精品解析：甘肃省金昌市永昌县第七中学2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题

2025—2026学年度第一学期期末考试试卷 九年级 数 学 一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3分，满分30 分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图与左视图可能不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为（ ） A. y=（x-1）2-5 B. y=（x+1）2-5 C. y=（x+2）2-4 D. y=（x-3）2+5 4. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（ ） A. B. C. D. 8. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 黄球 D. 红球 9. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ） A. 20° B. 35° C. 40° D. 55° 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若点，均在抛物线上，则．其中正确的结论有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3分，满分18 分） 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______（写一个即可）． 12. 如图，是反比例函数图像上的一点，轴于，且面积为4．若也是该图像上的一点，则的值为_____． 13. 设计者给出了蒙古包的三视图（图中尺寸单位：），现在想用毛毡搭建一个这样的蒙古包，至少需要______平方米的毛毡（取）． 14. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________． 15. 数学课上，以小组为单位开展以“矩形”为主题的数学实践活动，并进行如下操作：将两个相同大小的矩形纸片和重叠放置，固定，将矩形纸片绕点顺时针旋转，如图，当点恰好落在的中点时停止，连接，若，则________． 16. 如图，是面积为的等边三角形，分别取，，的中点得到再分别取，，的中点得到，依此类推，的面积为_________． 三、解答题（本大题共11 小题，满分72 分） 17. 解方程：． 18. 计算： 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，的顶点坐标分别是，，，的顶点坐标分别是，，． （1）若位似中心为，请写出点的坐标为______； （2）以点为位似中心，作的位似图形，使与的相似比为．请在图中画出符合要求的的图像并写出的坐标． 20. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 21. “金娃娃”雕塑是金昌的城市主雕，矗立在甘肃省河西走廊东段的金昌市人民文化广场上（图1），顶端的“金娃娃”是雕塑的主体，神情并茂．某数学兴趣小组开展了“测量金娃娃高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，从获取的信息已知雕塑顶端到底座上边缘的距离为，雕塑垂直于地面（点均在同一平面内，），在地面上选取一点测得和的度数． 数据收集：实地测量底座的高度为，． 问题解决：求雕塑主体“金娃娃”AC的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 22. 某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数．这种商品每周的销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？ 23. 如图，是的外接圆，为的直径，过圆上一点作，交的延长线于点，连接．求证： （1）； （2）． 24. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）点C为x轴上任意一点．如果，求点C的坐标． 25. 如图，在中，，为边上一点，连接，，以为直径作，是边上一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 26. 如图1，正方形和正方形，连接，． （1）[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； （2）[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点， 与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）是抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； （3）将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点．是直线上方抛物线 上的一点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末考试试卷 九年级 数 学 一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3分，满分30 分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 下列几何体中，主视图与左视图可能不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据选项中的几何体得到其主视图与左视图，并判断其主视图与左视图是否相同，即可解题． 【详解】解：A、正方体的主视图为正方形，左视图为一样的正方形，主视图与左视图相同，不符合题意； B、三棱柱的主视图为长方形或正方形，左视图为长方形或正方形，主视图与左视图可能不同，符合题意； C、圆锥的主视图为三角形，左视图为一样的三角形，主视图与左视图相同，不符合题意； D、球的主视图为圆，左视图为一样的圆，主视图与左视图相同，不符合题意； 故选：B． 3. 把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为（ ） A. y=（x-1）2-5 B. y=（x+1）2-5 C. y=（x+2）2-4 D. y=（x-3）2+5 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法求解即可． 【详解】把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为y=（x+1）2-5 故选B 【点睛】本题考查了把二次函数配方成顶点式，掌握配方法是解题的关键． 4. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴， 故选：． 5. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 6. 如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可得AE：CE＝2：5，从而得到CE＝5，即可求解． 【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是， ∴AE：CE＝2：5， ∵AE＝2， ∴CE＝5， ∵BE＝1， ∴BC＝BE+EC＝1+5＝6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 7. 如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过点作，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点作， ∵是线段在投影面上的正投影， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 8. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 黄球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有： （个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 黄球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， ∴该种球的颜色最有可能是黄球， 故选：C． 9. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ） A. 20° B. 35° C. 40° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案. 【详解】连接FB， 则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°， ∴∠FEB＝∠FOB=70°， ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB， ∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°， ∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°， 故选B. 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若点，均在抛物线上，则．其中正确的结论有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程的关系． ①根据图象和对称轴判断的大小求解即可； ②根据图象可知抛物线与轴有两个交点，得到，进一步计算求解即可； ③由对称轴得出，结合求解即可； ④根据，判断出，观察图像求解即可； ⑤根据，，推出抛物线上离对称轴越近的点，函数值越大，进行比较即可． 【详解】解：结论①：∵由图象可知，， 又∵， ∴，即， ∵， ∴． ∴， 故结论①符合题意； 结论②：∵由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴， 故结论②符合题意； 结论③：由结论①可得，由结论②可得， ∴，即，， ∵图象得， ∴， ∴ 故结论③不符合题意； 结论④：当时，， 由图像可知， 故结论④符合题意； 结论⑤：由图象可知，对称轴为， ∴可知抛物线上离对称轴越近的点，函数值越大， ∵点离对称轴距离为：， 点对称轴距离为：， ∵， ∴ 故结论⑤符合题意； 综上，符合题意的有①、②、④、⑤，共4个． 故选：C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3分，满分18 分） 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______（写一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，据此列式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， ∴满足题意的k的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 如图，是反比例函数图像上的一点，轴于，且面积为4．若也是该图像上的一点，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，正确表示出是解题的关键． 直接利用反比例函数的系数的几何意义得出，即可求出． 【详解】解：， ， 是第二象限的点，且在反比例函数图像上， ，即， ． 也是该图像上的一点， 把代入得，． 故答案为4． 13. 设计者给出了蒙古包的三视图（图中尺寸单位：），现在想用毛毡搭建一个这样的蒙古包，至少需要______平方米的毛毡（取）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是已知三视图求侧面积或表面积、圆柱和圆锥的侧面积计算，解题关键是熟练掌握圆柱和圆锥的侧面积计算公式． 根据题意得出需要用毛毡搭建的蒙古包面积为圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，再根据圆柱和圆锥的表面积计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据三视图可得该蒙古包由一个直径为，高为的圆柱和一个直径为，母线长为的圆锥组成， 则用毛毡搭建一个这样的蒙古包， 至少需要平方米的毛毡． 故答案为：． 14. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0）， ∴0=a（6-2）2+5，解得：， ∴抛物线解析式为： 当x=0时， ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15. 数学课上，以小组为单位开展以“矩形”为主题的数学实践活动，并进行如下操作：将两个相同大小的矩形纸片和重叠放置，固定，将矩形纸片绕点顺时针旋转，如图，当点恰好落在的中点时停止，连接，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、所对的直角边等于斜边的一半等，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 先利用矩形的性质得到边角的相等，再运用勾股定理求出的长度，然后通过所对的直角边等于斜边的一半逆推，推出，最后证明为等边三角形并使用性质解题即可． 【详解】解：∵相同大小的矩形纸片和，， ∴，， ∵点恰好落在的中点， ∴， ∵， ∴根据勾股定理，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：． 16. 如图，是面积为的等边三角形，分别取，，的中点得到再分别取，，的中点得到，依此类推，的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质；相似三角形面积比等于相似比的平方是关键． 先根据中位线定理，求出，，，，通过平行相似得到，并使用面积的性质求出的面积为，依次推出规律即可． 【详解】解：∵由题知，点，，分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， 则， ∴的面积为． 同理可得，的面积为，的面积为，， ∴的面积可表示为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11 小题，满分72 分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含特殊角的三角函数值的实数运算，熟练掌握利用特殊角的三角函数值、零指数幂以及去绝对值的方法进行化简是解题的关键．先计算绝对值，零指数幂，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后加减即可． 【详解】解：原式 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，的顶点坐标分别是，，，的顶点坐标分别是，，． （1）若位似中心为，请写出点的坐标为______； （2）以点为位似中心，作的位似图形，使与的相似比为．请在图中画出符合要求的的图像并写出的坐标． 【答案】（1） （2） 图像如图所示，的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质即可求出位似中心点的坐标； （2）直接利用位似图形的性质进而得到对应点的坐标即可得到答案； 【小问1详解】 如图所示： 根据位似图形的性质，位似中心点的坐标为 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查位似变换，正确利用位似图形的性质得到对应点的位置是解题的关键． 20. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； 【小问2详解】 将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 21. “金娃娃”雕塑是金昌的城市主雕，矗立在甘肃省河西走廊东段的金昌市人民文化广场上（图1），顶端的“金娃娃”是雕塑的主体，神情并茂．某数学兴趣小组开展了“测量金娃娃高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，从获取的信息已知雕塑顶端到底座上边缘的距离为，雕塑垂直于地面（点均在同一平面内，），在地面上选取一点测得和的度数． 数据收集：实地测量底座的高度为，． 问题解决：求雕塑主体“金娃娃”AC的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 根据题意，在中，根据角的正切值可求出的长，在中，根据角的正切值可求出的值，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，且， ∴， 在中，，且， ∴， ∴， ∴雕塑主体“金娃娃”的高度约为． 22. 某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数．这种商品每周的销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？ 【答案】（1） （2）200 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，明确题意，根据数量关系列出函数关系式及根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据销售量、售价与销售利润之间的数量关系列出函数关系式即可求解； （2）根据销售利润为2000元为等量关系列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，可得 ； 【小问2详解】 若这种商品每周的销售利润为2000元，即， 则有， 解得，， 由，解得． ∴，当时，． 答：该商品每周的销售量是200件． 23. 如图，是的外接圆，为的直径，过圆上一点作，交的延长线于点，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2） 证明：由（1）可知，， ∴ ， ∴ 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆的内接四边形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据圆的内接四边形的性质可得，结合题意推出，再根据圆周角定理结合平行线的性质推出，即可证明； （2）根据相似三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）点C为x轴上任意一点．如果，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2）点C的坐标为或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求得两函数的解析式； （2）设与x轴交点，解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据，求得的长度，进而即可求得点C的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入得，， ∴， ∴反比例函数为， 设直线为， 代入点，，得， 解得， ∴直线为； 【小问2详解】 解：如图，设与x轴交点， 由，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为或． 25. 如图，在中，，为边上一点，连接，，以为直径作，是边上一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质、等角的余角相等、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由，得，由，，推出，，最后运用平角的性质结合为的半径求解即可； （2）先设与交于点，连接，运用直径所对的圆周角是直角证明，再运用三线合一得，最后证明并运用性质解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设与交于点，连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴． 26. 如图1，正方形和正方形，连接，． （1）[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； （2）[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 【答案】（1）， （2） 解：，． 理由如下：延长，交于点H，交于点I， ∵四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． （3）8． 【解析】 【分析】（1）证明，后证明即可； （2）延长，交于点H，交于点K，．根据（1）的证明方法，类似证明即可． （3）设与交的交点为M，根据平行四边形的判定和性质，勾股定理，结合．解答即可． 【小问1详解】 ，． 理由如下：延长，交于点N，交于点P， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：设与交的交点为M， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点， 与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）是抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； （3）将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点．是直线上方抛物线 上的一点，求面积的最大值． 【答案】（1），对称轴为直线 （2） （3）的面积最大值为12 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理． （1）将分别代入，求出，即可求出抛物线的表达式，进而根据对称轴公式计算即可； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，设，根据勾股定理求出，根据列方程求解即可； （3）先求出，根据折叠的性质得到，且抛物线仍然经过，进而求出抛物线的表达式为，过点作轴于点，设点的坐标为，则，即，根据，得到，求出的表达式，根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴将分别代入， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设． ∵， ∴． 当时，即， 解得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：当时，解得， 即， ∵将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点 ∴，且抛物线仍然经过， 设的表达式为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， 如图，过点作轴于点， 设点的坐标为， 则， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为12， ∵是直线上方抛物线上的一点， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $