4.3.2 课时1 等比数列的通项公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等比数列通项公式，通过“类比等差数列推导”导入，引导学生用归纳法和累乘法自主推导公式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公式的形成过程。 其亮点在于注重数学思维与数学语言的培养，通过多方法推导公式发展推理能力，用对比表格清晰呈现等比数列与指数函数的异同，结合例题、检测题及结构化小结，助力学生构建知识体系，提升学习效率，也为教师教学提供清晰思路。

4.3.2 课时1 等比数列的通项公式 作者编号：32200 1. 掌握等比数列的通项公式. 2.能利用等差数列的通项公式进行基本的运算. 3.体会等比数列与指数函数的关系. 学习目标 作者编号：32200 动手试一试：类比等差数列，根据等比数列的定义推导它的通项公式. 新课导入 作者编号：32200 设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得 由此可得 ． 所以 又 ，这就是说，当 时上式也成立． 因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ． 新知学习 作者编号：32200 问题1：你还可以用其他方法推导等比数列的通项公式吗？ 设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得 所以 左右两侧分别依次相乘 化简得到 ． 累乘法 又 ，这就是说，当 时上式也成立． 即 ． 因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ． 新知学习 作者编号：32200 等比数列的通项公式 一般地，若等比数列{an}的首项为a1，公比为，则通项公式为： （ ） 概念讲解 新知学习 作者编号：32200 解：(1)∵a4＝a1q3， ∴8＝q3，∴q＝2， ∴an＝a1qn－1＝2n－1. 例1 在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 新知学习 作者编号：32200 (2)方法一：由已知可得， 由得q＝，从而a1＝32. 又因为an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 新知学习 作者编号：32200 归纳总结 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，需要特别注意的是，已知a1，an，n求解q时，需要开方，开方时注意公比q符号的选择. 新知学习 作者编号：32200 例2 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12.求该数列的第8项的值. 解：设等比数列的首项为a1，公比为q， 则由已知得， 将①式代入②式，得q2+q-6=0， 解得q=-3或q=2. 当q=-3时，a8=a1q7=2×(-3)7=-4374. 当q=2时，a8=a1q7=2×27=28=256. 故该数列的第8项是-4 374或256. 新知学习 作者编号：32200 问题2：在等比数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关? 因为 ， 所以如果记 ， 则可以看出的形式类似指数函数，而且 （1）当公比1时， 是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比1时，是与的乘积： ，{an}中的项正负交替， {an}是摆动数列， ，是指数函数， {an}增减性与和有关. 新知学习 作者编号：32200 等比数列与指数函数的异同点 类别 指数函数 等比数列 表达式 不同点 相同点 an = (q＞ 0，且q≠1，n∈N+) f (x)= (a＞0，且a≠1) ① 定义域为N+； ② 图象是一系列孤立的点. ① 定义域为R； ② 图象是一条曲线. 当公比q＞ 0，且q≠1时，等比数列与指数函数都是随自变量乘指数型变化. 新知学习 作者编号：32200 例3 设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 B 新知学习 作者编号：32200 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1<a2，可得a1(q－1)>0， 此时数列{an}不一定是递增数列； 所以“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 新知学习 作者编号：32200 ( ) D 当堂检测 作者编号：32200 2.在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于( ) A.－4 　　　　B.±4 　　　　C.－2 　　　　D.±2 3.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝an(n∈N*)，则a6＝_____. 4.已知{an}是首项为1，公比为q的等比数列，且4a1，2a2，a3成等差数列，则q＝______. A 2 当堂检测 作者编号：32200 数列 等差数列 等比数列 定义 同一常数 通项公式 . =q . . 公差d . 公比q . 课堂小结 作者编号：32200 解得或 若数列{an}为递增数列，可得或 1.数列1，－，，－，，…的一个通项公式为 A.n－1 B.n C.nn－1 D.n＋1n－1 $