天津市南开中学2025-2026学年高二上学期质量监测（三）数学试卷

参考答案 题号 12 答案 D B D B 13. 27 14.2 15.82 16.189#326-1 17. 6 18.5 20.2)[9 21.(1)因为PD=AD=5AB=1,所以PD=AD=1,AB=2, 又∠DAB=60°，所以在△ADB中，由余弦定理，得DB2=4+1-2x2×1×cos60°=3，即DB=√5， 所以AD+DB2=AB2,则BD⊥AD, 又PD⊥底面ABCD,BDC平面ABCD,所以PD⊥BD, 又AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,所以BD⊥平面PAD, 又PAc平面PAD,所以PA⊥BD. -4分 (2)因为PD⊥底面ABCD,ADC平面ABCD,所以PD⊥AD, 结合(I)可知DP,DA,DB两两垂直 故以D为坐标原点，DA,DB,DP所在直线分别为x轴，y轴，：轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 所以P(0,0,1),41,0,0),B0,5,0,C-15,0 所以PB=0,5-1,PA=(1,0,-1),PC=(-15,-1 设平面PAB的法向量为元=(：1，) 则 阳：=-=0，取5=5，则平面PB的一个法向量为n=(.1, Pi=-5=0 设平面PBC的法向量为m=(,2,), 则 Cm=-写+，-气=0取方1.则平面P8C的一个法向最为m=01同)， PBm=52-3=0 历m42万 所以o领，刷网”万×27， 故平面PHB与平面P8C夹角的余弦值为2Y -9分 (3)由(2)知平面PB的一个法向量n=(N5,1,,P℃=-15-1， 所以点C到平面PAB的距离d= Pc.川5团 12分 22.(1)设{an}公差为d,{色}公比为g: 由题意可得 [g(10+d)=24 g2.15=135 d=29=3, 所以a.=2n+1,bn=31: -4分 (2)是=2m+ b。3" “京**子++ 357 30 则-+*+=2， 35.7 3 3 11 2m+4- 2m+4 30 3 所以I=6-”+2 3, -8分 (3) 4kb+1= 4.3 33 a01(2k+10(2+32k+32k+ 会传得引器小 31 -12分 23.（0D因为离心率为5，所以a=励=万c. 由题意可知，当点4为短轴端点时，△5的面积最大，即2cb=3 故b=c=万，所以a=后，故椭圆C的方程为石+与 -3分 (2)①设P(h)(2,), x=m'+3 由 51+26网+3-0. 由△=36m2-12(m2+2>0,得m2>1,乃+3= -6m m+2’5的= 3 m2+2 设P中点坐标为刘则 2 m2+2 因为（传为在直线P阳上，所以号=m6+3,即%=品 3 所以、3m 3 ,解得m=士反 -1分 m2+2 2m 2 ②存在点H(xHH)使得四边形DN为平行四边形， 因为D(2,1)在椭圆上，所以易知2，x22, 设直线DM的方程为y-1=-(x-2), 5-2 11.m+盟 令x=3,得w=方-+ 两+1 51+1 同理yy (m+1)2 m+1 1 又由①知乃=-(1+为)： 2m 所以yM+x= m++m+1_2(m+1)mi+(m+10+2 0少1+1m%2+1 (m5+1)(m2+1) 2(m+1)m 1 -20+⅓)+(m+10+) 2 =0 (+1)(m2+1) 所以线段N的中点坐标为(3,0)， 连接DH,则线段DH的中点坐标也为(3，O), [xu+2 二=3 由于D(21),可得 2 ,所以点H的坐标为H(4,-1) 13分 H+1 20 24.(1)(1)在等差数列{an}中， a3+a6=2a1+7d=16 a1+4d=3(a1+d) 解得侣二2于是a=2n-1 Sn (it2m-1)n =n2. 4分 2 (2)(i)由已知，bn=l0g3(1·x1x2…xm3), 则bn+1=l0g3(1·(1·x)x1·(x1x2)x2…xm-1'(xm-1xm)xm(3xm)3) =l0g34m3吗=3l0g3(1x1‘x2"xm3)-1=3bn-1. 1×3 于是b-三=3（他m-1-之，可得bn-是以为首项，3为公比的等比数列. 故bn=(3m+1) -7分 1 1 1 (i》）由已知6n=6a-9写3=9+9m=4m 原式-2h21G=2h4g4+4++ 9m49m+ 1 9m+1+9m十. 92m-1+9m) 3 在+ +m,+m+…+gm中，共有(2m-l项 gm-t 考虑省首尾配对注意到十m=+=品=台 1 9m-t+1 1 1 9m-1 1 9m-1+1 91+9m+ g2m-149mgm+92m92m-14gm m=品 1 1 gm-2 1 9m-2+1 1 g2+9m十gm-2+9m=gm+9gm-反+g2m-2+9m=gm-2+9m=g六 于是4十4m++m+m+… 1 1 92m-1+9m =m-0g六+2=0m-2g 11 原式=m=-c=%=1(m-为·白m一以下为错位相减求和，略 a=12-c=高-n+3白 13分南开中学2025-2026学年度第一学期质量监测（三) 高二数学试卷 考试时间：120分钟 1卷（共60分） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试结束后，将答题卡交 回。 一、选择题（共60分，每题5分） 1,已知等差数列{an}的前n项和为n,且43+ag=a6+4,则S,=() A.9 B.18 C.27 D.36 2.若直线4x-4y+1=0与mx+2y+4=0互相垂直，则m=（) A.2 B.-4 C.4 D.1 3.圆C:x2+y2-2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4y-5=0的位置关系为（） A.相交 B.外切 C.外离 D.内含 4. 若双曲线2一台-1的虚精长为反，则该双陆线的新近线方程为() A.y=t√2x B.y=t C.y=+2x D.y=±22x 2 5.已知递增的等比数列{an}满足a6+ag=9,a3a1=8,则{an}的公比g=（) A.6 B.3 C.22 D.25 6.过P(2,1)的直线与圆(x-1)2+y2=25交于A,B两点，当弦AB长度最短时，直线AB 的方程是（) A.x+y-1=0 B.x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.2x-y-5=0 7.如图，P是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，∠0P=60°， 则PF=() A.8 B.4 3 D. 第1页共石页 8.若数列{bn}满足+36+76++(2”-)b,=2n,则b5=（) A.32 B.10 c D.1 已知等差数列{a小{，}的前n项和分别为Sn,且三。3n 则=（) Tn n+5 A. B. C. 3 -5 D. 10. 已知椭圆c+少@>0该稀园上一点到直线x~y=0距离的极大值为5 则该椭圆的离心率是（) 3-4 A. 3 D. 2 11.己知各项递增的等比数列{a},等差数列{色}其前n项和分别为Sn,Tn，满足 S2=T=6,S4=30,T,=20.将数列{an}与{bn}中的项按从小到大依次排列构成一个新 数列{cn},则数列{cn}的前50项和Hso=() A.2106 B.2196 C.2234 D.2550 2.已知双曲线C号多@>06>0的右焦点P与形物线C2x>0)的猫 点重合，过F的直线与双曲线C的一条渐近线垂直且交于点A,FA的延长线与抛物线 C,的准线交于点B,丽=F丽，△A0B的面积为V2,O为原点，双曲线C的方程为 () D号-1 第2页共6页 Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（共40分，每题5分) 13.直线1：3x-4y-10=0被圆C:x2+y2-2x-4y-1Ⅱ=0所截得的弦长为 14.若抛物线y=2x(p>0)的准线经过椭圆女+上 =1的左焦点，则p= 43 15.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n-1,则a0= 16.设等比数列{an}前n项和为Sn,若a2a=72，a5=48,则S6=」 17.过点(5,0)且与圆x2+y2=r2(>0)相切的两条宜线互相垂直，则r= 18. y2.x2 已知椭圈工：言+=1(a>刘与椭图，2+京=1相交于A、B、C、D四点， 且与T,和T2的四个焦点在同一个圆上，则b2= 19.已知数列{bn}是递增的等差数列，且b2,b是函数f(x)=x2-5x+6的两个零点.设 数列 的前n项和为Tn,若不等式Tn>m对任意正整数n恒成立，则m的取值 b2n·b2n+2】 范围为 20.将闭区间[0，]均分为三段，去掉中间的区间段 33 余下的区间段长度之和为a: 再将余下的两个区间 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区 间段长度之和为a2,以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区 间段.重复这一过程，记数列{an}表示第n次操作后余下的区间段长度之和.(1) 04= ;(i)若neN,都有n2an≤a4恒成立，则实数1的取值范围 是 (区间段长度是指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如[a,b]的区 间段长度为b-a) 第3页共6页 三、解答题(2122题，每题12分：2324题，每题13分) 21,如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°， PD=AD=方4B=LPDL底面ACD, 0.1)》 (I)证明：PA⊥BD: (II)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值： Di---* (II)求点C到平面PAB的距离， (10,D) 22.设{an}是各项均为正数的等差数列，42=5，前n项和为Sn,{也n}是等比数列，=1， 且b2S2=24,bS3=135. (I)求{an}和{bn}的通项公式： (Ⅱ)求数列 的前n项和为Tn: ()求4kbu1的值. Kaak·ak+l 第4页共6页 23. 日知麟离C学茶-6>89助高心幸为兽。行，乃分别为州圆的左，右德 点，点A是椭圆C上一动点，且△AF面积最大值为3. (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)已知直线x=my+3与椭圆C交于P,?两点， (D者户Q中点的横坐标为号，求m的恤。 (i)已知点D(2,1),直线DP,D2与直线x=3分别交于点M,N,平面内是否存在一 点H,使得四边形DMN为平行四边形.若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明 理由. 第5页共6页 24.已知等差数列{an}满足4+a6=16,45=3a2，记数列{an}的前n项和为Sn· (I)求数列{an}的通项公式及Sn: (Ⅱ)在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列 的一阶“P拓展”.例如对于数列1,3，一阶“P拓展”得到数列1,3,3；二阶“P拓展” 得到数列1,3,3,9,3；依次构造，设n阶“P拓展得到数列1，，为k,xm3(m∈N), 设bn=1og3(1为为·xm3),则4=1og3(1×3×3)=2,2=log3(1×3×3×9×3)=5, (i)数列{亿}的通项公式： (ii)已知m为正整数，设cn= 求为 cr. 第6页共6页