甘肃省天水市2025-2026学年高二上学期1月月考阶段性检测数学试题

高二阶段性检测 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一、二册，选择性必修第一册前三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.集合{0,1,2,4}的一个子集为 A.{0,2} B.{2,6} C.{2,4,6} D.{1,2,3} 2.抛物线x2=8y的焦点坐标是 A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0) 3桶圆号+苦-1的长轴长是 A.2 B.22 C.4 D.42 4.若方程(m十2)x2十(5-m)y2=1表示双曲线，则m的取值范围是 A.(-2,5) B.(-5,2) C.(-∞，-2)U(5,+∞) D.(-∞，-5)U(2,+∞) 5.若双曲线-y=1的两条渐近线的夹角为a,则tana A号 B c n 6.若将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称这 个稀圆为对偶稀圆”已知路随后+ =1(0<b<4)是“对偶椭圆”，则该椭圆的焦距是 A.2√2 B.4 C.42 D.8 7.已知直线l:x一y十m=0与x轴、y轴分别交于A,B两点，与圆N:(x十1)2十(y一3)2=4 交于C,D两点，且|AB|=|CD|,则m= A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知抛物线C:y=122的焦点为F,P(xoy)是抛物线C上的一个动点，A(4,1),则y十 |AP|的最小值是 A.25 B.25-3 C.√41 D.41-6 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线l1:a.x十2y一10=0与直线l2:3x+(a+1)y一3a一1=0，则下列结论正确的是 A.若a=2,则l1∥L2 B若a=-后，则1l2 C.若l1∥2，则a=2 D.存在a∈R,使得l1与l2重合 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2,则 A.f(-1)=-2 B.f(0)=0 C.f(x)的解析式可能为f(x)=lg(x2十99) D.f(x)的解析式可能为f(x)=专（2-2) 已知椭圆C:+1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,若P,Q是C上关于原点对 称的两点(P为第一象限内一点)，M是C上异于P,Q的一点，直线QM与x轴交于点N, 为C的离心率，则下列说法正确的是 A若PF,⊥QP,能成立，则e的取值范围为[， B.若PF1⊥QF1,则△PQF1的面积为b2 C.直线PM与QM的斜率之积为e2一1 D.若PQ⊥PM,N的横坐标是P的横坐标的4倍，则e=25 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,点P(6,m)在抛物线C上，则|PF|= 18若双曲线x一-1的离心率为m,则m= 14.现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差 数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则 质量最重的盒子最少是▲千克 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 椭圆C:+1@>b>0的右焦点为F,0,离心率 (1)求C的方程； (2)若A为C的左顶点，P为C上的动点，求△PAF面积的最大值. 【高二数学第2页（共4页）】 16.(15分) 已知圆C经过A(2,0),B(4,-2)两点，且圆心C在直线x+3y一4=0上 (1)求圆C的方程： (2)已知圆D:(x一2)2+(y一2)2=1，求圆C与圆D的公共弦MN的方程以及公共弦MN 的长 17.(15分) 已知数列a.6.满足a=号0，十20+1,6=弘.+0.-1.且a,=动，=8 3 (1)证明：数列{an十b,n}为等比数列. (2)证明：数列{am一bn}为等差数列. (3)求{an}的前n项和Sn. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知双曲线C:2-号-1的左，右焦点分别是R,FA是双曲线C的左顶点，过点R:的 直线1与双曲线C交于P,Q(P,Q均异于点A)两点，直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2. (1)若直线L的斜率为2，求PQ|的值； (2)若k+k2=2,求直线1的方程： 1 (3)已知点M在双曲线C的右支上，△MF,F2的重心为G,内心为H,且△MFF2的面积 为6，证明：G,H到x轴的距离相等. 19.(17分) 在直角坐标系xOy中，点P到直线2x十3=0的距离比P到点F(?,0)的距离大1，记动 点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程. (2)已知经过点F的直线l1与C交于A,B两点，且|AB|=2 (ⅰ)求直线l1的方程； (iⅱ)若经过点F的直线L2(与l1不重合)与C交于M,N两点，且M,A位于x轴同一 侧，直线AM与直线BN相交于点K,证明：点K在定直线上. 【高二数学第4页（共4页）】高二阶段性检测 数学参考答案 1.A由子集的概念可知，A符合题意. 2.A由2p=8,得力=4,2=2，则所求焦点坐标是(0,2). 3.D因为8>4，所以长轴长2a=42 4.C由题意可得(m+2)(5-m)<0,解得m<-2或m>5. 5.A由题意可知该双曲线的渐近线方程为y=士？x,设直线y=2x的倾斜角为0，则 1 tan0=号<1，则1an号=1an0=2,故1ane= 2tan 2 4 1-tan2 3 6.C由“对偶椭圆”的定义可知b=c,则b2+c2=2c2=a2=16,解得c=2√2，故该椭圆的焦距 2c=4V2, 7.C由题意得A(-m,0),B(0,m),则|AB|=√2|m.因为圆N的圆心(-1,3)到直线1的 距离d=-1-+m_-片m,所以cD1=2v-G=2√受+m-4.因为AB √2 √2 =CD1,所以2m=2√-2+4m-4,解得m=2. 8.B由抛物线的定义可知yo=|PF|-3.因为F(0,3),A(4,1),所以|AF|= √(4-0)+(1-3)=2W5,则yo+|AP|=|PF|-3+AP|≥|AF|-3=2√5-3，当且仅 当A,P,F三点共线时，等号成立 |a(a+1)-2×3=0, 9.AB由l1L2,得 解得a=2或a=一3，则A正确，C错误.由 2(-3a-1)≠-10(a+1), 1上12，得a=-号，则B正确.当a=2或a=-3时，41与1，都不重合，D错误， 10.ABD依题意可得f(一1)=-f(1)=一2，f(0)=0,A,B均正确.易证f(x)=1g(x2+99) 是偶函数，不是奇函数，C错误.易证得D正确. 11.BCD因为PF1⊥QF1,所以四边形PF1QF2为矩形，设椭圆C的上顶点为B,若要C上存 在点P,使得∠F1PF2=90°，则需∠FBF2≥90°，所以|BF1I2+|BF2|2≤|F1F212,即a2 +a≤，号<e<1,A错误： 由对称性可知△PQF1的面积等于△PF,F2的面积，由焦点三角形的面积公式可知， 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 △PQF1的面积为b2,B正确； ,+等-1，两式相减得 61, 设M(x,y),P(xo),则Q(x,yo,且名+当 u十=--）0十”，可知w·4=之，=--二 a 63 x-x0x0十xa2 a =e2一1，C正确； 由N(r0.得oN=koN=产云-器因为长o=-1,且N·k0=一 yo 所e=9 少。石角晖县e之与，D正角 To 12.9由题意可得1PF1=6+号=6+号-9， 13.2由e=√1+m十1=m,得m=2(m=-1舍去). 14.5记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成的数列为{am},{am}的公差为d.由题 意可得a1十a2十a≥2(as十a十ao),所以a≥2ag,即a1+d≥2(a1+8d),d≤-15a.因 1 为10a1十109=35，所以2a1十91=7<2a1+9(-a）,解得a≥5，质量最重的盒子 最少是5千克， c=1, 15.解：1由题意可得日=分， 1 .............。 …3分 a2=b2+c2, 解得a2=4,b2=3, …5分 所以C的方程为号+号=1 …6分 (2)由(1)知a=2,A的坐标为（一2,0），…8分 则川AF|=3.…9分 当P为C的短轴的顶点时，△PAF的高取得最大值，…11分 故△PAF面积的最大值为2×3X,5-3 2 …13分 16.解：(1)由题可知直线AB的斜率为4-2 -2-0 =-1,…1分 直线AB的中点坐标为(3，一1)，…2分 直线AB的中垂线方程为y十1=x一3，所以圆心C在直线y=x一4上.…3分 又圆心C在直线x+3y-4=0上，由 |=x一4， x=4, 得4所以C(4,0.…5分 x+3y-4=0,y=0, 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 又|AC|=2,… …6分 所以圆C的方程为(x一4)2+y2=4. ·……”………7分 (2)将圆C与圆D的方程相减，得公共弦MN的方程为4x一4y一5=0，…10分 所以圆心C(4,0)到直线MN的距离d=4X4-0-51_-112 8 00*+… 12分 /42+42 又圆C的半径r=2,所以由圆的弦长公式得|MN|=2√/，2一d=2,/4 12I=√4 32 4· …15分 17.(1)i证明：因为a1=20,+20,十1b+1=6,十2.-1，所以a1十b1=2a.十6，. 3 …2分 因为a1=3b1=3,所以a1+b1=4, …3分 则{am十bn}是首项为4，公比为2的等比数列.… …4分 (2)证明：因为a,1=号0，+6，十1.61=b,十20.-1，所以a1-61-(a.-6,) 3 2. …6分 因为a1=3b1=3,所以a1一b1=2,…7分 所以{an一bn}是首项为2，公差为2的等差数列.…8分 (3)解：由(1)知an十bn=4X2m-1=2m+1,…9分 由(2)知an-bn=2+2(n-1)=2n,…10分 所以an=20十n.…11分 故Sn=a1+a2+a3+…十am=(2+1)+(22+2)+(23+3)十…+(2"+n) =(2+22+23+…+2m)+(1+2+3+…+n) =2×(1-2"）+1+m)n 1-2 2 …14分 =2+1+n2十n-4 2 15分 18.(1)解：由题意可得F2(2,0). 因为直线1的斜率为2，且过点F2,所以直线l的方程为y=2x一4.…1分 y=2x-4, 由K 号2y2=1得x一16x十19=0. …2分 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1十x2=16,x1x2=19.…3分 故PQ|=Vk2+1|x1一x2=√22+1XW162-4X19=30.…4分 (2)解：由题意可知直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为x=my十2，P(x1,y1),Q(x2, y2. 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 (x=my+2, 由 22-得3m一1Dy十12mv十9=0， …5分 31, 则△=(12m)2-36(3m2-1)=36m2+36>0,且m2≠3 1 12m 9 y1十y2=一 3m-1y1y:-3m-1 …6分 因为A(-1,0),所以k1十2=， +y2 y1(my2+3)+y2(my1+3) x1+1 x2+1 (my1+3)(my2+3) 2my1y2+3(y1+y2) m2y1y2+3m(y1+y2)+9 …8分 9 12m 2m· +3·（ 3m2-1 3m2- 18m-36m =2m.…9分 m2 9 12m +9 9m2-36m2+9(3m2-1) 3m2-1 +3m·（- 3m27 因为k1十k,=2,所以2m=2,解得m= 4， …10分 1 则直线1的方程为x=4y十2，即4红一y一8=0.… 11分 (3)证明：设M(xo,yo)(xo>0,yo>0) 因为△MF,F2的面积为6，所以2|FF2yo=2|yo=6,所以yo=3. 因为8-普=1，所以6=4，又。>0，所以，=2. …12分 因为F1(-2,0),F2(2,0),所以MF1|=5,|MF2|=3. 13分 设△MFF2内切圆的半径为r,则r=yH. 因为Sa,=2MP,+1MF:+E,r:Dr=6, 所以2×5+3十4yH=6,解得)H=1. …15分 因为G是△MF,F,的重心，所以y6=岁=1. 3 16分 因为yG=yH=1,所以G,H到x轴的距离相等.…17分 19.解：(1)因为直线2x+3=0和2x十1=0之间的距离为1， 所以点P到直线x=一2的距离与P到点F(2,0)的距离相等， …2分 由抛物线的定义可得C的方程为y2=2x. …4分 (2)(1)设A(x1y),B(x2,y2),山1的方程为x=my十2： 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 1 由 =my+2'消去x得y2-2my-1=0, y2=2x, 所以y1十y2=2m,y1y2=-1. …6分 十x2+1=my1十2+my2十2十1=2m2+2=2, 所以m=0,即直线的方程为x=) …9分 ()证明：由抛物线的对称性，不妨令点A在x轴上方，由(1)知，A(2,1),B(分，-1)， 设12的方程为x=y+2(t≠0)，M(x3y),N(x4y4),y4<0<y3, x=ty+ 由 2'消去x得y2-2y-1=0, y2=2x, 所以y3十y4=2t,y3y4=-1.…10分 线的率w--营-品方程为-》1 x3-222 11分 。方程为y=2(一》-1…12分 直线BN的斜率kw=4+1=y十1.2 x4-222 由 -》-1. 去y相（品72-》=2…18分 y=- 整理得x=2 1(y3+1)(y4-1)=1_y3y4+y4-y8-1 1 1 2(y4-1)-(y3+1)2 y4-y3-2 y3+1y4-1 …15分 1-1+y4-y-1=1-4-y-2=- y4-y3-2 2y4-y3-2 2, 因此点K的横坐标恒为一？，所以点K在定直线x=一号上 …17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】