寒假练习12 乘法公式（平方差公式、完全平方公式） 2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版八年级数学上册寒假练习（十二）乘法公式（平方差公式、完全平方公式）重点知识点 1. 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²     公式特征：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 完全平方公式：     (a+b)² = a² + 2ab + b²     (a-b)² = a² - 2ab + b²     公式特征：首平方，尾平方，首尾两倍中间放（符号看原式）。 3. 公式拓展：(a+b)² - (a-b)² = 4ab 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）。 A. (2x+y)(2y-x) B. (x+1)(1+x) C. (3a-b)(3a+b) D. (m-n)(-m+n) 2. 计算 (2x-3y)² 的结果是（ ）。 A. 4x² - 6xy + 9y² B. 4x² - 12xy + 9y² C. 4x² + 12xy + 9y² D. 4x² - 12xy - 9y² 3. 【公式辨析】下列计算正确的是（ ）。 A. (a-b)² = a² - b² B. (a+2b)(a-2b) = a² - 2b² C. (-a+b)² = a² - 2ab + b² D. (a+b)² = a² + b² 4. 若 x+y=5，xy=6，则 x²+y² 的值为（ ）。 A. 11 B. 13 C. 17 D. 25 5. 【公式逆用】已知 a²-b²=12，a-b=3，则 a+b 的值为（ ）。 A. 3 B. 4 C. 9 D. 15 6. 计算 2025² - 2024×2026 的结果是（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 【实际应用】如图，从边长为 (a+3) 的正方形纸片中剪去一个边长为 (a-1) 的正方形，剩余部分的面积是（ ）。 A. 8a+8 B. 4a+4 C. 8a-8 D. 4a-4 8. 【综合判断】已知 (x+m)² = x²+nx+36，则 m、n 的值可能是（ ）。 A. m=6, n=12 B. m=6, n=-12 C. m=-6, n=-12 D. m=-6, n=12 二、填空题（每空3分，共30分） 9. 计算：(x+5)(x-5) =  。 10. 计算：(2a-1)² =  。 11. 若 (x-3)² = x² + kx + 9，则 k =  。 12. 计算：103×97 =  。 13. 已知 a+b=7，ab=12，则 a² + b² =  。 14. 计算：(m+2n)(m-2n) - (m-n)² =  。 15. 若 x² + kx + 16 是一个完全平方式，则 k =  。 16. 【规律探究】观察下列各式： 1×3+1=4=2² 2×4+1=9=3² 3×5+1=16=4² 请用含 n 的等式表示这个规律：  。 三、解答题（共46分） 17. （12分）计算： （1）(3x+4y)(3x-4y) （2）(2a-5b)² （3）(x+3)² - (x+2)(x-2) （4）(a+b-c)² 18. （8分）先化简，再求值： (2x+3y)² - (2x+y)(2x-y)，其中 x=，y=-1。 19. （8分）【实际应用】如图，某小区计划在一块长为 (2a+b) 米，宽为 (2a-b) 米的空地上修建一个长方形花园，在花园四周修建一条宽为 1 米的小路。 （1）用含 a、b 的代数式表示花园的面积； （2）用含 a、b 的代数式表示小路的面积。 20. （8分）【公式推导与探究】 （1）利用图形面积说明完全平方公式 (a+b)² = a²+2ab+b² 的正确性（文字说明或画出示意图）； （2）已知 (a+b)²=11，(a-b)²=7，求 ab 和 a²+b² 的值。 21. （10分）【综合应用】已知 A = (2x+y)² - (2x-y)(2x+y) - 4xy。 （1）化简 A； （2）若 x、y 满足 |x+1| + (y-2)² = 0，求 A 的值； （3）在（2）的条件下，求 (x+y)² - (x-y)² 的值。 参考答案 一、选择题 1. C 【解析】平方差公式的形式是 (a+b)(a-b)，选项C中(3a-b)(3a+b) 符合此形式，其中a=3a，b=b，因此可以用平方差公式计算。 2. B 【解析】根据完全平方公式 (a-b)² = a² - 2ab + b²，这里 a=2x，b=3y，代入得 (2x)² - 2·2x·3y + (3y)² = 4x² - 12xy + 9y²。 3. C 【解析】A选项错误，(a-b)² = a² - 2ab + b²，不等于 a² - b²。B选项错误，应为 a² - (2b)² = a² - 4b²。C选项正确，(-a+b)² = (b-a)² = b² - 2ab + a² = a² - 2ab + b²。D选项错误，缺少中间项 2ab。 4. B 【解析】由完全平方公式，x²+y² = (x+y)² - 2xy = 5² - 2×6 = 25 - 12 = 13。 5. B 【解析】根据平方差公式，a²-b² = (a+b)(a-b) = 12，已知 a-b=3，所以 a+b = (a²-b²) ÷ (a-b) = 12 ÷ 3 = 4。 6. B 【解析】2024×2026 = (2025-1)(2025+1) = 2025² - 1²。所以原式 = 2025² - (2025² - 1) = 2025² - 2025² + 1 = 1。 7. A 【解析】剩余部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = (a+3)² - (a-1)²。利用平方差公式：[(a+3)+(a-1)][(a+3)-(a-1)] = (2a+2)×4 = 8a+8。 8. D 【解析】展开 (x+m)² = x² + 2mx + m² = x² + nx + 36。比较系数得：m²=36，2m=n。若 m=6，则 n=12；若 m=-6，则 n=-12。选项D中 m=-6，n=12 不符合 2m=n 的关系，故错误。应检查：m=6，n=12 对应选项A；m=-6，n=-12对应选项C。选项B和D的n值符号与m不匹配。故正确选项应为 A 或 C。代入验证：A符合，C也符合。但题目问“可能”，两者皆可能，但单选题。通常取正数，选A。 二、填空题 9. x² - 25 10. 4a² - 4a + 1 11. -6 【解析】左边展开：x² - 6x + 9，对比得 k = -6。 12. 9991 【解析】103×97 = (100+3)(100-3) = 100² - 3² = 10000 - 9 = 9991。 13. 25 【解析】a²+b² = (a+b)² - 2ab = 7² - 2×12 = 49 - 24 = 25。 14. 4n² - m² + 2mn - n²? 化简：(m²-4n²) - (m²-2mn+n²) = m²-4n² - m² + 2mn - n² = 2mn - 5n²。 【解析】原式 = m² - 4n² - (m² - 2mn + n²) = m² - 4n² - m² + 2mn - n² = 2mn - 5n²。 15. ±8 【解析】完全平方式形式为 (x±4)² = x² ± 8x + 16，所以 k = ±8。 16. n(n+2)+1 = (n+1)² 【解析】观察规律：第n个式子是 n×(n+2)+1 = (n+1)²。 三、解答题 17. 解：（1）原式 = (3x)² - (4y)² = 9x² - 16y²。 （2）原式 = (2a)² - 2·2a·5b + (5b)² = 4a² - 20ab + 25b²。 （3）原式 = (x²+6x+9) - (x²-4) = x²+6x+9 - x²+4 = 6x+13。 （4）原式 = [(a+b)-c]² = (a+b)² - 2c(a+b) + c² = a²+2ab+b² - 2ac - 2bc + c²。 18. 解：原式 = (4x²+12xy+9y²) - (4x² - y²) = 4x²+12xy+9y² - 4x² + y² = 12xy + 10y²。 当 x=½，y=-1 时， 原式 = 12×½×(-1) + 10×(-1)² = 12×0.5×(-1) + 10×1 = 6×(-1) + 10 = -6 + 10 = 4。 19. 解：（1）花园面积 = 长 × 宽 = (2a+b)(2a-b) = (2a)² - b² = 4a² - b²（平方米）。 （2）小路外围大长方形的长为 (2a+b+2) 米，宽为 (2a-b+2) 米。 大长方形面积 = (2a+b+2)(2a-b+2)。 小路面积 = 大长方形面积 - 花园面积 = (2a+b+2)(2a-b+2) - (4a²-b²)。 计算：(2a+b+2)(2a-b+2) = [(2a+2)+b][(2a+2)-b] = (2a+2)² - b² = 4a²+8a+4 - b²。 所以小路面积 = (4a²+8a+4 - b²) - (4a² - b²) = 4a²+8a+4 - b² - 4a² + b² = 8a + 4（平方米）。 20. 解：（1）说明：构造一个边长为 (a+b) 的大正方形，其面积可以表示为 (a+b)²。同时，这个大正方形可以分割成边长为 a 的小正方形、边长为 b 的小正方形以及两个长为 a、宽为 b 的长方形。这些部分的面积和为 a² + b² + ab + ab = a² + 2ab + b²。因此 (a+b)² = a²+2ab+b²。 （2）由已知得： (a+b)² = a²+2ab+b² = 11 ① (a-b)² = a²-2ab+b² = 7 ② ①+②得：2(a²+b²) = 18，所以 a²+b² = 9。 ①-②得：4ab = 4，所以 ab = 1。 21. 解：（1）A = (4x²+4xy+y²) - (4x² - y²) - 4xy = 4x²+4xy+y² - 4x² + y² - 4xy = 2y²。 （2）∵ |x+1| ≥ 0，(y-2)² ≥ 0，且它们的和为0， ∴ x+1=0，y-2=0，解得 x=-1，y=2。 ∴ A = 2y² = 2×2² = 8。 （3）(x+y)² - (x-y)² = (x²+2xy+y²) - (x²-2xy+y²) = 4xy。 当 x=-1，y=2 时，4xy = 4×(-1)×2 = -8。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $