精品解析：安徽省铜陵市枞阳县部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

安徽枞阳县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 5. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明先在凉亭 处测得湖心岛 在其北偏西的方向上，又从 处向正东方向行驶200米到达凉亭 处，测得湖心岛 在其北偏西 的方向上，则凉亭 与湖心岛 之间的距离为（ ） A. 400米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，四边形 中，，若，则等于（ ） A. 2︰7 B. 5︰7 C. 3︰7 D. 2︰5 8. 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面 的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面 的高度是，则这两盏灯的水平距离 是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，如图，直线 与抛物线 的图象都经过 轴上的 点，抛物线与 轴交于 、 两点，其对称轴为直线 ，且．直线 与 轴交于点 （点 在点 的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若关于 的方程有实数根，则实数m的取值范围是_______． 12. 在 中， ，，，则______． 13. 如图，在 中，，，若点D、E分别是 、 边上的两个动点，连接 、 ，且，则 的最小值为__________． 14. 如图，分别是 的边上的点， ，若，则_______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图． （1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与 的相似比为 （点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）以原点O为旋转中心，将 按顺时针方向旋转 得到（点A、B、C的对应点分别为点、、） 17. 如图，在中，点E在 的延长线上， 与 交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求 的面积． 18. 如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量： 第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与 轴交于点 ，与 轴交于点． （1）求 与 的值； （2）为 轴上的一动点，当的面积为时，求 的值． 20. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度的B处，请你自己建立平面直角坐标系，计算小丁此次投掷的成绩是多少米？ 21. 已知：如图，在四边形 中， ，对角线交于点E，点F在边 上，联结 交线段 于点G，． （1）求证：； （2）联结 ，求证：． 22. 如图，抛物线 经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点 ，与直线 相交于点 ，连接 ， ． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，直线分别交 轴， 轴于 两点，经过 两点的抛物线与 轴的正半轴相交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽枞阳县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）定义即可求出答案. 【详解】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，解题的关键在于熟练掌握相关定义. 2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A，，开口向下，原说法错误； B，对称轴是直线 ，原说法错误； C，顶点坐标为，原说法正确； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误； 故选C． 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵， ∴二次函数图象顶点坐标为：. 故答案为A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 4. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解． 【详解】观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了用函数图像解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线 与x轴交点的横坐标的值． 5. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，用b表示a，再代入求解，即可． 【详解】∵， ∴， ∴==， 故选D． 【点睛】本题主要考查比例的性质和分式的求值，根据条件，用b表示a是解题的关键． 6. 如图，小明先在凉亭 处测得湖心岛 在其北偏西的方向上，又从 处向正东方向行驶200米到达凉亭 处，测得湖心岛 在其北偏西 的方向上，则凉亭 与湖心岛 之间的距离为（ ） A. 400米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点 作于点 ，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出 和 的值即可得到本题答案． 【详解】解：点 作于点 ， ， 由题意可得：，， ∴ ，， 在 中，米， ∴米， 米， ∴米， ∵， ∴（米）， 故选：B． 7. 如图，四边形 中，，若，则等于（ ） A. 2︰7 B. 5︰7 C. 3︰7 D. 2︰5 【答案】D 【解析】 【分析】过D作交 于G，交 于H，根据平行四边形的性质先求出，从而得到的长，再根据相似三角形的性质可求出的值． 【详解】解：过D作交 于G，交 于H． 则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质定理，属于综合题，有一定难度，注意将分割计算是解答本题的关键． 8. 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面 的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面 的高度是，则这两盏灯的水平距离 是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解． 【详解】解：解：设该抛物线的解析式为， 由题意可得，点A的坐标为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， ∴这两盏灯的水平距离 是：（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接 ，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：取格点M，连接 ，，如图， 根据网格特点，B、C、M共线， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 在 中，，， ∴． 故选：C． 10. 如图，如图，直线 与抛物线 的图象都经过 轴上的 点，抛物线与 轴交于 、 两点，其对称轴为直线 ，且．直线 与 轴交于点 （点 在点 的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断 的符号；由对称轴判断 及 与的关系；还可由图象上点的坐标判断． 【详解】解： 抛物线开口向上， ． 抛物线对称轴是直线， 且． 抛物线与 轴交于正半轴， ． ∴ ①错误； 故②是正确； 直线 经过一、二、四象限， ． 当 时，则， ， 点 的坐标为． 直线 当时，， 可得． ③正确； 直线 与抛物线 的图象有两个交点 ， 得，， 由图象知， ， ， ∴④正确． 综上，正确的命题有3个． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若关于 的方程有实数根，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，一元二次方程有实根的方法即可求解，掌握根与系数的关系求参数的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为： ． 12. 在 中， ，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用， 角的直角三角形的性质，以及两锐角互余，解题的关键是根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键．根据已知得出两种不同的图形，分别作出三角形的高，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1所示：作， ，，， ， ， ， ， ， 如图2所示：作延长线于点 ， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在 中，，，若点D、E分别是 、 边上的两个动点，连接 、 ，且，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作交 于 ，根据等腰三角形的性质可得，，进而可知，可知，进而可证，得，设， ，，则，，由比例可得，即可求得 的最小值． 【详解】解：作交 于 ， ∵，， ∴，， 则， ∵， ∴， 由三角形外角可知，， ∴， ∴， ∴， 设， ，，则，， ∴，整理得：，即：， ∵， ∴， 即： 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形，二次函数等知识，根据，得，再证是解决问题的关键． 14. 如图，分别是 的边上的点， ，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据可得． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，然后化简计算即可； 【详解】 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图． （1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与 的相似比为 （点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）以原点O为旋转中心，将 按顺时针方向旋转 得到（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转： （1）把A、B、C的横纵坐标都乘以 得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可； （2）根据旋转方式找到A、B、C对应点、、的位置，然后描出、、，最后顺次连接、、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在 中，点E在 的延长线上， 与 交于点F． （1）求证：； （2）若 的面积为4，，求 的面积． 【答案】（1）见解析 （2）25 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形 是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵四边形 是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 18. 如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量： 第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 【答案】山坡AB的坡度 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交 的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出 ，根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点A作，交 的延长线于点H， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴， ∴山坡 的坡度为：． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与 轴交于点 ，与 轴交于点． （1）求 与 的值； （2）为 轴上的一动点，当的面积为时，求 的值． 【答案】（1） 的值为， 的值为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点 的坐标代入一次函数的解析式求出 ，再求出点 的坐标，把点 的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， 把代入得：． ，  把代入得：． 的值为， 的值为 ； 【小问2详解】 解：当 时，． ， 为 轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 20. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度的B处，请你自己建立平面直角坐标系，计算小丁此次投掷的成绩是多少米？ 【答案】8米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．如图建立直角坐标系，可得顶点坐标为，A点坐标为，根据顶点坐标设二次函数解析式为，把A点坐标代入即可求出a值，可得二次函数解析式，令 ，求出x的正值即为铅球投掷的成绩． 【详解】解：如图，建立直角坐标系， ∵铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，最大高度为米， ∴顶点坐标为，A点坐标为， ∴可设二次函数的解析式为， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当 时，， 解得：（舍去）， ∴小丁此次投掷的成绩是8米． 21. 已知：如图，在四边形 中， ，对角线交于点E，点F在边 上，联结 交线段 于点G，． （1）求证：； （2）联结 ，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，．根据 得出，故可得出结论； （2）先根据，得出，故．再由得出，进而可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ． 又， ． ． ， ． ． 【小问2详解】 证明：，， ． ． 又， ． ． ． 22. 如图，抛物线 经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点 ，与直线 相交于点 ，连接 ， ． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， G点坐标为或或或 （3）存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或 【解析】 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得 ， ， 的值，即求出解析式； （2）求得抛物线顶点 和 点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点 的坐标； （3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点 ． 【小问1详解】 解：把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 由， 则顶点，对称轴为直线 ， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点 的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：存在， 设直线 的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线 的解析式为：， 当 时，， ∴， ∴设过点 与直线 平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点 与直线 平行的直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴， 设过点与直线 平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线 平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴ 的坐标为或， 综上，点 的坐标为或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 23. 如图，直线分别交 轴， 轴于 两点，经过 两点的抛物线与 轴的正半轴相交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题： （1）先根据，求出B点的坐标，再把B点的坐标，代入，即可作答． （2）求出点C坐标，根据一次函数与二次函数的交点坐标，结合图象，即可作答． 【小问1详解】 解：∵直线分别交 轴， 轴于 两点 ∴ ，则 ∴ ∵经过 两点的抛物线与 轴的正半轴相交于点. ∴把和代入 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 结合图象，的解集为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $