精品解析：上海市上海交通大学附属中学闵行分校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期 高一数学期末考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置4律得零分） 1. 集合，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，集合，根据集合交集运算计算即可. 【详解】集合，集合， 故. 故答案为： 2. 关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3. 已知，若与的终边相同，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义求解即得. 【详解】由题意， 又与的终边相同，且， 所以， 故答案为：. 4. 已知，，若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用配凑法，结合基本不等式，求得的最大值. 【详解】依题意， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 5. 已知，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据的表达式求出，从而得到，根据的表达式及的值求出. 【详解】， ， ，， ，， . 故答案为：. 6. 已知，，则用表示_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用换底公式以及对数运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 7. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得关于的不等式等价于，分和两种情况讨论，当时，解得即可. 【详解】因为， 所以关于的不等式等价于， 依题意关于的不等式解集为， 当时，解集为，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 8. 已知，_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系将代数式转化为正切的表达式，再带入计算即可. 【详解】由题意得， 又因为，所以， 分子分母同时除以得，原式. 故答案为： 9. 如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用扇形的弧长公式得到，，列出方程，即可求解. 【详解】由题可得，，， 所以，解得. 故答案为：. 10. “群”的概念由数学家伽罗瓦在世纪年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设“”为一个非空集合，“”为一种运算，如果同时满足下述条件： （1）对任意的，均有； （2）对任意的，均有； （3）存在使得，对任意的，都有， （4）对任意的，存在，使得； 则称为一个群.下列叙述中，使得构成群的是______. ①，对任意的，； ②，对任意的，； ③，对任意的，； ④，对任意的，. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据的范围和的定义，依次验证四个条件是否全部成立即可. 【详解】对于①，若，，则，，（1）成立； ，， ，， ，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，，使得，（4）成立； ①可以使构成群； 对于②，若，，则，，（1）成立； ，， ，， ，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，，若，则，（4）不成立； ②不可以使构成群； 对于③，若，，则或，，，（1）成立； ，，，，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，， 时，，时，，（4）成立； ③可以使构成群； 对于④，若，，则，，（1）成立； ，， ， ， ，（2）成立； ，若，则， 解得：，（3）成立； ，，（4）成立； ④可以使构成群； 综上所述：①③④可以使构成群. 故答案为：①③④. 11. 已知对任意两个实数，定义.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.若对任意的，都有，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以有， 当时，由，得， 所以， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，， 因此函数的图象如下图所示： 因为对任意，都有， 所以将函数的图象向右平移个单位后，图象不在的上方， 因此有且，解得，且， 因此实数的取值范围是. 故答案为： 12. 一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来也构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑三角形.在 中，已知 的外拿破仑三角形（如图1）的面积为 ，内拿破仑三角形（如图2）的面积为，则 的最大值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件，结合等边三角形的性质、正弦定理、余弦定理求出外拿破仑三角形与内拿破仑三角形的边长，使用基本不等式求出的最大值. 【详解】根据题目条件可得， 在外拿破仑三角形中，， 等边三角形中心平分顶角 ，故 ， ，， 故， 在内拿破仑三角形中，， 同理， ，， ， ， ， 在中，， 即， 代入 ，得 ， （当且仅当 时取等号），代入上式得： ， ，， 代入 得： ， 综上， 的最大值为 . 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知、，且，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D. 【详解】对于A，B，，，，则,一定成立； 对于C，取，满足，但，故C中不等式不一定成立； 对于D，由，由于在上单调递增，则成立. 故选：C 14. 小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二分法的概念判断． 【详解】由题意零点在区间上，因此应计算， 故选：C． 15. 2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积，求出点到的距离，故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切，记旋转前和旋转后的切点分别为，求出矩形的面积，从而得到的面积；求出等边三角形的面积，求出扇形的面积，从而得到的面积；求出三角形的面积，求出扇形的面积，从而得到的面积.则可得到阴影部分的面积. 【详解】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积， 点到的距离， 故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切， 记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为， 故；等边三角形的面积为， 扇形的面积为，故； 三角形的面积为， 扇形的面积为，故. 故阴影部分面积. 故选：C． 16. 已知定义在上的单调函数满足.若对，，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得为常数，则，由，可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可. 【详解】，且在上单调， 为常数，. 由，得. ，在上单调递增. 对，使得成立， ， 又当时，， 当时，，则， ，又. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14-18+18=78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17. 设全集，已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由交集与并集的定义即可得解； （2）先计算出集合的补集，再由集合的包含关系得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若，则，又因为， 故，. 【小问2详解】 因为，故或. 因为恒成立，故. 因此，若，则有或， 解得或， 即的取值范围为. 18. 在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. （1）若点为角终边上一点，且，求的值； （2）若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 【答案】（1）当时，，当时，， （2）；点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由条件利用三角函数的定义求，再利用三角函数定义求； （2）根据商数关系和平方关系可得，再结合平方关系由求，，即可解出. 【小问1详解】 依题意，，解得或， 则当时，， 当时，， 【小问2详解】 ， 因为①，两边平方得，即， 所以， 因为角的终边与单位圆交于点，且， 所以， 又，故，故， 所以②， 由①②解得：，，所以点P的坐标为. 19. 公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点. （1）求扇形花卉景观的半径，以及面积； （2）为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出的长度，再根据扇形弧与相切，借助等面积法求解； （2）假设，利用余弦定理得到，然后表示出三角形的面积，最后使用基本不等式计算可得结果. 【小问1详解】 在中， 由余弦定理，所以， 因为弧与相切于点，所以， 所以， 所以，； 【小问2详解】 设， 则由余弦定理可得， 所以， 因为，所以， 即，所以，即， 当且仅当时，取最小值为256． 所以当时，三角形占地面积最小，为． 20. 已知. （1），函数为偶函数，求实数的值. （2）当时，.函数有零点，求实数的取值范围. （3）是否存在正实数、，当，函数的值域为？若存在，求出、的值：若不存在，则说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3） 易知在上单调递增，且， 又因为在上单调递增， 因此由复合函数的单调性，可知在上单调递增. 因此，若存在正实数、，当，函数的值域为， 则需且，故问题可转化为判断方程在上是否有两个不同的解. 设， 当时，，，，则， 即当时，， 即当时，方程在上无解， 因此不存在正实数、，当，函数的值域为. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求解的值； （2）将零点问题转化为函数值域问题，结合函数单调性求出值域即可； （3）先判断函数的单调性，再将值域问题转化为判断方程在上是否有两个不同的解，设，分析在上是否存在两个不同零点，即可判断. 【小问1详解】 由题可知，，若函数为偶函数， 则有，即， 整理得， 而左式， 因此有，得. 【小问2详解】 由题可知，当时，. 函数在上有零点，等价于方程在时有解. 设， 由在单调递增，易知在单调递减，且， 又因为在上单调递增， 因此由复合函数的单调性，可知在上单调递减. 当时，，，， 故， 因此在上的值域为， 故. 【小问3详解】 略 21. 已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为. （1）已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由. （2）已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围. （3）已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）函数是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1； （2），； （3）不存在，理由如下： 是上的“1级类周期函数”，类周期， ， 假设存在非零实数，使得是上的“级类周期函数”， 且类周期为，即对于任意的，恒有， 中存在唯一，使为函数的最大值，， 则对于任意的，恒有成立， 即对于任意的，恒有成立， ，，， ，， ，， 由函数有界性可知，此等式不成立， 故不存在这样的值，符合题意. 【解析】 【分析】（1）求出，计算，通过计算得到，从而得解； （2）由是上的“级类周期函数”，类周期，得到，从而得到，当时，，当时，，由得到，由得到，同理求出当时的，当时的，求出当时的的值域，求出当时的的值域，求出当时，的值域，求出当时，的值域，由在上严格单调递增得到的不等式组，解出实数的取值范围； （3）是上的“1级类周期函数”，类周期，得到，假设存在非零实数，使得是上的“级类周期函数”，且类周期为，则有，由中存在唯一，使为函数的最大值，得到，则对于任意的，恒有成立，即对于任意的，恒有成立，由和有界性可知，此等式不成立，故不存在这样的值符合题意. 【小问1详解】 的定义域为，且， ， ， ，， 函数是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1； 【小问2详解】 是上的“级类周期函数”，类周期， ，， 当时，， 当时，，，， ，， 即， 当时，，，， ，， 即， 当时，，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在上严格单调递增， ，，实数的取值范围为； 【小问3详解】 不存在，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 高一数学期末考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置4律得零分） 1. 集合，，则_____. 2. 关于的不等式的解集为____________. 3. 已知，若与的终边相同，且，则_____. 4. 已知，，若，则的最大值是______． 5. 已知，且，则_____. 6. 已知，，则用表示_____. 7. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______. 8. 已知，_____. 9. 如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则_____. 10. “群”的概念由数学家伽罗瓦在世纪年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设“”为一个非空集合，“”为一种运算，如果同时满足下述条件： （1）对任意的，均有； （2）对任意的，均有； （3）存在使得，对任意的，都有， （4）对任意的，存在，使得； 则称为一个群.下列叙述中，使得构成群的是______. ①，对任意的，； ②，对任意的，； ③，对任意的，； ④，对任意的，. 11. 已知对任意两个实数，定义.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.若对任意的，都有，则实数的取值范围是__________. 12. 一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来也构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑三角形.在 中，已知 的外拿破仑三角形（如图1）的面积为 ，内拿破仑三角形（如图2）的面积为，则 的最大值等于________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知、，且，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（ ） A. B. C. D. 15. 2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 已知定义在上的单调函数满足.若对，，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14-18+18=78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17. 设全集，已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. （1）若点为角终边上一点，且，求的值； （2）若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 19. 公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点. （1）求扇形花卉景观的半径，以及面积； （2）为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 20. 已知. （1），函数为偶函数，求实数的值. （2）当时，.函数有零点，求实数的取值范围. （3）是否存在正实数、，当，函数的值域为？若存在，求出、的值：若不存在，则说明理由. 21. 已知函数.如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；如果存在非零常数和非零常数，对于任意，有，且恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为. （1）已知，判断函数是不是上的“2级递减类周期函数”，类周期为1，并说明理由. （2）已知是上的“级类周期函数”，类周期；且在上严格单调递增.当时，，试写出当时，函数的解析式，并求实数的取值范围. （3）已知是上的“1级类周期函数”，类周期，且在区间中存在唯一，使为函数的最大值，是否存在非零实数，，函数是上的“级类周期函数”，且类周期为?若存在，求出所有必定满足条件的；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $