精品解析：河北部分校2026-2027学年高二年级上学期10月质量检测数学试题

2026～2027学年度高二年级10月质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知三个空间向量，，不共面，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. 5 3. 两平行线与间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知点在圆外，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆（）的左、右顶点分别为，上顶点为C，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，为椭圆（）的左、右焦点，为的上顶点，过点的直线与交于，两点，的短轴长为6．若直线垂直平分线段，则的周长为（ ） A. B. 10 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为空间的一个基底，则下列是空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，点，，直线，为上一点，则（ ） A. 直线的方程为 B. 当取得最大值时， C. 当取得最小值时， D. 当在上且到的距离为的点有3个，则 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则________． 13. 已知空间内三点，，，则点到直线的距离为________． 14. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差．在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴．已知圆与圆，若是圆，的根轴上一点，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 16. 如图，在正四棱锥中，为底面的中心，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知圆的圆心为直线与的交点，且圆与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 18. 如图，正方体的棱长为2，点是线段上的点（异于端点），记． （1）当为锐角时，求实数的取值范围； （2）当平面与平面的夹角的大小为时，求点到平面的距离． 19. 已知椭圆过点和，，为的左、右焦点．直线交于，两点． （1）求的方程； （2）当时， （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若平面上一点，满足，求（为坐标原点）的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度高二年级10月质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由直线经过，两点， 可得直线的斜率为． 2. 已知三个空间向量，，不共面，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理的定义，以及恒等思想即可求解. 【详解】由空间向量基本定理知，，，所以． 3. 两平行线与间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条平行线间距离公式，即可求解. 【详解】两平行线与间的距离为，故B正确． 4. 已知点在圆外，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将圆的方程化为标准方程得， 所以，解得或， 又点在圆外，故，解得， 因此的取值范围为． 5. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 6. 已知椭圆（）的左、右顶点分别为，上顶点为C，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，， 设坐标原点为，则，，即， 所以的离心率． 7. 若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到已知直线的距离，再根据圆上到直线距离为1的点仅有两个这一几何条件，列出半径的不等式，求解的取值范围. 【详解】由圆，可得圆心坐标为. 根据点到直线的距离公式，计算圆心到直线的距离. 若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，说明与直线平行且距离为1的两条直线中，一条与圆相离，一条与圆相交（2个交点）， 则满足， 代入得，即． 所以的取值范围为. 8. 已知点，为椭圆（）的左、右焦点，为的上顶点，过点的直线与交于，两点，的短轴长为6．若直线垂直平分线段，则的周长为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线段垂直平分线性质知,,再由可求出,所以的周长 【详解】设的半焦距为，因为的短轴长为6，即，所以，, 连接,因为直线垂直平分线段,所以, 所以,由得,,. 连接，，因为垂直平分线段，所以，， 所以的周长． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为空间的一个基底，则下列是空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为，共面，不能构成基底； 对于B，设，所以，无解，所以，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D，设，则， 所以，无解，所以，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确． 10. 已知圆，点，，直线，为上一点，则（ ） A. 直线的方程为 B. 当取得最大值时， C. 当取得最小值时， D. 当在上且到的距离为的点有3个，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线的截距式方程，化简为一般方程即可判断A；根据直线与圆的位置关系可判断B，C；根据圆的性质判断点到直线的距离从而可判断D. 【详解】由直线的截距式方程，得的方程为，即，故A正确； 如图当取得最大值或最小值时，直线与相切，故，故B错误，C正确； 当在上且到的距离为的点有3个时，因为圆的半径为1， 所以圆心到的距离等于，即， 所以，或，故D错误． 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆方程的性质分类讨论长轴长和短轴长即可求解. 【详解】若，则的长轴长为，短轴长为，则，解得； 若，则的长轴长和短轴长分别为，，所以，解得； 因此或． 13. 已知空间内三点，，，则点到直线的距离为________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，， 所以，又， 所以， 所以点到直线的距离． 14. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差．在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴．已知圆与圆，若是圆，的根轴上一点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据定义求得根轴的方程，取关于的对称点，则，再根据的最大值为即可得到答案． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 设点为圆，的根轴上的任意一点， 则，即， 整理得，即圆，的根轴为直线， 如图，记关于的对称点为，则， 所以， 因为，所以在直线上， 因为到的距离即到的距离，为，到的距离， 所以当，，三点共线时，取得最大值， 因此的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值. 【小问1详解】 依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. 16. 如图，在正四棱锥中，为底面的中心，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：在正四棱锥中，为底面的中心， 所以为的中点， 又为线段的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意可证得，然后利用线面平行的判定定理即可求证； （2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正四棱锥中，为底面的中心，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形，所以． 所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 因为，， 所以，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则即 令，得，，所以是平面的一个法向量． 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知圆的圆心为直线与的交点，且圆与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 由，解得，即， 因为圆与直线相切，所以圆的半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 因为，， 所以为等腰直角三角形，， 所以到的距离为， 即到直线的距离即为，所以，解得或5， 所以直线的方程为或． 18. 如图，正方体的棱长为2，点是线段上的点（异于端点），记． （1）当为锐角时，求实数的取值范围； （2）当平面与平面的夹角的大小为时，求点到平面的距离． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方体建立空间直角坐标系，找到参数范围列出表达式求解； （2）利用坐标以及点到面距离公式，代入求解. 【小问1详解】 以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，所以，， 因为，所以，记，所以， 所以，， 因为为锐角，所以，且， 所以，且，不共线， 所以，即，所以，即为锐角时，的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的一个法向量，则 即 令，解得，， 故平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的大小为， 所以， 解得，或（舍）． 所以平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离． 19. 已知椭圆过点和，，为的左、右焦点．直线交于，两点． （1）求的方程； （2）当时， （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若平面上一点，满足，求（为坐标原点）的最大值． 【答案】（1）． （2）（ⅰ）或．（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）将点代入方程计算即可求解；（ⅰ）先联立椭圆和直线的方程得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理及已知条件得到点坐标，进而得到的值；（ⅱ）设，利用，化简可得点在圆上，利用求解即可. 【小问1详解】 将两点，代入的方程，得 解得故的方程为． 【小问2详解】 （i）设，， 联立，得消去并整理，得， 则，所以， 由（1）得，，，， 因为，所以，即， 与联立并解得或或或 分别代入的方程，得，或（舍），或（舍），或，故或． （ⅱ）由（ⅰ）得，， 所以，． 设，则，， 因为，所以，即， 所以， 所以， 即． 即点在圆上，， 所以． 令，，则， 因为，所以点在四分之一圆弧上运动， 当直线与圆弧相切时， 取得最大值，所以，解得或（舍）， 所以，即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $