精品解析：山西省长治学院附属太行中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

太行中学2025—2026学年第一学期期末考试 高二数学试题 满分150分；考试时间120分钟 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知在等差数列中，,，则=（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式可求出结果. 【详解】设公差为， 则，解得， 所以. 故选：D. 2. 椭圆与椭圆的关系为（ ） A. 相同的离心率 B. 相同的焦距 C. 相同的渐近线 D. 相同的顶点 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别求得椭圆的长半轴长，短半轴长和焦距，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 又由椭圆，可得， 则， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率， 所以变化时，椭圆的离心率不一定相同，所以A不正确； 对于B，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为， 所以无论怎样变化，椭圆的焦距相同，所以B正确； 对于C，根据椭圆的性质，椭圆没有渐近线，所以C不正确； 对于D，椭圆的顶点坐标为， 椭圆的顶点坐标为， 所以椭圆的顶点坐标不相同，所以D不正确. 故选：B. 3. 已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据，求得，对恒成立，进而得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，数列的通项为， 则， 即，对恒成立， 当时，取得最小值，所以， 所以“”是“，”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A 5. 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知不等式可构造得到，令，结合，可利用单调性求得不等式的解集. 【详解】由得：，即， 令，则，在上单调递减， 又，可化为，， 即不等式的解集为. 故选：A. 6. 已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，虚轴的一个端点为B，若，则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质可求出结果. 【详解】依题意可得，， 在直角中，有，得，得， 所以，所以，所以. 故选：C. 7. 如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，点是线段上一动点，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线．（在BC1上取一点与A1C构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解． 【详解】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内， 连接A1C，长度即是所求． ∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1， ∴矩形BCC1B1是边长为的正方形；则BC1＝2； 另外A1C1＝AC＝6； 在矩形ABB1A1中，A1B1＝AB＝，BB1，则A1B＝； 易发现62+22＝40，即A1C12+BC12＝A1B2， ∴∠A1C1B＝90°，则∠A1C1C＝135° 故A1C 故答案为B. 【点睛】本题考查的知识是棱柱的结构特征及两点之间的距离，其中利用旋转的思想，将△CBC1沿BC1展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间距离问题是解答本题的关键． 8. 已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，求得，令，得到，得出的单调性和最大值，得到，当时，求得，得到，根据题意，得到，列出不等式，即可求得的取值范围. 【详解】当时，可得，则， 令，可得， 当时，，单调递增，即在上单调递增； 当时，，单调递减，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为， 且时，，所以， 当时，，可得，可得， 因为对于任意的，总存在， 使得的图象上点与处的切线平行， 所以，所以，即实数的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 已知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 【答案】ABCD 【解析】 【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果． 【详解】对于选项：，，可以作为空间的一个基底，，，不共面，与共线，，，，不共面，故正确． 对于选项：向量，，与任何向量都共面，，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故正确． 对于选项：，，不能构成空间的一个基底，，，共面，，，，共面，故正确． 对于选项：，，是空间的一个基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空间的一个基底，故正确． 故选：． 10. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 11. 斐波那切螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通过小正方形的圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线所在的正方形边长设为，数列满足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得的前9项分别为，根据运算即可判断AB,根据，利用平方差公式以及即可判断选项C,代入计算即可判断D. 【详解】根据，，得数列的前9项分别为， 所以，，故A正确，B错误， 由题意可得，即， 所以，故C正确， ，， 所以，故D错误， 故选：AC. 二、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的正负性与原函数的单调性的关系，结合构造函数法进行求解即可. 【详解】由， 因为在上是减函数， 所以在上恒成立，即， 设， 当时，， 当时，， 因为，所以， 因此当时，， 当时，， 因为，所以， 因此当时，， 因此有，于是有， 故答案为： 13. 已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程________． 【答案】8 【解析】 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，圆的半径为2，点关于轴对称的点的坐标为，由反射定律得点关于轴对称的点在反射光线的延长线上，当反射光线过圆心时，路程最短 ∵ ∴从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程是 故答案为8 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则___________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件写出直线l、直线BF方程，再分别与抛物线的方程联立，探求出点C，A的坐标关系即可作答. 【详解】依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：，则有， 抛物线的焦点为，令直线BF的方程为， 由消去y并整理得：，设，则有，因此有， 而A，C都在抛物线上，由对称性知，点A，C关于y轴对称，于是得. 所以. 故答案为：0 【点睛】思路点睛：解答直线与圆锥曲线的题，常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程， 然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知正项数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明：， 所以. 【解析】 【分析】（1）应用，再结合等差数列的定义得出数列是等差数列，最后应用通项公式计算即可； （2）应用裂项相消法计算数列和结合不等关系证明. 【小问1详解】 已知①， 当时，，即， 因为，所以，当时，②， ①-②可得，， 即， 所以， 则数列是以5为首项，2为公差的等差数列，故． 【小问2详解】 略 16. 如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点. （1）求证：平面BEG； （2）若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值； 【答案】（1） 取BE中点N， 则平行且等于，AG也平行且等于，而平行且等于， 所以平行且等于， 因此四边形为平行四边形，∥， 又平面BEG，平面BEG， 所以平面BEG； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知易证建立以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以， 设为面的法向量，则 ， 同理可求平面的法向量为， . 所以二面角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）讨论的极值点； （2）当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）当a=0时，无极值点；当a>0时，的极值小点为，极大值点 −a；当a<0时，的极值小点为−a，其极大值点． （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）求导后得到两个导函数零点，然后根据参数进行分类讨论，分三类讨论，然后列表即可求得极值； （2）结合第（1）题的结论，即可求出的最小值，建立关于a的方程，解方程的a的值，然后验证即可. 【小问1详解】 ，令，则，， ①当a=0时，，所以为增函数，故无极值点； ②当a>0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为，其极大值点−a； ③当a<0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为−a，其极大值点． 综上所述，当a=0时，无极值点；当a>0时，的极值小点为，极大值点 −a；当a<0时，的极值小点为−a，其极大值点． 【小问2详解】 方法一：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，，则成立，解得：， ∵， ∴当时，，即的最大值为， 综上所述，满足题意的． 方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，， 令，则的零点为，且在上单调 递增， ∵，则， ∴当时，则成立，则，即的最大值为 ，符合题意， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是，找准参数的分类标准，进行列表求最值；第（2）问的关键，借助第一问的结论，可以求出最小值，列出方程，即可求出a的值，再进一步验证所求参数值是否满足题意即可. 18. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明是什么曲线； （2）设，为曲线上的两动点，直线与直线的斜率乘积为. ①求证：直线恒过一定点； ②设的面积为，求的最大值. 【答案】（1）；中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左、右顶点 （2）①证明如下： ，.因为若直线的斜率为， 则点，关于轴对称，必有，不合题意， 所以直线的斜率必不为. 如图，设直线PQ的方程为. 由，得， 所以， 且.因为，即.因为 所以，此时， 故直线恒过轴上一定点. ② 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式列式化简从而写出曲线的方程，并根据椭圆的标准方程判断出曲线为焦点在轴上的椭圆；（2）①根据题意判断得直线的斜率不为，设直线的方程为，与椭圆方程联立方程组，化简得关于的一元二次方程，写出韦达定理，根据斜率公式列式得，代入韦达定理化简计算即可求解出的值，从而得所过定点坐标；②根据①的结果，利用三角形面积公式计算的面积为，代入韦达定理化简计算，利用二次函数的性质从而计算得的最大值. 【小问1详解】 由题意，得， 化简得，所以曲线为中心在坐标原点， 焦点在轴上的椭圆，不含左、右顶点. 【小问2详解】 ①略 ②由①可得，，，所以 ， 当且仅当即时等号成立，所以的最大值为. 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 （或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形． 19. 已知函数在处取得极值 （1）求实数的值 （2）求证： （3）证明：对于任意的正整数，不等式都成立. 【答案】（1）1 （2） 由（1）知，，定义域为, 则， 令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 故恒成立. （3） 因为，可化为，此不等式恒成立， 令，则有， 即， ， 即 即. 【解析】 【分析】(1)利用建立方程求解即可； (2)利用导数考查函数在定义域上的单调性，找到最大值点，求值即可； (3)根据（2）的结论，得到，令，则有， 利用此不等式即可证明. 【小问1详解】 由题知，， 为的极值点， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学2025—2026学年第一学期期末考试 高二数学试题 满分150分；考试时间120分钟 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知在等差数列中，,，则=（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 2. 椭圆与椭圆的关系为（ ） A. 相同的离心率 B. 相同的焦距 C. 相同的渐近线 D. 相同的顶点 3. 已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 5. 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，虚轴的一个端点为B，若，则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，点是线段上一动点，则的最小值是 A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 已知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 10. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 11. 斐波那切螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通过小正方形的圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线所在的正方形边长设为，数列满足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为_______． 13. 已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程________． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则___________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知正项数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 16. 如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点. （1）求证：平面BEG； （2）若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值； 17. 已知函数. （1）讨论的极值点； （2）当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 18. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明是什么曲线； （2）设，为曲线上的两动点，直线与直线的斜率乘积为. ①求证：直线恒过一定点； ②设的面积为，求的最大值. 19. 已知函数在处取得极值 （1）求实数的值 （2）求证： （3）证明：对于任意的正整数，不等式都成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $