江西省南昌市第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学复习卷二

南昌一中2025-2026学年度高一上学期期末数学复习卷二 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．下列各角中，与的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 3．命题“”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 4．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 6．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 8．设，给出下列四个结论：①；②；③，④.其中正确结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列结论中不正确的是（    ） A．终边经过点的角的集合是 B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角 D．，，则 10．下列关于对数运算正确的是（    ） A．设均为正实数，且，则 B．若方程的两根为，则 C．已知，则 D． 11．已知函数，若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．任意直线都与函数的图象有交点 C．当时，的取值范围为 D．当时，的取值范围为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为 . 13．若在区间内单调递增，则实数的取值范围为 ． 14．已知实数，满足，，则 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 16．某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 (1)给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: (2)设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 17．某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖，，三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.    (1)求的值； (2)若去年小明家的月均用电量为，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？ (3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差为24.2；B区样本数据的均值为223，方差为12.3；C区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算） 18．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的我含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下： 0.07   0.24   0.39   0.54   0.61   0.66   0.73   0.82   0.82   0.82 0.87   0.91   0.95   0.98   0.98   1.02   1.02   1.08   1.14   1.20 1.20   1.26   1.29   1.31   1.37   1.40   1.44   1.58   1.62   1.68 (1)求上述数据的中位数、众数、极差； (2)有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼. （i）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ii）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率. 19．已知函数，函数的图象与的图象关于对称． (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)若函数在上有且仅有个零点，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度高一上学期期末数学复习卷二 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得,，所以. 故选：A 2．下列各角中，与的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用终边相同的角的概念即可求出. 【详解】因为，所以与的终边相同，其他选项经检验不合题意. 故选：C 3．命题“”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解绝对值不等式求的解，根据充分、必要性定义判断的充分不必要条件. 【详解】由，解得或， 要成为命题“”的一个充分不必要条件， 则其对应的集合是或的真子集， 所以、、均不是的充分不必要条件， 是的一个充分不必要条件. 故选：D. 4．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理得出，代入可得选项. 【详解】由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：， 即，解得， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题. 5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解. 【详解】由题意， 在中，， 即，解得， 故，易知， 因此. 故选：C. 6．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 7．定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域关于原点对称求出，再利用函数的奇偶性求出，然后利用奇函数的性质和单调性解抽象函数不等式即可； 【详解】函数的定义域关于原点对称，可得，即，即定义域为． 又，从而有，即， 解得，是上的减函数． 又函数为奇函数，故， 因此解得， 故选：D． 8．设，给出下列四个结论：①；②；③，④.其中正确结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】直接利用不等式的性质和对数函数以及指数函数的性质的应用对①②③④进行判断. 【详解】由题意，，所以对于①，，故，所以①错误；对于②，取，则，，所以，故②错误；对于③，因为，且，所以，故③正确；对于④，，所以，故④正确. 故选：B. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列结论中不正确的是（    ） A．终边经过点的角的集合是 B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角 D．，，则 【答案】BC 【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D． 【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是， 正确； 对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是， 错误； 对于选项C：若，不是第一象限角，错误； 对于选项D：而表示的奇数倍， ，而表示 的整数倍，所以，正确． 故选：BC 10．下列关于对数运算正确的是（    ） A．设均为正实数，且，则 B．若方程的两根为，则 C．已知，则 D． 【答案】AD 【分析】根据对数运算法则、换底公式依次验证各个选项即可. 【详解】对于A，设，则，，， ，A正确； 对于B，， 或，或，，B错误； 对于C，， ，即， ，整理可得：， 或，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 11．已知函数，若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．任意直线都与函数的图象有交点 C．当时，的取值范围为 D．当时，的取值范围为 【答案】ACD 【分析】画出图象可得A正确；过点作直线可得B错误；由指对函数的互化和对数的运算再结合对勾函数的单调性可得C正确；由图象结合对勾函数的单调性可得D正确； 【详解】 对于A，如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，由图象知，故A正确； 对于B，过点作直线，与函数的图象没有交点，故B不正确； 对于C，当时，， 由，则， 由可得，从而， 所以，故C正确； 对于D，，则，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为 . 【答案】 【分析】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，结合方差公式可得，解可得，结合平均数的性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设样本数据、、、、的平均数为， 其方差 ， 又， 则有，解可得， 则样本数据、、、、的平均数为； 故答案为：． 13．若在区间内单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性判断方法求函数的单调递增区间，由条件列不等式求结论. 【详解】由，可得， 故函数的定义域为， 设，， 因为函数为减函数， 函数的单调递减区间为， 所以函数的单调递增区间为， 由已知，且， 所以，且， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．已知实数，满足，，则 . 【答案】 【分析】将条件变形，然后构造函数，结合单调性即可求解. 【详解】因为，得，而化简得， 即， 即，构造函数， 由于在都为增函数， 所以在为单调递增函数， 又知，所以， 解得，，所以. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，从而解出的值，分别代入集合检验是否满足，从而确定的值； （2）由得，从而求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以，解得或． 当时，，，不合题意； 当时，，满足题设． 所以，实数的值为1． （2）集合， 集合， 因为，所以，从而，解得， 所以实数的取值范围为. 16．某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 (1)给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: (2)设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 【答案】(1)比较合适， (2)元 【分析】（1）根据所给函数的单调性与的单调性进行判断选择即可； （2）根据基本不等式、函数单调性的性质求解即可. 【详解】（1）由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减， 由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适， 把，，代入， 得，所以，所以， 显然，也满足函数的解析式， 所以； （2）， 当，时， ， 当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为， 当，时， ， 此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为， 综上所述：函数的最小值为元. 17．某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖，，三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.    (1)求的值； (2)若去年小明家的月均用电量为，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？ (3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差为24.2；B区样本数据的均值为223，方差为12.3；C区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算） 【答案】(1) (2)不正确 (3) 【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解； （2）求出85%分位数后判断即可； （3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解. 【详解】（1）根据频率和为1，可知， 可得. （2）由题意，需要确定月均用电量的85%分位数， 因为， ， 所以85%分位数位于内， 从而85%分位数为. 所以小明的估计不正确. （3）由题意，A区的样本数为，样本记为，，，，平均数记为； B区的样本数，样本记为，，，，平均数记为； C区样本数为，样本记为，，，，平均数记为. 记抽取的样本均值为，. 设该市第二档用户的月均用电量方差为，则根据方差定义，总体样本方差为 因为，所以， 同理， ， 因此 ， 代入数据得 . 18．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的我含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下： 0.07   0.24   0.39   0.54   0.61   0.66   0.73   0.82   0.82   0.82 0.87   0.91   0.95   0.98   0.98   1.02   1.02   1.08   1.14   1.20 1.20   1.26   1.29   1.31   1.37   1.40   1.44   1.58   1.62   1.68 (1)求上述数据的中位数、众数、极差； (2)有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼. （i）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ii）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率. 【答案】(1)中位数为1，众数为0.82，极差为1.61 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据中位数，众数和极差的定义进行求解； （2）（i）分别计算出两鱼最终均在A水池和在B水池的概率，相加即可； （ii）设出事件，计算出两鱼同时从同一个小孔通过的概率，利用对立事件求概率公式求出答案. 【详解】（1），故从小到大，选择第15个和第16个数据的平均数作为数据的中位数， 由题意知，数据的中位数为， 数据中0.82出现次数最多，共出现3次，故数据的众数为0.82， 数据的极差为. （2）（i）记“两鱼最终均在A水池”为事件A，则， 记“两鱼最终均在B水池”为事件B，则， ∵事件A与事件B互斥， ∴两条鱼最终在同一水池的概率为； （ii）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件，……依次类推；而两鱼的游动独立， ∴， 记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立， 又由事件，事件，     ……互斥， ∴， 即. 19．已知函数，函数的图象与的图象关于对称． (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)若函数在上有且仅有个零点，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）由题意，可得由题意，，则能取到的一切值，从而列出关于的不等式组，解之即可； （2）问题转化为关于的方程在上有且仅有一个实根，作出函数在的图象，观察图象可得的取值范围； （3）记，利用一元二次方程根与系数的关系可得关于的不等式组，解之即可． 【详解】（1）由题意，，的值域为， 所以：能取到的一切值， 当时，符合，时，所以应有：，解得， 所以实数的取值范围为． （2）问题转化为关于的方程在上有且仅有一个实根，作出函数在的图象如下图， ，，由题意，直线与该图象仅有一个公共点， 所以实数的取值范围是或． （3）记，其中，因为函数在上单调递增，若存在实数，使得函数的值域为，则 ，所以，即，是的两个不等正根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 试卷第2页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $