精品解析：河南省周口市2025-2026学年九年级上学期期末联考数学试题

2025—2026学年度上学期期末质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，根据二次函数定义：形如的多项式函数，最高次项为二次，逐项判断即可． 【详解】，最高次项为三次，不是二次函数，故A不符合题意； ，最高次项为一次，不是二次函数，故B不符合题意； ，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 含有分式，不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 2. 《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何?”大意是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少?（1丈=10尺，1尺=10寸）设门的宽为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和勾股定理，根据勾股定理列出方程是解决此题的关键． 设门的宽为尺，则高比宽多6尺8寸，即6.8尺，故高为尺；对角线长1丈=10尺，由勾股定理列方程． 【详解】解：设门的宽为尺， ∵高比宽多6尺8寸（6.8尺）， ∴高为尺； ∵ 对角线长10尺，且门为长方形， ∴ 由勾股定理得：． 故选：B． 3. 如图，，直线，与它们分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 由平行得到，先求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如果的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于，那么下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ）． A. S小于 B. S大于 C. S等于 D. S大于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了压强，熟练掌握压强的计算公式和公式变形计算，是解题的关键． 根据压强公式，代入数值后变形求解S的取值范围． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 不透明的袋子中装有2个红球和1个绿球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率． 【详解】解：画树状图如下： 所有等可能的情况有6种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有2种情况，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为， 故答案为：D． 6. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据正方形和等边三角形的性质得，可求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点Q B. 点P C. 点N D. 点M 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 8. 反比例函数的图象上有两点．下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过一，三象限，在每一个象限，随的增大而减小， ∵反比例函数的图象上有两点，， ∴当时，则，则：；故选项A正确； 当时，则，则：；故选项B，C错误； 当时，则，则：；故选项D错误； 故选A． 9. 新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程是“倍根方程”， ∴当时，， 此时； 当时，， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：C 10. 两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设相交于点G，相交于点H，易证四边形是平行四边形，再证明可得，则平行四边形是菱形可得，设，则，再根据勾股定理列方程求得x，进而求得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：设相交于点G，相交于点H， ∵两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起， ∴， ∴四边形是平行四边形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得： ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 将方程化为标准形式后，识别二次项系数、一次项系数和常数项，并计算它们的和即可． 【详解】原方程移项得标准形式， 其中二次项系数为5，一次项系数为3，常数项为3， 因此系数之和为． 故答案为：11． 12. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 13. 小明用一些大小相同的小正方体拼了一个立体图形，从左面和上面看到的都是如图所示的图形，他拼这个立体图形至少用了_____个小正方体． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据三视图找出每个位置的小正方体数量即可得解． 【详解】解：由题可知，每个位置的正方体数量如图， 所以至少需要6个同样大小的小正方体； 故答案为：． 14. 已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程． 利用交点坐标得到等式，计算求出，求出k的值，代入点和点判断是否成立即可． 【详解】解：∵直线和双曲线在坐标平面内交于点和点， ∴，，，即， 将代入得：， 即， 解得：， ∵， ∴或． 当时，，即，，重合，不合题意； 当时，，即，，不重合，符合题意； ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，矩形与折叠问题，勾股定理；根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：，分别求得的长，并判断是否符合题意． 【详解】解：∵将沿折叠，点落在点处， ∴， ∵矩形中，，， ∴ ∴ ①如图，当时， ∵ ∴ 过作，交于，交于，则垂直平分，垂直平分， 在中， ∴， 又∵ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ②当时， ∵， 在中，，不合题意， ③当时，如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， 在中， ∴ 设，则，，则 在中，， ∴ 解得： 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解： 移项，得 配方，得 解得：，； 【小问2详解】 移项，得， 即 提取公因式，得， 或， 解得：，． 17. 把5个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． （1）请在网格中画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图． （2）若向该立体图形表面（不含底面）喷漆，需要漆2g，求共需要多少克漆? 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，表面积的计算等知识﹒ （1）画出从不同方向看到的图形即可； （2）先求出喷漆的面积为，再列式计算即可求解﹒ 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：立体图形喷漆的面积为， 所需漆为﹒ 答：共需要漆﹒ 18. 某学校周边有着丰富的景点资源，小红决定利用一天时间去游玩，上午从2个自然景点（A．人民公园；B．植物园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（C．博物馆；D．科技馆）中随机选取一个去参观． （1）求小红从自然景点中选中“人民公园”的概率； （2）用树状图或表格求小红恰好选“人民公园”和“科技馆”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解：小红从2个自然景点（A．人民公园；B．植物园）中随机选取一个游玩， 故从自然景点中选中“人民公园”的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中小红恰好选“人民公园”和“科技馆”的结果数为， 所以小红恰好选“人民公园”和“科技馆”的概率为． 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）10 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系式，解题的关键是熟练掌握这些知识点去求解． （1）先化简为一般方程，再利用一元二次方程根的判别式即可证明； （2）根据根与系数的关系式及方程的根，得到，，再根据，代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（１）知，方程为， 方程的两个实数根为，， ， ，即， ． 20. 如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系?请说明理由． 【答案】 ，理由如下： 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长交于点，证明即可求解． 【详解】解：略． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求m，n的值； （2）在图中画出函数图象的草图，并据此写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】（1） （2）可画图象为： 或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，画函数图象，以及与不等式的关系． （1）利用待定系数法即可求解m，n的值； （2）先求出一次函数与反比例函数的解析式，然后画出草图，再根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由得， 将，两点代入，则 解得：， 即m，n的值分别为2和； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，反比例函数解析式为， 将点，代入， 则， 解得， ∴一次函数解析式为， 由图象可得，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围：或． 22. 如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，，连接． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：中，，，， ， D是的中点， ， ， ， ，， ， ，， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握相似判定条件和解直角三角形的方法是解题的关键． （1）利用勾股定理计算出，再计算出，根据，可证； （2）根据相似三角形对应边成比例得出，再根据直角三角形斜边上的中线性质，得出，最后根据余弦函数的定义求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， ， D是的中点，为中的斜边， ， ． 23. 如图，已知菱形的边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． （1）______； （2）当点P为的中点时，求点到直线的距离； （3）当点B落在内部时，求的取值范围； （4）当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 【答案】（1）12 （2）12 （3） （4）1或 【解析】 【分析】（1）根据，结合勾股定理即可求解； （2）作于点H，设于点G，由为中点，，，得，进而可求，即点到直线的距离是12； （3）点落在上时，此时三点重合；点落在上时，根据勾股定理及平行线分线段成比例得，即可结合图形求出的取值范围； （4）分两种情况：①当点、在直线上时，②当点在直线上时，根据题意画出图形，正确作出辅助线，运用相关知识分别求解即可． 【小问1详解】 解∶∵，于点E， ∴， ， 中，， 即， ， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：作于点H， ∵以，为邻边作， ∴， ∵于点E， ∴设于点G， ∵为中点，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离是12； 【小问3详解】 解：点落在上时，如图所示： 此时三点重合； 点落在上时，如图所示： ， 中，，， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①当点、在直线上时，如图所示， ， ， ∴， ∴， ， ， ； ②当点在直线上时，如图所示， 作，交于， ， ， ， ， ； 综上所述，当、两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时的长为1或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例的性质等，熟知相关性质，准确作出辅助线并能结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何?”大意是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少?（1丈=10尺，1尺=10寸）设门的宽为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，，直线，与它们分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 如果的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于，那么下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ）． A. S小于 B. S大于 C. S等于 D. S大于 5. 不透明的袋子中装有2个红球和1个绿球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点Q B. 点P C. 点N D. 点M 8. 反比例函数的图象上有两点．下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是_______． 12. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 13. 小明用一些大小相同的小正方体拼了一个立体图形，从左面和上面看到的都是如图所示的图形，他拼这个立体图形至少用了_____个小正方体． 14. 已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 15. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 把5个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． （1）请在网格中画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图． （2）若向该立体图形表面（不含底面）喷漆，需要漆2g，求共需要多少克漆? 18. 某学校周边有着丰富的景点资源，小红决定利用一天时间去游玩，上午从2个自然景点（A．人民公园；B．植物园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（C．博物馆；D．科技馆）中随机选取一个去参观． （1）求小红从自然景点中选中“人民公园”的概率； （2）用树状图或表格求小红恰好选“人民公园”和“科技馆”的概率． 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，求的值． 20. 如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系?请说明理由． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求m，n的值； （2）在图中画出函数图象的草图，并据此写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围． 22. 如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，，连接． （1）求证：； （2）求的值． 23. 如图，已知菱形的边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． （1）______； （2）当点P为的中点时，求点到直线的距离； （3）当点B落在内部时，求的取值范围； （4）当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $