精品解析：山东省淄博市2026届高三上学期期末数学试题

2025-2026学年度第一学期高三摸底质量检测数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义即可求解． 【详解】由题可知，， 所以， 故选：A． 2. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得的坐标，由即可得的值，结合充分必要条件判断即可. 【详解】因为向量，，则， 若，则，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 将5名志愿者分配到两项公益活动，每名志愿者只分配到一项公益活动，每项公益活动至少分配2名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 10种 B. 25种 C. 20种 D. 40种 【答案】C 【解析】 【分析】将名志愿者分为2组，每组的人数分别为和3，再将这2组志愿者分配到2项公益活动，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将名志愿者分为2组，每组的人数分别为和3， 再将这2组志愿者分配到2项公益活动， 由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为. 故选：C 5. 若随机变量，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. C. 24 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最大值为. 故选：A. 6. 若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入变换得到解析式，结合范围求解. 【详解】将函数的图象向右平移得到， 将点代入得， 所以，解得，又， 所以， 故选：B. 7. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系可得，进而可得，即可求解. 【详解】因为，则①， 又，则②， 由①②得，即， 又，所以，又，则， 所以，解得，所以， 故选：B. 8. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先得是函数的一个零点，当时，，所以当时，与的图象必有一个交点，根据函数求导计算可得的函数图象，数形结合即可解决. 【详解】由题知，，函数恰有两个零点， 因为当时，， 所以是函数的一个零点， 又当时，由可得， 所以当时，与的图象必有一个交点， 由于， 当时，，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 当时，，则， 当时，， 当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以，函数图象如图： 由图可知，若与，图象必有一个交点，则， 故选：A. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 的展开式的各二项式系数的和为1 B. 已知随机事件和，若，则和相互独立 C. 若随机变量，则 D. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 【答案】BC 【解析】 【分析】A. 由展开式的二项式系数定义求解判断；B.利用事件相互独立性定义判断；C.由二项分布的期望公式求解判断；D.利用数据的百分位数定义求解判断. 【详解】A. 的展开式的各二项式系数的和为，故错误； B. 已知随机事件和，因为， 满足，所以和相互独立，故正确； C.因为随机变量，所以，故正确； D. 数据11，13，5，6，8，1，3，9由小到大排序：1，3，5，6，8，9，11，13， ，因为为整数，所以其下四分位数第项和第项的平均值，即，故错误； 故选：BC 10. 已知公差为的等差数列的前项和为，且满足，令，数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 使得成立的的最小值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据条件，即可求解；对B，根据条件得，利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解；对C，根据条件，利用等差数列的性质及不等式的性质，即可求解；对D，根据条件，利用裂项相消法，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以A正确， 对于B，由，得，由选项A知，所以公差， 又由，得， 所以，， 则使得成立的的最小值为，所以B错误， 对于C，由可得，，，， 则，得到， 所以，故C正确， 对于D，因为，则， 所以，故D正确.， 故选：ACD. 11. 已知等腰，，取，中点，，将沿翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确的是（ ） A. 四棱锥存在外接球 B. C. D. 四棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据折叠前后的线段关系，线面垂直的性质，为正三角形，结合勾股定理可得，从而可判断四棱锥是否存在外接球，即可判断A；利用四边形内的角度关系，结合余弦定理与可得线段的值，即可判断B；根据空间向量数量积的运算性质计算的值，即可判断C；求解四边形的面积，计算四棱锥的体积，即可判断D. 【详解】由题意可知，， 因为为正三角形，， 所以， 又底面，所以， 则，故四棱锥的外接球球心为，故A正确； 由于，则， 所以在平面中，，则①， 在中，由余弦定理得：②， 在中，由余弦定理得：③， 由①②③可得 又，所以，，故B正确； 由③可得，则为锐角，所以， 所以， 因为， 则 ，故C错误； 由可得， 则四边形的面积 故四棱锥的体积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】由得 设，则，解得， 又，所以点的坐标为， 故答案为：. 13. 已知函数，若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，结合指数函数和对数函数的单调性解不等式． 【详解】当时，令，所以， 当时，令，所以， 综上所述，时，的取值范围是. 14. 若函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式及换元法得出，再结合有最大值无最小值，数形结合即可求解． 【详解】， 令，则，对称轴为， 所以， 由且，可得或，由题可知，， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，有最小值， 当时，，此时有最大值，有最小值， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，有最小值， 综上所述，， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为， . （1）求角的大小； （2）若边上的中线长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简，再由余弦定理求值； （2）根据化简得出，再结合（1）中式子求出，再利用面积公式求解. 【小问1详解】 由以及正弦定理可得， ，即， 则由余弦定理可得，， 因为，所以. 【小问2详解】 因为为线段的中点，所以，则， 又，所以，即， 因为，，所以，得， 则的面积为. 16. 记为数列的前项和，已知． （1）证明数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）通过，当时，两式相减得出，进行适当变形即可证明； （2）由（1）得出的通项公式，进一步得出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求和. 【小问1详解】 因为，① 所以当时，，② ①②得：， 即，所以， 所以，即， 当时，由①得，则， 所以数列是以公比为，首项为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）数列是以公比为，首项为的等比数列， 所以，所以， 由，则， 所以 ，所以， 所以数列的前项和为： ，③ ，④ ③减④得：， 即， 所以. 17. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点分别在线段与上（不含端点），且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若平面，求最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以A为原点，分别以AD、AB、AM所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，得F点坐标：，平面的法向量为，，得证， （2）求平面与平面的法向量，再利用数量积求余弦值， （3）因为平面，设平面的法向量为：，故，， 由得到由与的关系，再根据基本不等式求出结果 【小问1详解】 以A为原点，分别以AD、AB、AM所在的直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，已知平面， ， 则各点的坐标：， ，得F点坐标：，所以， 平面的法向量：取,， 平面为平面，法向量为， ，所以， 又因为平面，因此平面； 【小问2详解】 平面的法向量为：， 设平面的法向量为：， 则， 令，则，即， 设两平面的夹角为， 则， 【小问3详解】 由， 得，, ， 又因为平面，故，， ， 则，（根据不等式可得） 当且仅当时，等号成立，故的最小值为， 18. 由个小正方形构成的长方形网格有行和列，每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止． （1）第一行中的个小球颜色互不相同，其余行都由这个小球以不同的顺序组成，如果要使任意两行的顺序都不相同，求的最大值； （2）长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为，放黑球的概率为． （ⅰ）若，记在每列都有黑球的条件下，含白球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望； （ⅱ）设事件“不是每一列都有黑球”，求，并证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用全排列知识解决. （2）（ⅰ）确定的取值，再根据条件概率的概率公式逐一求解，最后利用期望公式即可； （ⅱ）利用对立事件求出，再记“每行都至少有一个白球”为事件，求出，根据可证明. 【小问1详解】 将个颜色互不相同的小球全排列，共有种排法， 故的最大值为. 【小问2详解】 （ⅰ）的所有可能取值为， 记“含白球的行数为”为事件，记“每列都有黑球”为事件， 则， ， 故的分布列为 数学期望. （ⅱ）因为每一列都至少有一个黑球的概率为， 则不是每一列都有黑球的概率为， 记“每行都至少有一个白球”为事件，所以， 因为，所以，即， 故. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若函数有个零点，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）在上单调递增； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，再次求导即可得到单调性； （2）（i）分离参数得，设，再求导得到最值，最后得到的范围； （ii）利用对均不等式转化为证明，再设，求导后得其最值即可证明. 【小问1详解】 当时，定义域为， ，令， 则，令，解得， 当， 所以在上递减，在上递增， 所以即， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 （i）函数有3个零点等价于有三个根等价于有三个根， 等价于当与有三个交点，. ， 0 2 0 0 减 0 增 减 ，， 所以的取值范围为. （ii）先证对数均值不等式， 由（i）知，令 则， 等价于， 等价于， 令， ， 在上递减，， 故， 由（i）知，， 满足，由②③可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得，则， 故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即． 而由， 可知成立，故命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高三摸底质量检测数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将5名志愿者分配到两项公益活动，每名志愿者只分配到一项公益活动，每项公益活动至少分配2名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 10种 B. 25种 C. 20种 D. 40种 5. 若随机变量，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. C. 24 D. 27 6. 若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（ ） A B. 1 C. D. 2 7. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 的展开式的各二项式系数的和为1 B. 已知随机事件和，若，则和相互独立 C. 若随机变量，则 D. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 10. 已知公差为等差数列的前项和为，且满足，令，数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 使得成立的的最小值为 C. D 11. 已知等腰，，取，中点，，将沿翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确是（ ） A. 四棱锥存在外接球 B. C. D. 四棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标是_______． 13. 已知函数，若，则的取值范围是_______． 14. 若函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为， . （1）求角的大小； （2）若边上的中线长为，求的面积． 16. 记为数列的前项和，已知． （1）证明数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 17. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点分别在线段与上（不含端点），且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若平面，求的最小值． 18. 由个小正方形构成的长方形网格有行和列，每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止． （1）第一行中的个小球颜色互不相同，其余行都由这个小球以不同的顺序组成，如果要使任意两行的顺序都不相同，求的最大值； （2）长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为，放黑球的概率为． （ⅰ）若，记在每列都有黑球的条件下，含白球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望； （ⅱ）设事件“不是每一列都有黑球”，求，并证明：． 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若函数有个零点，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $