4.1.3三角形的中线、角平分线、高 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 4.1.3三角形的中线、角平分线、高 第四章 三角形 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年1月25日 2026年1月25日星期日1时57分1秒 2026年1月25日星期日1时57分2秒 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，线段 AF 是△ABC 的 BC 边上的高. A B C F AF⟂BC 1. 下列图形中，的边 上的高线画 法正确的是( ) B A. B. C. D. 中考考法 3 活动1：每人准备一个锐角三角形纸片. (1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？ (2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. 锐角三角形的三条高直线交于同一点，并且这个点在三角形内部. 如图所示. 合作探究 在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形. (1) 画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？ (2) 你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？ A B C D A B C D E F （1）如图，直角三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点是直角三角形的直角顶点. 议一议 （2）只能折出 其中一条高，画出如图： A B C D F (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流. O E 钝角三角形的三条高互不相交，它们所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部. 三角形的三条高所在的直线交于一点. 三角形的中线 点击视频观看→ 观察 FB 与 CF 的长度有什么特殊的？ 2 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 如图，AE 是 △ABC 中 BC 边上的中线. B A C BE = EC E 让我们先看看三角形的中线有什么特点. 知识要点 活动2：(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系? 三条中线， 相交于一点 合作探究 (2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流. 三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心. 归纳总结： 重心 (3) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断 △ABD 和△ACD 的面积有什么关系？为什么？ B C D A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. (4) 通过题 (3) 你能发现什么规律？ 三角形的中线能将三角形的面积平分. 例1 如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AD 是△ABC的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 AB＝____cm. 提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长之差. 7 B A C D 典例精析 解析：因为 CE 是△ACD 的中线， 例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2. 12 所以 S△AEC = S△EDC = S△ADC， 即 S△ADC = 6 cm2. 又因为 AD 是△ABC 的中线， 所以 S△ABD = S△ADC = S△ABC， 即 S△ABC = 12 cm2. 三角形的角平分线 3 点击视频观看→ ↑ 点击几何画板操作 观察 ∠BAF 与 ∠CAF 的大小有什么特殊的？ （第2题） 2. 如图，在中， ， ，是边上两点，且， 平分 ，则下列说法中不正确的是 ( ) C A. 是的中线 B. 是 的角平分线 C. D. 是 的高 中考考法 15 三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线. ∠1 =∠2 知识要点 （第3题） 3. 如图，在中， ， 是 的角平分线，点，， 在同一条 直线上，， ，则 的度 数为( ) C A. B. C. D. 中考考法 17 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸 片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？ (2) 你能用折纸的办法得到它们吗？ (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系？ 合作探究 B A C （1）用量角器画最简便，用圆规也能. （2）在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 即为∠BAC 的平分线. A B C D D 三角形的三条角平分线交于同一点. 三角形角平分线的特征 归纳总结 （第4题） 4.如图，已知点是 的重心，连接 ，并延长交于点.若 的面 积为20，则 的面积为____. 10 【点拨】 因为是的重心，所以 是 的中线.所以 的面积等于 面积的一半.又因为 的面积 为20,所以 的面积为10. 中考考法 21 解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°， 例3 如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数. B D A C 所以∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B +∠ADB +∠BAD＝180°， 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－36°－34°＝110°. 典例精析 5.如图，已知是的中线，， ，且 的周长为12，则 的周长是____. 10 （第5题） 中考考法 23 6.如图，在中， ， ，，垂足为，是 的 平分线，且交于点，交于点 . 中考考法 24 （1）求，， 的度数； 【解】因为,, 所以, .因为 ,所以 ,解得 .所以 , . 中考考法 25 （2）求 的度数. 因为是 的平分线，所以 .易知 ,所 以 .所以 . 中考考法 26 7. 已知下列说法：①三角形的三条高交于一点；②三角形的 三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一 条高；④三角形的三条角平分线交于一点，其中正确的说法 的个数是( ) C A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 中考考法 27 （第8题） 8. 如图，在中，， ， 垂足分别为，，与交于点 ，连接 并延长交于点.若， ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 28 （第8题） 【点拨】因为，，与 交于点，所以 （三角形三条高所 在的直线交于一点）.所以 又因为，， ，所以 .所以 .故选B. 中考考法 29 （第9题） 9. 如图，在中，为边 的中点， 连接，取的中点，连接 ， ，为的中点，连接.若 的 面积为，则 的面积为( ) A A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 中考考法 30 （第10题） 10. 如图，点为的重心， ,若 ,则 面积的最大值是( ) C A. 2 B. 8 C. 4 D. 6 中考考法 31 （第10题） 【点拨】因为点为的重心，所以 , 是的中线，所以, , 所以, ,即 ,所以, 所以,所以 , 所以.因为, 所以当时， 面 积有最大值.因为,所以 面积的最大值为 .故选C. 中考考法 32 11.如图，,都是的高，过点作交 的 延长线于点,,,若 , ,则 _ __. （第11题） 中考考法 33 【点拨】 如图，连接 .因为 ,所以 ,所以 ,所以 . ,所以.因为 ，所以 .因为 ,所以 中考考法 34 12.在中，，平分 . 中考考法 35 （1）如图①，过点作 射线于点，则 与 有何大小关系？请说明理由； 中考考法 36 【解】 .理由：在中，因为 射线，所以 ，所以 .因为 平分，所以 .所以 .又因为在 中， 中考考法 37 ，所以 . 中考考法 （2）如图②，过点作于点，则， ， 又有怎样的数量关系，请直接写出结论； . 中考考法 39 （3）如图③，过点作于点，则 与 ， 又有怎样的数量关系，请直接写出结论. . 中考考法 40 13. 如图①,有一块三角形菜地，若从顶点 修一条笔直的小路交于点 ,小路正好将菜地分成面积相等 的两部分. 中考考法 41 （1）画出 点的位置并说明理由. 【解】如图①,取的中点,点 即为所 求.理由：连接.因为为 的中点， 所以,所以与 等底 同高，所以 . 中考考法 42 （2）假设在菜地中有一点,如图②所示，上是否存在点 , 使折线将 分为面积相等的两部分.若存在， 请画出点 的位置，并说明理由. 中考考法 43 存在.如图②,取的中点,连接, , ,过点作,交于点,点 即 为所求. 理由如下：连接交于点 , 由（1）知， . 因为,所以点到的距离与点到 的距离相等， 所以, 所以 , 所以 . 中考考法 44 三角形中 几条重要线段 角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段 高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段. $