精品解析：天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期末试题

2025-2026学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上一面的点数等于 B. 向上一面的点数大于 C. 向上一面的点数等于 D. 向上一面的点数小于 3. 压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：，当压力F一定时，另外两个变量的函数图像能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，相似比为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长与的周长相等 D. 的面积是的面积的2倍 5. 如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 7. 如图，的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以等边的边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形称为“莱洛三角形”．若，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ） A. B. C. D. 9. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，为的直径，弦长为，弦长为．按如下步骤尺规作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，与分别相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长，射线与相交于点，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，且点E恰好落在的延长线上，与相交于点M，与相交于点N．则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 12. 如图，中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动；动点Q从点B同时出发，以的速度沿边向终点C运动．设出发时间为．有下列结论： ①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为四边形面积的．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上) 13. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 14. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 15. 正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则_____． 16. 如图，平面直角坐标系中，点，，，则过三点的圆的圆心坐标为_____ ． 17. 如图，矩形中，，点在上，，点在边上运动，将线段绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，连接． （Ⅰ）当时，则_____ ； （II）在点运动的过程中，的最小值为_____ ． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上． （Ⅰ）的大小为_____ （度）； （Ⅱ）点在格点上，点，分别在边和边上，且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点，使得最小．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________________________________ ． 三、解答题(本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19. 已知，，完成以下填空． （1）y关于x的函数关系式为________； （2）①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 20. 在一个不透明的口袋中，有大小、材质完全相同的个小球，小球上分别标有数． （1）将球搅匀，从口袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到标号为的球的概率； （2）将球搅匀，从中任意摸出个球，记录标号后放回，再从口袋中任意摸出个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 21. 如图，四边形为菱形，，延长到点E，使，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，直接写出的长． 22. 中，，以为直径作，与相交于点，过点作的切线与相交于点，连接． （1）如图，若，求和的大小； （2）如图，与相交于点，若，，求的半径和的长． 23. 某拱桥为抛物线形，当此拱桥的拱顶离水面时，水面宽为．以现有水平面的水平直线为轴，现有水平面与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． （1）如图， ①求此拱桥所在抛物线解析式（无需写自变量取值范围）； ②若水面下降，水面宽度增加多少米？ （2）如图，为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要在此拱桥内部用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”．露出水平面的部分为，使点在抛物线上，点在现有水平面所在直线上（在轴上），当的间距不少于时，则的最大长度为________（），此时点的坐标为________． 24. 在平面直角坐标系中，的顶点．点分别为边的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点对应点分别为，旋转角记为． （1）当线段与线段有交点时，记线段与线段的交点为． ①如图，求证：； ②如图，连接，点恰好在线段上时，求线段的长； （2）整个旋转过程中，在线段上取点，使得，连接，记的面积为． 填空： ①的取值范围是________； ②当的值最大时，此时点的坐标为________． 25. 已知抛物线（为常数，）与轴相交于，两点（点在点左侧），点为抛物线与轴的交点，为抛物线的顶点，且．直线上两点和，其中，，的面积记为． （1）当，时． ①直接写出点，点，点的坐标； ②若，求； （2）若点的坐标为，且． ①直接写出的值和抛物线解析式； ②当取最小值时，直接写出的最小值和点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上一面的点数等于 B. 向上一面的点数大于 C. 向上一面的点数等于 D. 向上一面的点数小于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可求解，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：、向上一面的点数等于是不可能事件，该选项不符合题意； 、向上一面的点数大于是必然事件，该选项符合题意； 、向上一面的点数等于是随机事件，该选项不符合题意； 、向上一面的点数小于是随机事件，该选项不符合题意； 故选：． 3. 压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：，当压力F一定时，另外两个变量的函数图像能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】压力F一定时，p与S成反比，图像是双曲线，由此可得答案． 本题考查了反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】压力F一定时，p与S成反比，图像是双曲线，同时自变量是正数． 故选：C． 4. 如图，，相似比为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长与的周长相等 D. 的面积是的面积的2倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用相似三角形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据利用相似三角形的性质求解，对四个选项逐一进行分析，再作出判断． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∴， 故A正确； ∵， ∴， 故B错误； ∵，相似比为， ∴的周长与的周长的比为， 故C错误； ∵，相似比为， ∴的面积与的面积比为， 故D错误， 故选：A． 5. 如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，对顶角的性质，由正多边形的性质及多边形的内角和公式可得，，即得，再根据对顶角的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 7. 如图，的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，设，，，根据题意列出方程组解答即可求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点， ∴，，， 设，，， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 8. 如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以等边的边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形称为“莱洛三角形”．若，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键，根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可． 【详解】解：等边三角形的边长为，， ∴， ∴该“莱洛三角形”的周长， 故选：A． 9. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用一元二次方程的根与系数关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴两根之和， 两根之积， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 10. 如图，为的直径，弦长为，弦长为．按如下步骤尺规作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，与分别相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长，射线与相交于点，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理(同圆中圆周角与圆心角的关系)、等腰三角形三线合一性质、勾股定理、平行线的判定(内错角相等，两直线平行)，同时考查了尺规作图的几何意义和直角三角形的边角关系．先通过尺规作图得出平分，结合圆周角定理推出圆心角，进而得到；再利用等腰三角形三线合一证得，结合勾股定理求出和的长度；最后通过计算角的正切值判断，得出与不平行的结论，从而确定错误选项． 【详解】解：根据尺规作图的步骤可知，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵为的直径，，， ∴在中， ∴， ∴在中，故C正确，不符合题意； ∵，为的直径， ∴是等腰直角三角形，即， 在中， ∴， ∴， ∴与不平行，故D错误，符合题意； 故选：D． 11. 如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，且点E恰好落在的延长线上，与相交于点M，与相交于点N．则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据旋转的性质求解，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用旋转的性质得出，，，再利用三角形外角的性质求得，从而可求得，进而求得，然后利用勾股定理求得． 【详解】解：如图，连接， ∵将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，且点E恰好落在的延长线上，， ∴，，， ∴，， 又是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 由，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12. 如图，中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动；动点Q从点B同时出发，以的速度沿边向终点C运动．设出发时间为．有下列结论： ①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为四边形面积的．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先用代数式表示出，，再求出当时，与的长，由此可判断①； 根据题意，用表示出的面积，配方后求出最大面积，由此可判断②； 先求出当的面积为四边形面积的时，的面积，再转化为关于的一元二次方程求解，由此可判断③． 【详解】解：∵点P从A出发，速度，沿向B运动， ∴， ∵点Q从B出发，速度，沿向C运动， ∴， ∴， 当时， ∴ 结论①错误； 是直角三角形，直角在点B处，底，高， ， ， ∴ ， ∵在范围内， ∴最大值在处，此时 结论②正确； ∵是直角三角形，，， ∴面积， ∴四边形的面积​， 设​，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴无实数解， ∴不存在任何t使得的面积为四边形面积的一半， 结论③错误， 综上所述，正确的结论个数为1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，动态几何问题(一元二次方程的应用)，的最值，面积问题(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上) 13. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 14. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】利用根的判别式解答． 本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ． 故答案为：． 15. 正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，正比例函数的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据交点的纵坐标，利用正比例函数求出交点的横坐标，再代入反比例函数求k． 【详解】解：∵交点的纵坐标为2，且点在正比例函数上， ∴，解得：． ∴交点坐标为． 代入反比例函数，得， 即， 故答案为：2． 16. 如图，平面直角坐标系中，点，，，则过三点的圆的圆心坐标为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由，可知圆心在直线上，设圆心的坐标为，进而根据勾股定理列出方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴过点的圆的圆心在直线上， 设圆心的坐标为，则， 解得， ∴圆心的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，矩形中，，点在上，，点在边上运动，将线段绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，连接． （Ⅰ）当时，则_____ ； （II）在点运动的过程中，的最小值为_____ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】()旋转得到，接着在直角三角形中，由得出为等腰直角三角形，算出且，进而推出；最后在直角三角形中，用勾股定理求出的长即可； ()过点作线段，使且，证明，得到，进而得到点在垂直于的直线上，作于点，则即为的最小值，进行求解即可． 【详解】解：()线段绕着点顺时针旋转得到， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴在中： ， ∴， ∵，， ∴， ∴在中：； ()过点作线段，使且， ∵在矩形中，，， ∵由旋转得，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点在垂直于的直线上， 如图，作于点，则即为的最小值，作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形三角形， ∴， ∵， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故的最小值为． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上． （Ⅰ）的大小为_____ （度）； （Ⅱ）点在格点上，点，分别在边和边上，且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点，使得最小．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________________________________ ． 【答案】 ①. ②. 图见解析，取格点，连接，取格点、，连接交于点，连接，与的交点即为所求的点 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理求解即可； （Ⅱ）连接、、，容易判断点与点关于点对称，则，．使用勾股定理计算出和，由两组对边分别相等可证明四边形是平行四边形，．由平行可判定，则，进而得到．容易证明，则．由线段公理可得，当、、三点共线时，最小，即最小． 【详解】解：（Ⅰ）根据题意，由勾股定理可得，，，， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴． 故答案为：； （Ⅱ）如图，点即为所求． 证明：如图，连接、、， 由图可知，点与点关于点对称， ∴，， 同理（Ⅰ）可得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，最小，即最小， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，勾股定理与逆定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． 三、解答题(本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19. 已知，，完成以下填空． （1）y关于x的函数关系式为________； （2）①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 【答案】（1） （2）①双曲，一、三；②；③6 【解析】 【分析】（1）将代入即可； （2）①根据（1）中求得的函数解析式，确定函数图象及所经过的象限； ②根据三点的纵坐标，分别求出三点的横坐标，再比较大小即可； ③根据②求得的三点的横坐标，得出三点坐标，再求出这三点构成的三角形的面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 （2）①∵y关于x的函数关系式为， ∴y关于x的函数图象是双曲线， ∵， ∴它的图象在第一、三象限， 故答案为：双曲，一、三； ②解：在y关于x的函数图象上取点，和， 则，，， ， 所以， 故答案为：； ③解：由②，得，和， 的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了判断（画）反比例函数图象，用反比例函数描述数量关系，判断反比例函数图象所在象限，已知比例系数求特殊图形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 20. 在一个不透明的口袋中，有大小、材质完全相同的个小球，小球上分别标有数． （1）将球搅匀，从口袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到标号为的球的概率； （2）将球搅匀，从中任意摸出个球，记录标号后放回，再从口袋中任意摸出个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式直接计算即可； （）画出树状图，再根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：从口袋中随机摸出一个小球，共有种不同的结果，其中摸到标号为的球的结果有种， ∴摸到标号为的球的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中两次摸到的球标号均小于的情况有种， ∴两次摸到的球标号均小于的概率为． 21. 如图，四边形为菱形，，延长到点E，使，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形性质和等腰三角形性质，通过角度推导找到两组对应角相等，应用相似判定； （2）利用相似三角形对应边成比例，结合菱形边长相等的条件，将比例式转化为目标乘积式； （3）结合（2）的结论，得出，解这个方程，求得线段长度． 【小问1详解】 证明：​∵四边形是菱形， ∴，（菱形对角相等）， （菱形邻角互补）． ∵平分（菱形的每条对角线平分一组内角）， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 证明∶∵(已证)， ∴​． ∵四边形是菱形， ∴， ∴​， 即． 【小问3详解】 解∶​∵，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， 由(2)知，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ，不符合， ∴． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，利用菱形的性质证明，利用两角对应相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 22. 中，，以为直径作，与相交于点，过点作的切线与相交于点，连接． （1）如图，若，求和的大小； （2）如图，与相交于点，若，，求的半径和的长． 【答案】（1）， （2）的半径为， 【解析】 【分析】（）证明，进而即可求解； （）连接，可证，，即得，再由可得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）知，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又由（）知，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 某拱桥为抛物线形，当此拱桥的拱顶离水面时，水面宽为．以现有水平面的水平直线为轴，现有水平面与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． （1）如图， ①求此拱桥所在抛物线解析式（无需写自变量取值范围）； ②若水面下降，水面宽度增加多少米？ （2）如图，为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要在此拱桥内部用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”．露出水平面的部分为，使点在抛物线上，点在现有水平面所在直线上（在轴上），当的间距不少于时，则的最大长度为________（），此时点的坐标为________． 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （）①由题意得抛物线经过点，顶点为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法解答即可；②求出时的值，即可求出水面下降后的宽度，进而即可求解； （）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，设，则，即得到，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：①由题意得，抛物线经过点，顶点为， 设抛物线解析式为，把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②当时，， 解得，， ∴此时水面宽度为， ∵原先水面宽度为， ∴水面宽度增加； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，则， 由题意得，， 解得， ∴， ∵，， ∴当时，的长度最大，最大值，此时， 故答案为：，． 24. 在平面直角坐标系中，的顶点．点分别为边的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点对应点分别为，旋转角记为． （1）当线段与线段有交点时，记线段与线段的交点为． ①如图，求证：； ②如图，连接，点恰好在线段上时，求线段的长； （2）整个旋转过程中，在线段上取点，使得，连接，记的面积为． 填空： ①的取值范围是________； ②当的值最大时，此时点的坐标为________． 【答案】（1）①见解析；② （2）； 【解析】 【分析】（1）①连接，利用三角形中位线定理和旋转性质即可证得，利用全等三角形性质即可证得结论； ②利用勾股定理可得，由旋转得：，，设，则，，运用勾股定理建立方程求解即可； （2）①当轴，且点F在直线右侧时，此时S最大，当轴，且点F在直线左侧时，此时S最小，分别求得最大值和最小值即可； ②过点作轴于K，延长交于L，利用矩形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案． 【小问1详解】 ①证明：如图1，连接， 点C，D分别为边的中点， 是的中位线， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ； ②解：， ， ， 点C，D分别为边的中点， ，， 由旋转得：， ， 点恰好在线段上， ， 由①知，设， 则，， 在中，， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：①当轴，且点F在直线右侧时，如图3，延长交y轴于G， 则轴，此时S最大， ， ， ； 当轴，且点F在直线左侧时，如图4，延长交y轴于G， 则，此时S最小， ， 故答案为：； ②如图5，过点作轴于K，延长交于L， 则四边形是矩形， ， 又和是等腰直角三角形， ，， ， ， 故答案为： 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查平面直角坐标系中三角形旋转，熟练掌握点的坐标，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键 25. 已知抛物线（为常数，）与轴相交于，两点（点在点左侧），点为抛物线与轴的交点，为抛物线的顶点，且．直线上两点和，其中，，的面积记为． （1）当，时． ①直接写出点，点，点的坐标； ②若，求； （2）若点的坐标为，且． ①直接写出的值和抛物线解析式； ②当取最小值时，直接写出的最小值和点的坐标． 【答案】（1）①点，点，点；② （2）①，二次函数的解析式为：；②的最小值为，点． 【解析】 【分析】（1）①根据抛物线的顶点式直接求出函数的解析式即可求解； ②先求出直线的解析式，再求点的坐标，根据三角形的面积公式求解即可； （2）①先求出的值，点的坐标，再求出直线的解析式，然后求点的坐标，最后根据已知面积分类讨论求解即可； ②作点关于的对称点，与交于点，连接，，即， 过点作，且使，连接，；过点作轴交轴于点，作，，与交于点，推出当三点共线时的值最小为，接着求出点的坐标，通过距离公式求出，再求出直线的解析式，与直线的解析式联立求出点即可． 【小问1详解】 解：∵顶点，， ∴顶点． ∴设原来抛物线为顶点式为：， 将代入得：． ①∵当时，， ∴点， ∵当时，，解得：，， 又∵点在点左侧， ∴点，点； ②∵，， ∴，， ∵设直线的解析式为：， 将点，点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点和在直线上， 将，分别代入中 ∴，， ∴，． 如上图，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， ∴点，点，点， ∴，， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵顶点， ∴设原来抛物线为顶点式为：， ∵点代入得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为：， ∵， ∴， ∵当时，， ∴点， ∵设直线的解析式为：， 将点，点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴点，点， 分类讨论： 情况一：当点在对称轴的异侧，即， 如图，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， ∴点，点，点， ∴，， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∴， ∴ ， ， ， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴二次函数的解析式为：； 情况二：当点在对称轴的左侧，即， 如图，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 同情况一：，，点，点， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴二次函数的解析式为：； 情况三：当点在对称轴的右侧，即， 如图，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 同情况一：，，点，点， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴二次函数的解析式为：； 综上，，二次函数的解析式为：； ②∵， ∴设直线的解析式为：， ∴点，点， ∴， ∵， ∴点， ∵当时，， ∴点， ∵当时，，解得：，， ∴点，点． 如图，作点关于的对称点，与交于点，连接，，即， 过点作，且使，连接，； 过点作轴交轴于点，作，，与交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时的值最小为． ∵，点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴设点，代入中，， ∴点， ∵点是的中点，， ∴点，即点， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点， ∵点， ∴， ∴的最小值为． ∵设直线的解析式为：， 将点，点代入得： ， 由得： ， ， 将代入中得：，解得： ∴直线的解析式为：， ∵将和联立求出点坐标， ， ， ， 将代入，即， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数几何综合题、等腰直角三角形、距离坐标公式等，熟练掌握二次函数的图象及性质，构造平行求最短距离是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $