精品解析：甘肃省兰州市第八十二中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025－2026学年甘肃省兰州八十二中八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1. 下列各数，，，，，，中，无理数有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 的三个内角分别为，，，三条边分别为a，b，c．下列条件，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 是的平方根 B. 9的算术平方根是3 C. 0.4的平方根是 D. 有立方根 7. 某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，15，10，4，4，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数比10小 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据有一个一定是3 9. 如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是( ) A. 关于的方程的解是 B. 关于的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于，的方程组的解是 10. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为( ) A. B. C. D. 11. 在一条笔直的公路上A、B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲车的速度比乙车的速度慢 B. 甲车出发1小时后乙车才出发 C. 甲车行驶了时，甲、乙两车相距 D. 乙车到达A地时，甲车距离A地 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为_____． 13. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择_____． 14. 如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A对应的数为1，以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为_____． 三、解答题：（本大题共10小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解方程组：． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． （1）①画出关于轴对称的（点分别为点的对应点）． ②点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________． ③点关于轴对称的点的坐标为___________． （2）求的面积． 20. 如图，，，，在同一直线上，，，且．求证：． 21. 为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），并将其共分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99． 八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：91，93，94． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有1200名学生、八年级有1300名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生共有多少人？ 22. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值． （2）在（1）的结论下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x取整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的结论下，超市采用哪种方案可以获得最大利润． 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 24. 如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点，点横坐标为，点纵坐标为． （1）求的表达式； （2）求点坐标； （3）若是垂直于轴的直线交于点，交于点，且的长度等于，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”． （1）已知点的坐标为， ①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）； ②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ； （2）若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年甘肃省兰州八十二中八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1. 下列各数，，，，，，中，无理数有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，关键区分有限小数、无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数） 无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，逐个判断各数的类型即可． 【详解】解：∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数， ∴ 是无理数； ∵ 是无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数； ∵是分数， ∴ 是有理数； ∵ 是整数， ∴ 是有理数； ∴ 无理数共个； 故选：C． 2. 的三个内角分别为，，，三条边分别为a，b，c．下列条件，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理和角度关系逐个判断即可． 【详解】解：A．∵ ∴， ∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴即， ∴是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和等于180°是解此题的关键． 3. 在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为，， ∴点的横坐标是，纵坐标是，即点的坐标为． 故选：B． 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误； 故选：C． 5. 若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此依次分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，即， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， 则原变形成立，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 是的平方根 B. 9的算术平方根是3 C. 0.4的平方根是 D. 有立方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，分清平方根、算术平方根、立方根是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义判断各选项的正确性即可． 【详解】解：对于A：，是25的平方根，∴说法正确，不符合题意； 对于B：9的算术平方根是3，∴说法正确，不符合题意； 对于C：，∴不是0.4的平方根，∴说法不正确，符合题意； 对于D：任何实数都有立方根，∴有立方根，∴说法正确，不符合题意； 故选：C． 7. 某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 8. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，15，10，4，4，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数比10小 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据有一个一定是3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查箱线图，根据箱线图得到已知条件是解题的关键． 根据箱线图判断下四分位数、上四分位数、中位数的位置，逐一判断选项正误即可． 【详解】解：对于A：箱线图的下四分位数是较小数字对应的矩形边，∴这组数据的下四分位数是4，∴说法正确，不符合题意； 对于B：箱线图的中位数是矩形中的横线对应的数据，∴由图可得：中位数比10大，∴说法不正确，符合题意； 对于C：箱线图的上四分位数是较大数字对应的矩形边，∴这组数据的上四分位数是15，∴说法正确，不符合题意； 对于D：由箱线图可知：这组数据中一定有3和18，∴对应数据可知被墨水污染的数据有一个一定是3，∴说法正确，不符合题意； 故选：B． 9. 如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是( ) A. 关于的方程的解是 B. 关于的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于，的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边等知识点，由已知条件推出，是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，，由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，，由等角对等边可得，，然后利用等量代换即可求出的周长． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：A． 11. 在一条笔直的公路上A、B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲车的速度比乙车的速度慢 B. 甲车出发1小时后乙车才出发 C. 甲车行驶了时，甲、乙两车相距 D. 乙车到达A地时，甲车距离A地 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像、求一次函数的解析式、一次函数的应用等知识点，正确理解一次函数的图像得到相关信息是解题的关键． 根据图像可直接判断A；求出两车的路程y与时间x之间的函数关系式，即可判断B、C、D． 【详解】解：当甲车出发时乙车未出发，甲行驶5小时未到达B地，而乙车已经到达A地，说明甲车的速度比乙车的速度慢，故选项A正确； 设甲车的路程与时间之间的函数关系式为， 代入，得∶， 解得∶， ∴甲车的路程与时间之间的函数关系式为； 设乙车的路程与时间之间的函数关系式为， 代入和，， 解得， ∴乙车的路程与时间之间的函数关系式为， 当时，， 解得：， 即甲车出发1小时后乙才出发，故选项B正确； 当时， 解得：； 当时， 解得：； ∴甲车行驶了或时，甲、乙两车相距，故选项C正确； 当时，，即乙车到达A地时，甲车距离A地，故选项D错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式、程序图，根据程序图得到一元一次不等式是解题的关键． 根据运算程序首先得到第1次程序操作未能输出结果时的一元一次不等式，再对一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：由运算程序可得：要是经过第1次程序操作未能输出结果，应该满足， ∴解得：， 故答案为：． 13. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择_____． 【答案】丁 【解析】 【分析】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】解：乙和丁的平均数均为，高于甲和丙的， ∴从乙和丁中选一人参加比赛， ∵丁的方差为，小于乙的方差， ∴因此丁满足成绩好且发挥稳定的条件， 故答案为：丁． 14. 如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A对应的数为1，以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上的数字表示，勾股定理，根据作图得到相等的线段是解题的关键． 首先根据题意结合勾股定理求出的长，进而得到的长即可求解点M表示的数． 【详解】解：由题意得：， ∵以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点， ∴， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第三象限， 又∵第三象限的点，点，…… 设点的下标为n， ∴可得横坐标为：，纵坐标为， ∴点． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用平方差公式、完全平方公式以及根式的乘法性质进行计算，最后合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解：   17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，即可得到答案． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 把其解集在数轴上表示出来如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集， 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． （1）①画出关于轴对称的（点分别为点的对应点）． ②点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________． ③点关于轴对称的点的坐标为___________． （2）求的面积． 【答案】（1） ①解：如图，即为所求． ②；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，关于x轴对称的点的坐标特征，写出点的坐标，割补法求面积． （1）①根据轴对称的性质作图即可； ②根据平面直角坐标系作答即可； ③关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数； （2）根据割补法计算即可． 【小问1详解】 ①略 ②解：由平面直角坐标系可知， 故答案为：； ③解：点关于轴对称的点的坐标为 故答案为：； 【小问2详解】 解：． 20. 如图，，，，在同一直线上，，，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， 在和中， ． ， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；由，得，由，推导出，而，即可根据证明；由全等三角形的性质进行推导即可． 【详解】略 21. 为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），并将其共分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99． 八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：91，93，94． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有1200名学生、八年级有1300名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生共有多少人？ 【答案】（1）40，93.5，97 （2）八年级的安全意识更强，因为两个年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数均比七年级的学生高，所以八年级的安全意识更强； （3）估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生共有1510人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、统计表，根据扇形统计图和统计表得出有用的信息是解题的关键． （1）首先根据扇形统计图和总人数10人计算八年级D组的人数即可计算这部分人数的占比进而得到a的值；再将八年级的成绩从小到大进行排序，第5，6名的成绩均在C组，分别对应93，94即可计算b的值；再根据七年级的数据得97出现的次数最多即可得到c的值； （2）根据两个年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数均比七年级的学生高书写理由即可； （3）根据抽取的结果得到七年级不低于90分的学生占比有一半，八年级不低于90分的学生占比有，计算结果即可． 【小问1详解】 解：八年级D组的人数为：（人）， ∴， ∴； ∵将八年级的成绩从小到大进行排序，第5，6名的成绩均在C组，分别对应93，94， ∴， ∴； ∵由七年级的数据可得：97出现的次数最多， ∴； 故答案为：40，93.5，97； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生共有1510人． 22. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值． （2）在（1）的结论下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x取整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的结论下，超市采用哪种方案可以获得最大利润． 【答案】（1）m的值为10，n的值为14 （2）有3种购买方案：方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克 （3）超市采用方案3（购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克）可以获得最大利润，最大利润为520元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一元一次方程的实际问题，根据题意列出正确的方程组或不等式组是解题的关键． （1）根据题干信息列出二元一次方程组即可求解； （2）在（1）的结论下根据题干信息列出一元一次不等式组进行求解即可； （3）在（2）的结论下，首先列出利润与购进千克数之间的解析式，分析得到利润随购进千克数的增大而增大，进而选择利润最大的方案即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜进价每千克10元，乙种蔬菜进价每千克14元， ∴m的值为10，n的值为14； 【小问2详解】 解：设每天购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜千克， 由题意可得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴有3种购买方案：方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克； 【小问3详解】 解：设超市获得的利润为y元， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值，最大值为， ∴超市采用方案3（购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克）可以获得最大利润，最大利润为520元． 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】（1） 解：海港受台风影响，理由如下： 过点作于点，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港受台风影响； （2）台风中心移动的速度为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点 时，正好影响海港， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为5小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度千米/小时． 24. 如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点，点横坐标为，点纵坐标为． （1）求的表达式； （2）求点坐标； （3）若是垂直于轴的直线交于点，交于点，且的长度等于，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，掌握的长度等于，纵坐标之差的绝对值是解决问题的关键． （1）由图象可知一次函数的图象经过，，由待定系数法可求得和的值； （2）解方程组可得点的坐标； （3）由于是垂直于轴的直线交于点，交点于点，故设，，的长度等于，纵坐标之差的绝对值，解方程即可求得的值． 【小问1详解】 解：依题意，， 一次函数的图象经过，， 把，点的坐标代入得：， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：联立， 解得： 点的坐标为； 【小问3详解】 解：是垂直于轴的直线交于点，交于点， ，， 的长度等于3， ， 即， 解得：或． 25. 在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”． （1）已知点的坐标为， ①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）； ②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ； （2）若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值． 【答案】（1）①，；②或 （2）的值为或 【解析】 【分析】本题是一次函数综合应用，点到坐标轴的距离，“同值点”的定义，一次函数图象的性质． （1）①找到x、y轴距离最大为的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“同值点”概念进行选择即可； （2）将代入，得，．由，依据“同值点”定义可得关于的不等式，即可解答本题． 【小问1详解】 解∶ ①根据题意得：点到、轴的距离中最大值为， ∵点到、轴的距离中最大值为， ∴点是点的“同值点”； ∵点到、轴的距离中最大值为，， ∴点不是点的“同值点”； ∵点到、轴的距离中最大值为， ∴点是点的“同值点”； ∴与点是“同值点”的点是，； 故答案为：，； ②点在直线上，且，两点为同值点， 点坐标中到、轴距离其中至少有一个为， 当点到轴距离为时， 若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 当点到轴距离为时， 若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 这些点中与符合“同值点”的是或． 即点的坐标为或； 故答案为：或； 【小问2详解】 是直线上的两点， ，， ， ，， 与为“同值点”， 当时，，解得， 当时，， ； 当时，，解得． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $