江西省南昌市第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学复习卷一

南昌一中2025-2026学年度高一上学期期末数学复习卷一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知角的终边经过点，则= A． B． C． D． 4．函数的大致图象是下列中的（    ） A．B．C． D． 5．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的值域是 C．函数在R上是增函数 D．方程有实根 6．已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 7．假设，且A与B相互独立，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.58 8．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，，则 C．若，则 D．若，则 10．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 11．已知函数以下说法正确的是（    ） A．对，都有 B．若且，则 C．若有4个不相等的实根，则的范围是 D．函数有4个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如果圆心角为的扇形所对的弦长为，则扇形的面积为 . 13．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是 . 14．设函数是从1，2，3三个数中任意取一个数，是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）化简：； （2）求值：. 16．已知函数，. (1)若在上为偶函数，求，的值； (2)设的定义域为，在（1）的条件下： ①判断函数在定义域上的单调性并证明； ②若，求实数t的取值范围. 17．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者． (ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 18．已知函数，. (1)当，时，求满足的x的值； (2)当，时，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值. 19．为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度高一上学期期末数学复习卷一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合即得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：B 2．已知，，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简命题p，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由，得， 因为， 所以是的充分不必要条件， 故选：A 3．已知角的终边经过点，则= A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D. 4．函数的大致图象是下列中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和特值法即可得出答案. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，排除B，D； 当时，，排除C. 故选：A. 5．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的值域是 C．函数在R上是增函数 D．方程有实根 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断 【详解】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误， 对于B，当时，，由对勾函数性质知， 而是偶函数，的值域是，故B错误， 对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增， 而是偶函数，故在上单调递减，故C错误， 对于D，当时，，即，解得，故D正确， 故选：D 6．已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D. 【详解】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 故选：B 7．假设，且A与B相互独立，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.58 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得. 【详解】由，，且A与B相互独立，得， 所以. 故选：D 8．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用作差法可判断A选项，利用不等式的性质可判断CD选项，利用特殊值法可判断B选项. 【详解】对于A选项，因为，则、不能同时为零， 所以，， 若，则且，此时，，矛盾， 故，故，A对； 对于B选项，因为，且，，不妨取，，此时，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，，则，C对； 对于D选项，因为，则，可得， 由不等式的性质可得，即，D对. 故选：ACD. 10．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 11．已知函数以下说法正确的是（    ） A．对，都有 B．若且，则 C．若有4个不相等的实根，则的范围是 D．函数有4个零点 【答案】AC 【分析】根据解析式画出函数图象，利用定义域得出值域即可判断A正确，再利用作差法可得B错误，由方程根的个数限定出各根的取值范围，再由对称性得出的表达式求出其范围取值，可判断C正确，令，可得与的图象仅有3个交点，可知D错误. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 对于A，由可得， 且可得， 因此对，都有，即A正确； 对于B，若且， 可知 ， 所以，即B错误； 对于C，若有4个不相等的实根，由图可知， 不妨设，可得关于对称，即； 且，且，即； 则， 因此可得的范围是，即C正确； 对于D，令，可得或或 显然与的图象仅有3个交点，和与的图象各有1个交点； 即函数有5个零点，即D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如果圆心角为的扇形所对的弦长为，则扇形的面积为 . 【答案】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】如下图所示，作，已，，则，， 设扇形的半径为，则， 因此，该扇形的面积为. 故答案为：. 13．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是 . 【答案】6 【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出，再由百分位数的求法求解即可. 【详解】由题意知，众数是4，则中位数为，则，解得，又，则第60百分位数是6. 故答案为：6. 14．设函数是从1，2，3三个数中任意取一个数，是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则的概率是 ． 【答案】 【详解】 ,当且仅当 时，取“=” ，于是 恒成立就转化为 成立.设事件 “ 恒成立”，则基本事件总数为 个，即，  ， ；事件 包含事件： ； 共 个，由古典概型得 ,故答案为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）化简：； （2）求值：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由诱导公式化简可得结论； （2）根据对数的运算性质和指数幂的运算性质化简可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以原式. （2）原式. 16．已知函数，. (1)若在上为偶函数，求，的值； (2)设的定义域为，在（1）的条件下： ①判断函数在定义域上的单调性并证明； ②若，求实数t的取值范围. 【答案】(1)， (2)①在上单调递增，证明见解析② 【分析】（1）先写出的表达式，然后由二次函数是偶函数结合对称轴可求出，由于偶函数的定义域关于原点对称可以求出； （2）①利用定义来证明函数的单调性；②结合为奇函数和其单调性解不等式. 【详解】（1）由得，， 因为在上是偶函数， 则，且定义域关于原点对称：， 所以，； （2）①函数在上单调递增； 证明如下：由（1）得，，任取满足， ， 由于，故，， 于是，则 则在上单调递增. ②因为函数的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数， 由，即， 又因为在上单调递增，则，解得， 所以实数t的取值范围是. 17．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者． (ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】(1)32.25， (2)(ⅰ)；(ⅱ) 【分析】（1）利用百分位数的定义以及平均数的计算公式求解即可； （2）（ⅰ）根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出第四组和第五组被抽到的使者，再利用古典概型公式求解即可．（ii）利用方差公式求解即可得到． 【详解】（1）设这人的平均年龄为， 则岁． 因为，， 所以第百分位数在第四组，设第百分位数为， 则，解得． （2）由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲， 第五组抽取人，记为，乙， 对应的样本空间为： ，，，甲，，乙，，，，甲， ，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，甲，，乙，，甲，，乙，，甲， ，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点， 所以． (ⅱ)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则，， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为． 据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为. 18．已知函数，. (1)当，时，求满足的x的值； (2)当，时，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得的值. （2）化简不等式，利用换元法、分离常数法，结合函数的单调性求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】（1）因为，时，， 又因为，所以 所以，所以，即； （2），，所以 所以， 故， 因为对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，所以， 又因为 由对勾函数的单调性可知，时y有最小值， 所以，所以， 所以m的最大值为. 19．为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； （2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 试卷第12页，共12页 试卷第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $