b =24 (nEN"). (1)求数列{a}和{b}的通项公式； (2)令cn=anbn,求数列{Cn}的前n项和Sn 16.(15分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知 AB.AC+BA.BC=2c2 cos B,b=3. (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围： (E长CB到点A位CB-8D,若AD=2r∠BMC-2∠4D求a的值， 17.(15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，满足AD⊥AB, BCI∥AD,AB=AD=AP=2,BC=1,PA⊥底面ABCD.E为棱PB的中点，F为棱 PD的中点 (1)证明：EF∥平面ABCD: (2)求平面AEF与平面PCD夹角的余弦值； (3)设M为三棱锥P-ABD的内切球球面上一动点，求三棱锥M-AEF体积的最大 值. 18.17分)设y.为数列a的前n项和.已知4=l=10且月 为等差数列 (1)求{a}的通项公式； an,n为奇数 (2)若b,= 1,为偶数求 的前项和。 ana 2n Tin 0夫中首x+D)-x+x四D=(四/赚卫(D6 (1)求f(x)的单调区间： (2)若函数f(x)有两个不相等的零点x,x2. ①求实数a的取值范围； ②证明：x+x2>2 福建省泉州市多校2026届高三上学期12月联考 数学参考答案 1.答案：C 2.答案：C 3.答案：B 4.答案：C 5.答案：B 6.答案：D 7.答案：D 8.答案：A 9.答案：AC 10.答案：BC 11.答案：ABC 12.答案：2√3 22 13.答案：69 10 14.答案： 15.答案：(1)an=n,bn=2” (2)Sn=（n-12m+2 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d,则b2=2=4,所以a2=2, 又数列{an}是首项为1的等差数列，所以a,+d=2,从而d=1, 从而an=a1+(n-1d=n,所以bn=2.=2”. (2)由(1)得：Cn=n2” Sn=1×2+2×22+3×23+4×24++(n-1)2m-+n-2”① 2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)2”+n-2+1② 由①-②得：-Sn=2+22+23+24+…+2”-n.2m 21-2） -n-2m1=-2+1-n2+ 1-2 所以Sn=(n-12m+1+2」 16.答案：(0B-号 (2)(3+3V5,9] 3)a=5v33 9 解析：(1)在△ABC中，由AB·AC+BA·BC=2c2cosB,得becos A+accos B=2c2cosB, 即bcos A+acos B=2 ccos B,由正弦定理得sin B cos A+-sin Acos B=2 sin Ccos B, 则sinA+B)=2 sin Ccos B,即sinC=2 sin Ccos B, 而snC>0则eo8-2又ae0.利故8-子 a c b3 (2)由正弦定理得sinA sinC sinB sin =2V ,即 a=2v3sin A,c=2v3sin C 0<-0< 3 2 令 ,由 为锐角三角形，得 A=元-0，C=元+0 则 0<匹+6< <0< π 3 3 △ABC 3 2 6 6 c2sin()+sin(sincos0-6cos0c(3/5.6]. 则a+b+c∈(3+3V3,9], 所以△ABC周长的取值范围是(3+3V5,9]. (3)设∠BAD=a,则∠BAC=2a, 2a D B 2 BD 在 中，由正弦定理得AD -BD,即sin子 .2πsina, △ABD sin∠4BD sina 3 3 5BD 在 中，由正弦定理得b BC,即sin元2sin2a, △ABC sin∠4BC sin2a 3 因此22sin2a4oso则aoa5,则in cosa= sina=-cos'a=i1,BD=zsmng=2V33 3 9 3 5sina 6 6 2 所以a=5BD=5N3图 2 9 17.答案：（1)证明见解析 5 (2)9 5 (3)9 解析：(1)E是棱PB的中点，F是棱PD的中点， ∴EF是△PBD的中位线，∴EFIIBD 又BDC平面ABCD,EF丈平面ABCD, 根据线面平行的判定定理，可得EF∥平面ABCD (2)PA⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD,.PA⊥AB，,PA⊥AD, 又AB⊥AD,AB,AD,AP两两垂直， 以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),E(1,0,1),F(0,1,1),P(0,0,2)，C(2,1,0),D0,2,0) AE=1,0,1),AF=(01,1),PC=(2,1,-2),CD=(-21,0) ZA D 设平面AEF的法向量为=(，，， n·AE=x+乙1=0， 则nF=片+=0，令名=-1，得=1，片=1， 平面AEF的一个法向量为%=，山-) 设平面PCD的法向量为，=(x,,), n2·PC=2x2+y2-2z2=0, 则，CD=-2x+=0,令=1，得h=2,名=2， 平面PCD的一个法向量为n=(4,2,2) coso=m 3 设平面AEF与平面PCD的夹角为8，则 n n2 9 √5 故平面AEF与平面PCD夹角的余弦值为9， (3)设三棱锥P-ABD的内切球球心为1，半径为r,三棱锥P-ABD的表面积为S, =3Sm+5m=3×5×2x2+5x02N2r-6+25 则1 4 3-5 3-53-33-5 由等体积法可知3 则 点1到平面AEF的距离n 3 EF=BD= 而 2 ,ME=AF=5,得 4*(w2)=3 2, 因此三棱锥M-AF体积的最大值为3仰~+3③ 9 18.答案：(1)an=n (2)7n=n2+ .11 44n+4 解析：(1)设等差数列n}的公差为d,因为a=S=1 所以子=站，即 10-1=3d,d= 所以三=1+m-,即S.=-0 n 2 当22时，4.=5。-S-0D_-》-n 2 当n=1时，a=1,满足上式，所以a,=n. n,n为奇数 (2)由(1)知b,= 1 ,n为偶数， n(n+2) 则T,n=(么+b+b+…+bm)+(b,+b,+b。+…+bn】 =(1+3+5+…+2n-1+ 1411 2×44×66×8 2n×2n+2) =n1+2n-+11111 11 十十 1 2 224462n2m+2F”+44 11 所以数列{b,的前2m项和为乃。=n+ 44n+4 19.答案：(1)答案见解析： Q0}<a<0:②证明见解折。 解折：山函数f)=ahx+-a+x的定义域为0，+oa≠0 求导得f')=2+x-(a+1)=x-ax-D 当a<0时，由f'(x)<0,得0<x<1;由f'(x)>0,得x>1, 函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增； 当0<a<1时，由f'()<0,得a<x<1;由f'()>0,得0<x<a或x>1, 函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(0，，L,+o∞)上单调递增： 当a=1时，f'(x)≥0恒成立，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增： 当a>1时，由f'(x)<0,得1<x<a;由f'(x)>0,得0<x<1或x>a, 函数f(x)在(，)上单调递减，在(0,1)，(a,+o∞)上单调递增， 所以当a<0时，函数f()的递减区间为(0,1)，递增区间为(L,+∞)： 当0<a<1时，函数f(x)的递减区间为(a,),递增区间为(0，a),(L,+oo); 当a=1时，函数f(x)的递增区间为(0，+∞)； 当a>1时，函数f(x)的递减区间为L,a),递增区间为(0，)，(a,+o). (2)①由(1)知，当a=1时，函数.f(x)在(0，+)上单调递增，f(x)最多一个零点，不符合题意： 当0<a<1时，函数f在x=a处取得极大值f(@=alna-a-2 2<0,最多-个 零点，不符合题意； 当a>1时，函数f在x=1处取得极大值f0=-a- <0,f)最多一个零点，不符合 2 题意； 当g<0时，m=f0=0 1 由函数f有两个不相等的零点x,得-a-20,则-2<a<0, 当x从大于0的方向趋近于0时，f(x)趋近于正无穷大，函数f(x)在(0，)上有唯一零点： 而e)=a+e2-a+e=-ea+2ce2)>0,函数在.e有唯一零点 因此当a<0时，函数化有两个不相等的零点。 所以实数a的取值范围是-2<a<0. ②由①知，当2<a<0时，函数f有两个不相等的零点x,不妨令0<x<1<x 令函数g(x)=f(x)-f(2-),0<x<1,求导得g'(x)=f"(x)+f"(2-) =x-ax-)+2-x-a)2-x-D=x-ax-+(2-x-a1- 2-x 2-x X2a.马2<0脸数g在@D上单润适减 =0-2-x-x=2-0r -)= 则g(x)>8)=0,即当0<x<1时，f(x)>f(2-x),于是f(x)>f(2-x), 因此f(x2)=f(x)>f(2-x),又x2>1,2-x>1,函数f(x)在(1，+o)上单调递增， 则x3>2-X,所以x+x>2.