山东省济南市2025-2026学年九年级上学期数学期末模拟试卷（北师大版）

山东省济南市2025-2026学年九年级上学期数学期末模拟试卷（北师大版） 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是(    ) A. B. C. D. 2.已知为锐角，且，则的度数为     A. B. C. D. 3.如图，点D在的边AC上，添加一个条件，使得，下列不正确的是    A. B. C. D. 4.下列四个点，在反比例函数的图象上的是    A. B. C. D. 5.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为    A. B. C. D. 9 6.小芳和小颖分别从“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三处景点中随机选择一处游玩，则两人恰好选中同一景点的概率是(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为    A. B. C. D. 8.如图，菱形ABCD中，，，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，的最小值等于(    ) A. 1 B. C. D. 9.如图，在中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM，CN，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线CO交AB于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点 根据以上作图，若，，，则线段AE的长为(    ) A. B. C. 5 D. 10.已知二次函数 为常数， 图像的顶点坐标是 ，且经过 ， 两点， ．有下列结论： ①关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ②当 时，y的值随x值的增大而减小；③ ； ④ ；⑤对于任意实数t，总有 ． 以上结论正确的有(    ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。 11.已知，则的值为          . 12.如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的值为      . 13.在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为          . 14.如图，A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点D，使，C为x轴上任意一点，连接AC，BC，若，则      . 15.如图，在矩形纸片ABCD中，，E为边AB上一点，，连接DE，G为边BC上一点，连接AG，将沿AG翻折，点B的对应点F恰好落在DE的中点处，则      . 三、计算题：本大题共2小题，共11分。 16.计算： 17.解方程： ； 四、解答题：本题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题6分 如图，在▱中，，过点D作交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点 求证：四边形ACED是矩形； 连接BF，若，，求BF的长． 19.本小题7分 如图1，在一个坡角为的斜坡ON上有一棵大树与地面垂直，从斜坡底端O点处测得大树顶端B的仰角为， 求大树AB的高度； 如图2，某时刻太阳光线与水平线的夹角为，大树AB在阳光下的影子AD落在斜坡上，求影子AD的长度．结果精确到，参考数据：，，，， 20.本小题11分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点，点B的横坐标为 求一次函数与反比例函数的表达式； 根据图象，直接写出时x的取值范围； 连接OA，P是x轴上的点，若，求点P的坐标． 21.本小题7分 今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处，烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进，15分钟后，他们在游客中心A的北偏西方向的点D处相遇． 求妈妈步行的速度； 求明明从C处到D处的距离．参考数据：，结果保留两位小数 22.本小题7分 如图，AC、BD交于点E，，且BD平分 求证：； 若，求AB的长． 23.本小题7分 某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB 为21m ，倾斜角为 ，右边滑梯的高度DF 为11m ，倾斜角为 ，支架AC ，NF 都与地面垂直，AN ，MD 都与地面平行，两支架之间的距离CF 为3m 点B，C，F，E在同一条直线上 求两滑梯的高度差； 两滑梯的底端分别为 B， E，求BE 的长．结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ， ，  24.本小题7分 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，点A在点B的左侧，已知点A的纵坐标是 求反比例函数的表达式； 如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点 M在直线上，设点 M的横坐标为连接AM， ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 25.本小题7分 在中，，，，点O为AC的中点．在中，，，，连接EO并延长到点F，使，连接 【初步感知】如图1，当点 D， E分别在AB，BC上时，请完成填空：          ；          . 【深入探究】如图2，若将图1中的绕点 B按逆时针方向旋转一定的角度，连接AD，CE，AE， ①中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线． 故选： 2.【答案】A  【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据解答即可得． 【详解】解：为锐角，，且， 故选： 3.【答案】C  【解析】本题考查相似三角形的判定定理，根据三角形相似的判定定理，由两个角对应相等的两个三角形相似可判定A、B正确，不符合题意；由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定D正确，不符合题意；从而确定答案，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、添加， ， ，不符合题意； B、添加， ， ，不符合题意； C、添加， ， 无法判断，符合题意； D、添加， ， ，不符合题意； 故选： 4.【答案】C  【解析】本题考查反比例函数性质，由题意可知，将选项中的各个点的横、纵坐标相乘验证是否为6即可得到答案，熟记反比例函数性质是解决问题的关键． 【详解】解：由反比例函数性质，， 、对于，，不符合题意； B、对于，，不符合题意； C、对于，，符合题意； D、对于，，不符合题意； 故选： 5.【答案】C  【解析】本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 解得： 故选： 6.【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的情况数，找出两人恰好选中同一景点的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】 解：列表如下：表示“趵突泉”，2表示“大明湖”、3表示“千佛山” 所有等可能的情况有9种，其中两人恰好选中同一景点的有3种， 则两人恰好选中同一景点的概率是 7.【答案】C  【解析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得a、b、的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在y轴右侧， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴， ， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选： 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，作出图形，确定出最短路线为菱形的对边的距离是解题的关键． 先找出点E关于AC的对称点，过点作于F，交AC于P，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知为的最小值的最小值，过点B作于G，解直角三角形求出BG，再根据平行线间的距离相等即可得解． 【解答】 解：如图，点E关于AC的对称点，过点作于F，交AC于P， 则为最小值的情况， 过点B作于G， ，， ， ， ， 即的最小值为 故选 9.【答案】D  【解析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得AD平分，EF垂直平分CD，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接DE， 由作法得CD平分，EF垂直平分CD， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故选： 10.【答案】A  【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：二次函数 为常数， 图像的顶点坐标是 ， 且经过 ， 两点， 抛物线开口向下，对称轴为直线 ，  ，抛物线与x轴的交点为： 和 ， 图象如下所示： 令 ，即把 向下平移一个单位， 再结合函数图像可知 有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；故①正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 当 时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； 抛物线与x轴的交点为： 和 二次函数为 ，  ，  ， 解得 ，故③正确， 结合函数图像可知，当 时， ，故④正确，  ，  ，  ， ，  ， 即对于任意实数t， ，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选： 11.【答案】  【解析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键，根据合比性质进行计算． 【详解】解：，   故答案为： 12.【答案】  【解析】解：如图： 在中，，， ， 故答案为： 在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，球的总数为：个，  所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，  故答案为： 直接利用概率公式求解即可． 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率 14.【答案】  【解析】解：， ， 设点A的坐标为， 点A在第二象限， ，， ， ， 是反比例函数的图象上一点， ， 故答案为： 先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则，，然后由三角形面积公式求出xy即可 本题考查了反比例函数系k的几何意义，关键是根据三角形的面积求出xy的值． 15.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，，， 设，则， ， 由翻折得， 是DE的中点， ， ， ， ， 解得，不符合题意，舍去， ， 连接并且延长BF分别交AG、CD的延长线于点L、H， ，，， ≌， ，， ， ， ， 点F与点B关于直线AG对称， 垂直平分BF， ， ， ，， ∽， ， ， 故答案为： 由矩形的性质得，，设，则，，由翻折得，则，所以，由勾股定理得，求得，则，连接并且延长BF分别交AG、CD的延长线于点L、H，可证明≌，则，，求得，则，所以，则，再证明∽，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16.【答案】解：   【解析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据二次根式的性质，特殊角三角函数值，负整数指数幂及绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可． 17.【答案】【小题1】 解：， ， ， ，； 【小题2】 解：， ， ，即， ， ，   【解析】  本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可；   利用配方法解一元二次方程即可． 18.【答案】【小题1】 证明：， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上， ， 四边形ACED是平行四边形， ， 四边形ACED是矩形； 【小题2】 解：四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形， ，，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是   【解析】  根据四边形ABCD是平行四边形，可得，再证，即可证明四边形ACED是平行四边形，又，可证明四边形ACED是矩形；   根据四边形ACED是矩形得出，，，证明是等边三角形，再根据勾股定理即可求出BF的长． 19.【答案】【小题1】 解：，一棵大树AB与地面垂直，如下图： ， 从斜坡底端O点处测得大树顶端B的仰角， ， 又， ， 【小题2】 解：某时刻太阳光线与水平线的夹角为，如下图： ，由知，则， 设，则，，， ， 又， 解得：， 影子AD的长度为   【解析】  本题考查了等腰三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是添加适当的辅助线； 将问题转化为证明是等腰三角形即可；   设，由中得结论，得出，，，在中进行求解即可． 20.【答案】【小题1】 解：把点代入反比例函数得，， 反比例函数的解析式为， 点B的横坐标为 将A、B的坐标代入得 解得， 一次函数的解析式为； 【小题2】 解：由图象可知：当或时， 【小题3】 解：如图，作，交x轴于，过A作轴于J，作交AP于K，则，作轴于M， ，， ， ≌，而， ，， ， ， 同理可得：AK的解析式为， 当时，， ， 过A作轴于L， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ； 综上：或   【解析】  利用待定系数法先求解，再求解，再求解一次函数的解析式即可；   直接利用函数图象求解即可；   如图，作，交x轴于，过A作轴于J，作交AP于K，则，作轴于M，证明≌，进一步可得，结合一次函数的性质可得，过A作轴于L，同理可得：，，进一步求解即可． 21.【答案】【小题1】 根据题意可知：， ， ， 答：妈妈步行的速度为； 【小题2】 如图，过点C作交AB延长线于点E， ， 是等腰直角三角形， ， 设， 过点D作于点F，得矩形BEFD， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 答：明明从C处到D处的距离约为   【解析】  根据正切函数求出BD的长，即路程，则速度=路程时间，代入计算即可；   过点C作交AB延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形BEFD，可得，表示出DF，CF，进而得出结论． 22.【答案】【小题1】 证明：， ， 平分， ， ， ， 【小题2】 解：， ， ， 解得   【解析】  本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 先证明，结合即可得证．   根据，得到，结合，代入解答即可． 23.【答案】【小题1】 解：在 中，  ， ，  ，  ， 答：两滑梯高度差为 【小题2】 解：在 中 ，  ， ，  ， 在 中，  ， ，  ， 答：BE 长 ．   【解析】  本题主要考查了解直角三角形的应用． 通过解 ，求出AC ，再通过 即可求出两滑梯的高度差．  通过解 ，求出BC ，通过解 ，求出EF ，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 24.【答案】【小题1】 解：把代入，得 又直线与反比例函数的图象交于点A，B 故反比例函数的表达式为 【小题2】 解：①如图， 过点M作轴交直线于点N，则，由对称性可知， 当时， 当时， 综上所述，的面积为4 ②由题意可知，直线的函数表达式为，令，则；令，则 直线与x轴的交点为，与y轴的交点为 ， 点M在直线的第一象限图象上，当是直角三角形时，存在以下两种情况. 当时，设，过点B作一条直线平行x轴，过点A、作垂线交直线于点C、，使 根据坐标系可知，， 根据勾股定理可得，，， 由①得： ， 解得， ； 当时，设，连接OM 是直角三角形，且点O是线段AB的中点， 整理，得，解得，舍去 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或   【解析】  本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键． 根据题意求出，代入反比例函数即可求出答案；   ①过点M作轴交直线于点N，则，根据对称性质得到，分情况计算出面积即可； ②分当时，当时两种情况分类讨论即可． 25.【答案】【小题1】 90 【小题2】 ①中的结论仍然成立，证明 点O为AC的中点， ， ， 四边形AECF为平行四边形， ， ， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ，； ②在中，，，， ， 由①得：四边形AECF为平行四边形， 四边形AECF的面积等于， 当最小时，四边形AECF的面积最小， 即当E到AC的距离最小时，最小，四边形AECF的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接BM，则当EM最小时，四边形AECF的面积最小， ，， ， 即当点B，E，M三点共线时，EM取得最小值，最小值为， 此时时，BM最小， ， ， ， ， ， ， 由①得：，   【解析】  证明≌，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，即可得到； 【详解】解：点O为AC的中点， ， ，， ≌， ，， ， ， ， ； ，，，， ， ， ； 故答案为：90；   ①证明四边形AECF为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形AECF的面积最小，即当E到AC的距离最小时，最小，四边形AECF的面积最小，过点E作于点M，连接BM，则当EM最小时，四边形AECF的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，EM取得最小值，最小值为，此时时，BM最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $