精品解析：新疆维吾尔自治区伊利哈萨克自治州2025-2026学年上学期八年级1月期末数学试题

2025-2026学年第一学期国家通用语言文字教学质量检测八年级数学试卷 （满分：100分 时间：100分钟 闭卷） 考生须知： 1.试题卷共4页，满分100分．考试时间100分钟． 2.答题卷共2页，所有答案必须写在答题卡对应位置处． 3.答题前，考生应先在答题卡上认真填写姓名、学校和准考证号． 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，这种对称美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念，关键是理解轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称图形的定义逐一分析选项： ∵选项A的图案沿任意直线折叠，直线两旁的部分均不能完全重合，∴不是轴对称图形； ∵选项B的图案沿竖直中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，∴是轴对称图形； ∵选项C的图案沿任意直线折叠，直线两旁的部分均不能完全重合，∴不是轴对称图形； ∵选项D的图案沿任意直线折叠，直线两旁的部分均不能完全重合，∴不是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. 2a+3a＝5a2 B. a2•a3＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. （a2）3＝a6 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则判断A；根据同底数幂的乘法法则判断B；根据同底数幂的除法法则判断C；根据幂的乘方的法则判断D． 【详解】A．2a+3a＝5a，故A错误； B．a2•a3＝a5，故B错误； C．a6÷a2＝a4，故C错误； D．（a2）3＝a6，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴横坐标保持不变，纵坐标变为其相反数， ∴点的坐标为； 故选：A． 4. 等腰三角形的两边分别为5和8，那么它的周长是（ ） A. 13 B. 18 C. 21 D. 18或21 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关的应用，分腰长为5和8两种情况讨论，再利用三角形三边关系进行验证，再求其周长． 【详解】解：当腰长为5时，三角形的三边分别为5、5、8，满足三角形的三边关系，此时其周长为； 当腰长为8时，三角形的三边分别为8、8、5，满足三角形的三边关系，此时其周长为； 综上可知该三角形的周长为18或21， 故选：D． 5. 古人形容一件物品轻薄，常常用轻如蚕纱，薄如蝉翼来形容．据了解，一片蝉翼的厚度约为0.00028米，数字0.00028用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数． 【详解】解：． 故选：B． 6. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式因式分解，涉及提取公因式法、平方差公式、完全平方公式，关键是掌握因式分解的定义(把一个多项式化为几个整式的积的形式)及常用公式．据此解答即可． 【详解】解：∵选项A中，，∴A错误； ∵选项B中，，∴B错误； ∵选项C中，，而不是整式乘积的形式，不满足因式分解的定义，∴C错误； ∵选项D中，，符合完全平方公式，∴D正确； 故选：D． 7. 如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟知线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 先根据，求出及的度数，再由垂直平分线的性质求出的度数，再由三角形内角与外角的性质解答即可． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， ． 故选：A． 8. 已知，则的值是（ ） A. 49 B. 73 C. 43 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，根据计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 9. 如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出△DEB的周长=AB． 【详解】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE， ∴△DEB的周长=BD+DE+BE， =BD+CD+BE， =BC+BE， =AC+BE， =AE+BE， =AB， ∵AB=6cm， ∴△DEB的周长为6cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 当______时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是明确：分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：要使分式有意义， ∴，解得； 故答案为：． 12. 的一个外角等于，且，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，关键是分该外角为(或)的邻补角、该外角为的邻补角两种情况讨论，结合三角形外角的性质计算求解的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当该外角为的邻补角时，， 又， ，解得； ②当该外角为(或)的邻补角时，； 综上，的度数为． 故答案为：． 13. 如果是完全平方式，则k的值是________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．完全平方公式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，根据完全平方公式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故答案为：16． 14. 如图，点A、E、B、D在同一条直线上，，，若利用“SAS”来判定，则需补充一个条件：________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查添加条件利用“SAS”来判定三角形的全等，利用已知可得，结合条件再找到一组对边相等即可，若添加或即可证明． 【详解】解：补充一个条件为：或． 证明：∵， ∴， 若，则，即， 在与中， ∵， ∴． 故答案为：或． 15. 如图，在等边中，于D，若，，E为的中点，P为上一点，的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．连接，先证出，从而可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为，然后证出，根据全等三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共55分，解答题应写出文字说明、演绎步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和分解因式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）考查单项式乘多项式的运算，关键是掌握单项式与多项式相乘的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）考查因式分解中的完全平方公式，关键是识别完全平方式的结构特征：． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的加法运算，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的加法运算法则求解即可； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中x＝2． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算的化简求值，关键是掌握单项式乘多项式的运算法则与合并同类项的方法，先通过展开、合并同类项化简整式，再代入数值计算． 【详解】解：原式； 当时，原式． 19. 如图，在中，，平分交于点．，，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余的性质，熟练的利用三角形的内角和定理进行计算是解本题的关键．利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质求解，再利用垂直的含义求解，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点 A 坐标为，顶点 B，C 均在小正方形的网格点上． （1）作，使和关于 y 轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； （3）直接写出的面积： ． 【答案】（1） 解：由题意，画图如下： （2），， （3）9 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键： （1）根据轴对称的性质画出即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）借助网格求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知： ；；； 故答案为： ，，． 【小问3详解】 ． 故答案为：9． 21. 2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，乙种春联的单价比甲种春联的单价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同．求甲、乙两种春联的单价分别是多少元？ 【答案】甲种春联的单价为6元，乙种春联的单价为8元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元，利用数量总价单价，结合用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每副甲种春联的单价），再将其代入中，即可求出每副乙种春联的单价． 【详解】解：设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：每副甲种春联的单价是6元，每副乙种春联的单价是8元． 22. 如图，已知，D．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：在和中， ∵，，， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定． （1）考查三角形全等的判定，关键是识别全等的三边条件； （2）等腰三角形的判定(等角对等边)，关键是利用全等三角形的性质得到 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字形全等的方法来解决问题． 【课例回顾】 （1）如图，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，．请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并加以证明； 【猜想探究】 （2）如图，在中，，，为中线，且，过点作交于点，线段_____．(用含的式子表示) 【答案】（1）过点作，延长交于点；测量线段的长度即可得到的长 （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定与性质的实际应用，关键是利用“构造全等三角形”的方法，将不可直接测量的线段转化为可测量的线段，通过作垂线构造直角，结合对顶角和已知边相等，用证明三角形全等； （2）本题考查直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，关键是通过“倍长中线”构造全等三角形，将转化为，再结合线段垂直平分线的性质和角度推导，得到含角的直角三角形，从而利用性质求出的长度． 【详解】（1）解：如图，过点作，延长交于点． 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 因此，测量线段的长度即可得到的长； （2）解：如图，延长到使，连接． ∵为中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题整体围绕“倍长中线构造全等三角形”的核心方法展开，考查了全等三角形的判定(、)与性质、直角三角形斜边中线的性质、含角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是熟练掌握“倍长中线”的构造技巧，通过全等三角形实现线段和角度的转化，再结合特殊三角形的性质完成计算或证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期国家通用语言文字教学质量检测八年级数学试卷 （满分：100分 时间：100分钟 闭卷） 考生须知： 1.试题卷共4页，满分100分．考试时间100分钟． 2.答题卷共2页，所有答案必须写在答题卡对应位置处． 3.答题前，考生应先在答题卡上认真填写姓名、学校和准考证号． 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，这种对称美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. 2a+3a＝5a2 B. a2•a3＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. （a2）3＝a6 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的两边分别为5和8，那么它的周长是（ ） A. 13 B. 18 C. 21 D. 18或21 5. 古人形容一件物品轻薄，常常用轻如蚕纱，薄如蝉翼来形容．据了解，一片蝉翼的厚度约为0.00028米，数字0.00028用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 6. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值是（ ） A. 49 B. 73 C. 43 D. 23 9. 如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 分解因式：____________． 11. 当______时，分式有意义． 12. 的一个外角等于，且，则的度数为______． 13. 如果是完全平方式，则k的值是________． 14. 如图，点A、E、B、D在同一条直线上，，，若利用“SAS”来判定，则需补充一个条件：________． 15. 如图，在等边中，于D，若，，E为的中点，P为上一点，的最小值为__________ 三、解答题（本大题共8小题，共55分，解答题应写出文字说明、演绎步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）分解因式：． 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中x＝2． 19. 如图，在中，，平分交于点．，，求的大小． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点 A 坐标为，顶点 B，C 均在小正方形的网格点上． （1）作，使和关于 y 轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； （3）直接写出的面积： ． 21. 2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，乙种春联的单价比甲种春联的单价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同．求甲、乙两种春联的单价分别是多少元？ 22. 如图，已知，D．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 23. 学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字形全等的方法来解决问题． 【课例回顾】 （1）如图，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，．请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并加以证明； 【猜想探究】 （2）如图，在中，，，为中线，且，过点作交于点，线段_____．(用含的式子表示) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $