精品解析：河北省秦皇岛市青龙县2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

青龙县2025-2026学年第一学期期末学业水平监测 八年级数学试题 本试卷分卷I和卷II两部分；卷I为选择题，卷II为非选择题 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷I 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 若a=b，则a﹣3=b﹣3 C. 所有的直角都是相等的 D. 相等的角是对顶角 3. 把分数的分子扩大为原来的5倍，分母缩小为原来的，所得的分数的值比原来（ ） A. 扩大到原来9倍 B. 缩小到原来20倍 C. 不变 D. 扩大到原来20倍 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A. 白色部分大 B. 阴影部分大 C. 两者一样大 D. 无法确定大小关系 6. 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ） A. 7 B. 21 C. 5 D. 6 8. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知是分式方程的解，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（ ） A. 一定是无理数 B. 一定是无理数 C. 一定是有理数 D. 一定是无理数 11. “已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A. 作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B. 作已知角的平分线 C. 过直线外一点作已知直线的垂线 D. 作一个角等于已知角 12. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（ ） A. B. C. D. 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 写出一个使分式有意义的的值，可以是___________． 14. 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为______． 15. 如图，两个正方形的面积分别是，，则正方形的面积为________． 16. 如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是_____________． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 下表是老师出示的一道习题及其列举出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ （1）该过程是从第___________（填序号）步开始出现错误的； （2）写出该习题正确的解答过程，并从“，，”中选择合适的的值代入求值． 20. 如图，已知，与交于O，．求证：△OAB是等腰三角形． 21. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 22. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位，和的顶点均在格点上，且≌． （1）对分别作下列变换； ①画出关于直线对称的； ②画出，使和关于点成中心对称； （2）与是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线； （3）写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 23. “互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； （1）若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 （2）求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ （3）“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 24. 数学课上，老师提出一个问题：“如图1，在中，，，射线在内，交于点，在射线上找一点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与全等吗？” 嘉嘉认为与全等，其证明过程如下． 证明：如图2，由旋转的性质可得，． ， ． （1）请你在☐中补全嘉嘉的证明过程； （2）淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还有一种情况是点在线段的延长线上，如图3所示．”请你判断与还全等吗？并说明理由； （3）聪聪在上述基础上，又进行了探究．请你完成下列探究． ①探究一：设交于点，求的度数； ②探究二：若，直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青龙县2025-2026学年第一学期期末学业水平监测 八年级数学试题 本试卷分卷I和卷II两部分；卷I为选择题，卷II为非选择题 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷I 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形的定义，熟知在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：选项A是中心对称图形不是轴对称图形，故选项A不符合题意； 选项B既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项B符合题意； 选项C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； 选项D是轴对称图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意． 故选：B． 2. 下列命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 若a=b，则a﹣3=b﹣3 C. 所有的直角都是相等的 D. 相等的角是对顶角 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质、等式的性质、角的概念以及对顶角的定义逐一进行判断即可. 【详解】A. 两直线平行，同位角相等，真命题，不符合题意； B. 若a=b，则a﹣3=b﹣3，真命题，不符合题意； C. 直角都是90度，故所有的直角都是相等的，真命题，不符合题意； D. 相等的角的边不一定互为反向延长线，所以不一定是对顶角，故相等的角是对顶角是假命题，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握平行线的性质、等式的性质、对顶角的定义等知识是解本题的关键. 3. 把分数的分子扩大为原来的5倍，分母缩小为原来的，所得的分数的值比原来（ ） A. 扩大到原来9倍 B. 缩小到原来20倍 C. 不变 D. 扩大到原来20倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分数的基本性质，通过计算新分数与原分数的比值，确定分数值的变化即可． 【详解】解：设原分数为， ∵分子扩大为原来的5倍，新分子为， 分母缩小为原来的，新分母为， ∴新分数为， ∴新分数扩大到原来的20倍． 故选：D． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 5. 如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A. 白色部分大 B. 阴影部分大 C. 两者一样大 D. 无法确定大小关系 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 6. 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 7. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ） A. 7 B. 21 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 8. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键． 根据已知的条件，，加入选项中得条件判断即可； 【详解】解：，，， ，故选项不符合题意； ， ， ， ，，， ，故选项不符合题意； 当时，与，不能构成的判定条件，故符合条件； 当时，与，可以构成的判定条件，故不符合题意； 故选：． 9. 已知是分式方程的解，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解的含义，将代入分式方程，直接求解m的值. 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴ ， 即， ∴ ， 移项得： ， ∴. 故选：C 10. 若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（ ） A. 一定是无理数 B. 一定是无理数 C. 一定是有理数 D. 一定是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 11. “已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A. 作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B. 作已知角的平分线 C. 过直线外一点作已知直线的垂线 D. 作一个角等于已知角 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断． 【详解】当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段， 然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线， 因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点， 最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查尺规作图作一个等腰三角形的原理，理解基本性质是解题关键． 12. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 写出一个使分式有意义的的值，可以是___________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分式的分母不能为零是解题的关键． 先根据分式有意义的条件确定x的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：要使分式有意义，则分母，解得， 所以的值可以是 2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一）． 14. 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 15. 如图，两个正方形的面积分别是，，则正方形的面积为________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积与边长的关系，解题的关键是将正方形面积转化为对应直角三角形边长的平方，利用勾股定理求解． 由正方形面积得对应边长的平方，结合图形可知，、对应的边长是直角三角形的两直角边，对应的边长是斜边，根据勾股定理求斜边的平方即的面积． 【详解】解：正方形的面积为， 其边长的平方为； ∵正方形的面积为， 其边长的平方为； 由图可知，、对应的边长是直角三角形的两直角边，对应的边长是该直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边的平方，即正方形的面积为13． 故答案为：13． 16. 如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是_____________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，于点D， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故答案为： 7． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先乘法运算，再化简为最简二次根式相减即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 下表是老师出示的一道习题及其列举出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ （1）该过程是从第___________（填序号）步开始出现错误的； （2）写出该习题正确的解答过程，并从“，，”中选择合适的的值代入求值． 【答案】（1）②； （2）化简后为：，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）通过分式混合运算的法则，逐一检查即可求解； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵②， ∴第②步去括号的时候出错； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， ∵要使分式有意义，不能取， ， ∴取， ∴当时，原式． 20. 如图，已知，与交于O，．求证：△OAB是等腰三角形． 【答案】 证明：∵， ∴在和中， ， ， ， ， 即是等腰三角形． 【解析】 【分析】利用定理得出即可得出，再利用等腰三角形的判定得出即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出是解题关键． 21. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2）的平方根是 【解析】 【分析】本题考查了根据平方根求数，根据立方根求数，求无理数的整数部分，求平方根． （1）分别根据平方根、立方根、无理数的估算作答即可； （2）求出的值，进而求其平方根即可． 【小问1详解】 ∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴的平方根是． 22. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位，和的顶点均在格点上，且≌． （1）对分别作下列变换； ①画出关于直线对称的； ②画出，使和关于点成中心对称； （2）与是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线； （3）写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 【答案】（1） ①如图所示，即为所求． ②如图所示，即为所求； （2） 如图所示，与关于直线成轴对称； （3）先作关于直线的轴对称，再作出关于点成中心对称，最后将向右平移个单位、向下平移个单位 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据对称轴垂直平分对应点的连线即可画出对称轴； （3）根据图形即可得出结果． 【小问1详解】 略 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 先作关于直线的轴对称，再作出关于点成中心对称，最后将向右平移个单位、向下平移个单位 【点睛】本题考查图形的变换：对称、平移、旋转，熟练作图是解题的关键． 23. “互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； （1）若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 （2）求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ （3）“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 【答案】（1）乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克 （2）甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克，丙商品销售单价为15元/千克 （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及代数式的最值问题，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程，同时正确分析代数式的最值情况． （1）根据单价、质量、总价的关系填写表格； （2）根据信息2列出分式方程求解三种商品的单价； （3）先分别表示出和，再分析的最大值． 【小问1详解】 解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克； 【小问2详解】 解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：， 解得： 经检验，是原方程的解． 所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克； 【小问3详解】 解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克． 则， 令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大， 当时，，． 24. 数学课上，老师提出一个问题：“如图1，在中，，，射线在内，交于点，在射线上找一点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与全等吗？” 嘉嘉认为与全等，其证明过程如下． 证明：如图2，由旋转的性质可得，． ， ． （1）请你在☐中补全嘉嘉的证明过程； （2）淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还有一种情况是点在线段的延长线上，如图3所示．”请你判断与还全等吗？并说明理由； （3）聪聪在上述基础上，又进行了探究．请你完成下列探究． ①探究一：设交于点，求的度数； ②探究二：若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：如图2，由旋转的性质可得，． ， ． ∴， 又∵， ∴； （2） 解：与全等，理由如下： 如图3，由旋转的性质可得，． ， ． ∴， 又∵， ∴； （3）①②或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质和分类讨论的思想． （1）根据旋转的性质得出相等边，利用证明三角形全等即可； （2）根据旋转的性质得出相等边，利用证明三角形全等即可； （3）①分两种情况进行讨论，利用全等三角形的性质得出相等角，利用三角形的内角和定理进行求解即可； ②分两种情况进行讨论，利用全等三角形的性质得出相等的边，然后根据比值进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示， 同理，此时， 综上，； ②∵， ∴假设， 当如图所示时， ， ∵， ∴， ∴； 当如图所示时， ， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $