2025-2026学年人教版数学八年级上册寒假作业03全等三角形

巩固作业03全等三角形 限时练习：60min 完成时间： 月 日 目录 题型一、全等三角形的性质 1 题型二、全等三角形的判定 2 题型三、构造条件，证得三角形全等 3 题型四、结合尺规作图全等三角形问题 4 题型五、垂直模型 6 题型六、倍长中线模型 8 题型七、旋转模型 10 题型一、全等三角形的性质 1．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，且，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，点在同一直线上，若，，则等于 （    ） A．4 B．5 C．9 D．14 4．根据图中及相应的条件，下列四个选项中，不能判定两个三角形全等的是（    ） A．如图1，线段相交于点O，，，和 B．如图2，，，和 C．如图3，线段相交于点E，已知，，和 D．如图4，已知，，和 5．如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型二、全等三角形的判定 6．下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）分别对应相等的两个三角形全等；⑤两边和其中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等．其中正确的说法有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，，，，，则的度数是 ． 8．已知：如图，点在线段上，．求证：． 9．如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 10．如图，，点是的中点，的延长线交于点． 求证：． 题型三、构造条件，证得三角形全等 11．点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. (1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. (2)根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 12．如图，点，分别是线段，上的点，且，连接，交于点． (1)从“ ， ”中选择一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； (2)若，当，时，求的度数． 13．如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使． (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 14．如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 题型四、结合尺规作图全等三角形问题 15．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，，与相交于点F．若_____，求证：． 16．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 17．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 18．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 20．如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 题型五、垂直模型 21．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 22．在中，，． (1)如图，过点作于点，求证：； (2)如图，在中，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为多少？并用线段，表示，并说明理由； (3)在图，图中，在同一平面内有一点，满足，，且，请求出点到边上的高． 23．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 题型六、倍长中线模型 24．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 25．【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 26．综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 题型七、旋转模型 27．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 28． 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，，C在第一象限，且，，连接． (1)当时，的面积为 (2)求点C的坐标，（用含的式子表示） (3)利用备用图，作的平分线，点M在射线上，N在边上，当的值最小时，确定此时M，N的位置，并求出当时，的最小值． 29．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 30．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巩固作业03全等三角形 限时练习：60min 完成时间： 月 日 目录 题型一、全等三角形的性质 1 题型二、全等三角形的判定 4 题型三、构造条件，证得三角形全等 7 题型四、结合尺规作图全等三角形问题 11 题型五、垂直模型 19 题型六、倍长中线模型 26 题型一、全等三角形的性质 1．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，两个三角形全等，对应角相等是解题的关键． 利用全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：， ，（全等三角形对应角相等）， 在中， （三角形内角和定理）， ， ． 故选：． 2．如图，已知，且，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的性质、线段的加减，利用全等三角形得到对应边相等是解题的关键． 首先根据得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 3．如图，点在同一直线上，若，，则等于 （    ） A．4 B．5 C．9 D．14 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的性质推出即可． 【详解】解：， ， ∵， ． 故选：C． 4．根据图中及相应的条件，下列四个选项中，不能判定两个三角形全等的是（    ） A．如图1，线段相交于点O，，，和 B．如图2，，，和 C．如图3，线段相交于点E，已知，，和 D．如图4，已知，，和 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A. 在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B. 在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C. 在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D. 在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意； 故选：C. 5．如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用方格的特点和全等三角形的判定正确作图是解题的关键． 根据方格的特点和全等三角形的判定结合轴对称图形作图即可解答． 【详解】解：如图： 以为公共边可以画出三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可以画出一个三角形和原三角形全等； 以为公共边不能画出三角形与原三角形全等， 所以一共可以画出4个三角形和原三角形全等． 故选：A． 题型二、全等三角形的判定 6．下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）分别对应相等的两个三角形全等；⑤两边和其中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等．其中正确的说法有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解；说法①：周长相等的两个三角形不一定全等，如三边分别为3、4、5和4、4、4的三角形，周长均为12但不全等，故①错误； 说法②：面积相等的两个三角形不一定全等，如底和高相同但形状不同的三角形，故②错误； 说法③：两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等，可通过构造辅助线证明全等，如延长中线倍长后利用或证明，故③正确； 说法④：两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）对应相等，由两角相等得三角对应相等，再结合角平分线相等，利用或可证明全等，故 ④正确； 说法⑤：两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等，但高可能落在三角形外部导致夹角不同，如两边及一边的高相等时可能形成锐角或钝角三角形而不全等，故⑤错误； 综上所述，正确的说法有③和④，共2个， 故选：C． 7．如图，，，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等；由全等三角形性质推出，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． 【详解】解：，，， 故答案为：． 8．已知：如图，点在线段上，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意得到，运用边角边即可求证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴． 9．如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 10．如图，，点是的中点，的延长线交于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据全等三角形的判定定理和平行线的性质，即可证明． 【详解】证明： ， ，． 点是的中点， ． 在和中， ， ． 题型三、构造条件，证得三角形全等 11．点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. (1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. (2)根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 【答案】(1)②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质定理； （1）根据全等三角形的判定定理进行判断即可； （2）由得出，再由即可求解． 【详解】（1）解：①作为条件，再结合已知条件：,， 能利用“”证明，故①不符合题意； ②作为条件，可得出，即，再结合已知条件：,，就能利用“”证明，故②符合题意； ③作为条件，无法证明，故③不符合题意； 故答案为：②． （2）解：根据（1）中添加的条件, ∵， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴， ∵． 12．如图，点，分别是线段，上的点，且，连接，交于点． (1)从“ ， ”中选择一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； (2)若，当，时，求的度数． 【答案】(1)选择 ，见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）根据题意可得添加不能证明，添加选择 ，通过“”即可求证； （）根据全等三角形的性质可得，然后通过三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）解：添加 ，不能证明； 选择 ， 证明：在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 13．如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使． (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1) (2)选择及证明过程见解析 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，并证明，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由题中条件可知，按照“”，“”，使所缺的条件添加即可得到答案； （2）由（1）中不同的判定定理及添加的条件，利用两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，， ， 根据“”，使，需添加的条件是； 根据“”，使，需添加的条件是； 故答案为：； （2）解：选择“”，添加， 证明过程如下： ， ，即， 在和中， ； 选择“”，添加， 证明过程如下： ，， ，即， 在和中， ． 14．如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． (1)你选的条件为______（只填写一个序号）； (2)添加条件后，证明． 【答案】(1)①（①或②都可以） (2)见解析 【分析】本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到；添加②，由两个三角形全等的判定定理得到. （2）添加①，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【详解】（1）解：添加①或②都可以 （2）证明：若添加①， ， ， 在与中， ， ， ； 若添加②， ， ， 在与中， ， ， ． 题型四、结合尺规作图全等三角形问题 15．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，，与相交于点F．若_____，求证：． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是关键．若选择条件①，根据“边角边”证明，即可得到结论；若选择条件②，根据“角边角”证明，即可得到结论；若选择条件③，连接，先证明，得到，再根据“角边角”证明，即可得到结论． 【详解】解：选择条件①的证明： 在和中， ， ， ； 选择条件②的证明： 在和中， ； 选择条件③的证明：连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 16．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【详解】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， 如图1所示；    （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， 如图2所示；    （3）角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的；   角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 17．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 18．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 【答案】(1)见解析 (2)2，； (3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等 【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）根据所画图形填空即可； （3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形（填三角形的名称）与△ABC明显不全等， 故答案为：2，； （3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等， 故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键． 19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，由全等的性质可得； （2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作； （3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． 20．如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等． 【详解】解：如图所示，与 不一定全等． 题型五、垂直模型 21．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 22．在中，，． (1)如图，过点作于点，求证：； (2)如图，在中，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为多少？并用线段，表示，并说明理由； (3)在图，图中，在同一平面内有一点，满足，，且，请求出点到边上的高． 【答案】(1)证明见详解 (2)， (3)或 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，通过构造全等三角形转化线段和角度是解题关键． （1）利用等腰直角三角形 “三线合一” 及斜边中线性质，证明中线与斜边的数量关系； （2）通过角的等量代换证明三角形全等，结合等腰直角三角形的角度、边长特征，推导角度和线段表达式； （3）分点在不同位置的情况，构造全等三角形，将所求高转化为已知线段的一半，计算得到高的长度． 【详解】（1）证明：，，， ， 是斜边上的中线， ； （2）解：，，，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）①如图，连接，作交于点，设与交于点， ，，，， ，， 在和中， ， ，， ， 作交于点，交延长线于点， 则，， ， 在和中， ， ， 点到边上的高为； ②如图，连接，作交延长线于点， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， 作交延长线于点，交于点， 则， ， 平分，，， ， 点到边上的高为； 点到边上的高为或． 23．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六、倍长中线模型 24．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 【答案】（1）（2）（3）见解析 【分析】（1）延长至点E，使，连接， 证明，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点F，使，连接，可证，可得，，证明，得到，即得； （3）延长到R，使得，连接，证明，可得，，可证，可得， ，得，． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即； 故答案为：； （2）延长至点F，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长到R，使得，连接， ∵点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 题型七、旋转模型 27．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 28． 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，，C在第一象限，且，，连接． (1)当时，的面积为 (2)求点C的坐标，（用含的式子表示） (3)利用备用图，作的平分线，点M在射线上，N在边上，当的值最小时，确定此时M，N的位置，并求出当时，的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）先根据，得是等腰直角三角形，，过C作轴于E，则，，证明，得到，，最后根据代入计算即可； （2）先过C作轴于E，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，即可得出，，，据此即可得出点C的坐标； （3）作C关于的对称点，此时，过作，交于点M，此时最小，M，N就是所确定的位置，再根据平分得到落在射线上，且，，即可证明，得到，过C作轴于F，当时，C的坐标为，则，，根据，得到，最后求出的最小值是． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过C作轴于E，则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4； （2）解：如图，过C作轴于E，则，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 又∵点，点， ∴，， ∴， ∴C的坐标为； （3）解： 如备用图，作C关于的对称点，此时，过作，交于点M，此时最小，M，N就是所确定的位置， ∵平分， ∴射线与射线关于对称. ∵点C与关于对称， ∴落在射线上，且，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 过C作轴于F， 当时，C的坐标为，则，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴的最小值是． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，根据垂线段最短，确定出点M、N的位置是解题的关键． 29．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 30．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 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