第14章全等三角形--14.2三角形全等的判定寒假作业2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册寒假作业 第14章全等三角形--14.2三角形全等的判定答案解析 一、单选题 1．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，看哪块可以符合三角形全等的条件即可． 【详解】解：根据“两角一夹边对应相等，两个三角形全等”可得，带③去就可以， 故选：D． 2．下列两个三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 对于①②两个三角形利用即可证明． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴①②两个三角形全等，其余均不能判断， 故选：A． 3．几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：B． 4．如图，，，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， A、添加，不能判定，故符合题意； B、添加， ∴，选项不符合题意； C、添加， ∴，选项不符合题意； D、添加， ∴，选项不符合题意． 故选：A． 5．如图，点在的边上，用尺规作出了．以下是打乱的作图过程，则正确的作图顺序是（   ） ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点． A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 【答案】C 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作图基本作图，根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程． 【详解】解：正确的作图顺序是： ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点； ②作射线，则； 故选：． 6．如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键； 先证明，根据全等三角形的性质可得，，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】先明确长方形的边长，再根据全等三角形的对应边相等，分两种全等情况，确定动点P的位置，结合P的运动速度计算运动时间t． 【详解】解：由题意，可分两种情况讨论： ①当时，，此时点P在BC上，所以； ②当时，，此时点P在AD上，所以． 综上所述，的值为1或7． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与动点运动问题，掌握分情况讨论全等三角形的对应关系，结合动点运动路程与速度计算时间是解题的关键． 二、填空题 9．如图，已知，请你添加一个条件 （只需写一个），使． 【答案】或或（任写一个） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件选择合适的判定定理添加条件是解题的关键． 由图可知为公共边，又有，所以根据判定定理、、添加条件都可使． 【详解】解：由题意知：，， 添加，则 ； 添加，则 ； 添加，则 ； 故答案为：或或． 10．如图，，，垂足分别为，，．若，则 ． 【答案】50 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，三角形的内角和定理，求出的度数，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：50． 11．如图，四边形中，，面积为12且的长为6，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证三角形全等是解题的关键． 作于点，交的延长线于点，则，可得，，，由面积关系求得，进而求得；再证明 ，得，即可求得的面积． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， ， ，，， ， ，且， ， ， ， ，， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故答案为：6． 12．如图，在中，．是上一点，延长到，使，连接，延长交于点．则下列结论中：①；②；③若，则；④． 其中正确的有： （填序号） 【答案】①②④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．①利用定理证明即可；②根据全等三角形的性质可得，进而得到；③由题可知为等腰直角三角形，可得，再根据可得，进而得到，结合，即可求得；④根据四边形内角和为，即可得到． 【详解】证明：①， ， 在和中， ， ， 故①正确； ②， ， 又， ，即， ； 故②正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ④， ， ， 在四边形中，， ，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题 13．如图，已知四点A、B、C、D，请按要求进行尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)作射线，直线，射线，线段； (2)作，使，且射线交于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查画直线，射线，线段和尺规作图作相等角，掌握直线，射线，线段的定义和基本尺规作图的作法是解题关键． （1）根据直线，射线，线段的定义，画出对应图形即可； （2）根据尺规作图作相等角的画法画出对应角，并标上字母即可． 【详解】（1）解：如图，射线，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，，点F即为所求． 14．如图，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据判定即可； （2）根据三角形全等的性质可得，再根据外角的性质即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ； （2）解：， ， ． 15．如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是全等三角形判定定理的应用． （1）已知是边上的中线，可得，又，可得，又因为（对顶角相等），可证△△； （2）由（1）中证明的△△，可得，进而求得的长． 【详解】（1）证明是边上的中线， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， ， △△， ， ， ． 16．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，现要求的长，我们可以先证明三角形全等，再求出的长为________． (3)拓展延伸： 如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，平面内存在一点P，使为等腰直角三角形，请写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或或或或． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义、中点坐标 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 故答案为：； （3）解：存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时， 利用中点坐标公式，可得点P的坐标为； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点P的坐标为； 当点P在第四象限时， 利用中点坐标公式，可得点P的坐标为； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 当点P在第二象限时， 利用中点坐标公式，可得点P的坐标为； 综上，存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或或或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学上册寒假作业 第14章全等三角形--14.2三角形全等的判定 一、单选题 1．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 2．下列两个三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点在的边上，用尺规作出了．以下是打乱的作图过程，则正确的作图顺序是（   ） ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点． A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 6．如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 二、填空题 9．如图，已知，请你添加一个条件 （只需写一个），使． 10．如图，，，垂足分别为，，．若，则 ． 11．如图，四边形中，，面积为12且的长为6，则的面积为 ． 12．如图，在中，．是上一点，延长到，使，连接，延长交于点．则下列结论中：①；②；③若，则；④． 其中正确的有： （填序号） 三、解答题 13．如图，已知四点A、B、C、D，请按要求进行尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)作射线，直线，射线，线段； (2)作，使，且射线交于点F． 14．如图，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，现要求的长，我们可以先证明三角形全等，再求出的长为________． (3)拓展延伸： 如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，平面内存在一点P，使为等腰直角三角形，请写出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $