山西省长治学院附属太行中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

太行中学2025—2026学年第一学期期末考试 高二数学试题 满分150分；考试时间120分钟 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知在等差数列中，,，则=（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 2. 椭圆与椭圆的关系为（ ） A. 相同的离心率 B. 相同的焦距 C. 相同的渐近线 D. 相同的顶点 3. 已知数列{}的通项为，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 5. 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，虚轴的一个端点为B，若，则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，点是线段上一动点，则的最小值是 A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 已知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 10. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 11. 斐波那切螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通过小正方形的圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线所在的正方形边长设为，数列满足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为_______． 13. 已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程________． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则___________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知正项数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明：. 16. 如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点. （1）求证：平面BEG； （2）若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值； 17. 已知函数. （1）讨论的极值点； （2）当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 18. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明是什么曲线； （2）设，为曲线上的两动点，直线与直线的斜率乘积为. ①求证：直线恒过一定点； ②设的面积为，求的最大值. 19. 已知函数在处取得极值 （1）求实数的值 （2）求证： （3）证明：对于任意的正整数，不等式都成立. 太行中学2025—2026学年第一学期期末考试 高二数学试题 满分150分；考试时间120分钟 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】ABCD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】AC 二、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】8 【14题答案】 【答案】0 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2）证明：， 所以. 【16题答案】 【答案】（1） 取BE中点N， 则平行且等于，AG也平行且等于，而平行且等于， 所以平行且等于， 因此四边形为平行四边形，∥， 又平面BEG，平面BEG， 所以平面BEG； （2） 【17题答案】 【答案】（1）当a=0时，无极值点；当a>0时，的极值小点为，极大值点 −a；当a<0时，的极值小点为−a，其极大值点． （2）存在，． 【18题答案】 【答案】（1）；中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左、右顶点 （2）①证明如下： ，.因为若直线的斜率为， 则点，关于轴对称，必有，不合题意， 所以直线的斜率必不为. 如图，设直线PQ的方程为. 由，得， 所以， 且.因为，即.因为 所以，此时， 故直线恒过轴上一定点. ② 【19题答案】 【答案】（1）1 （2） 由（1）知，，定义域为, 则， 令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 故恒成立. （3） 因为，可化为，此不等式恒成立， 令，则有， 即， ， 即 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $