第25章 反比例函数及其应用 精讲精练 2025--2026学年沪教版八年级数学下册

该初中数学讲义通过“定义-图像性质-应用”三大模块系统构建反比例函数知识体系，以生活实例引入概念，用框架图梳理定义要素、图像特征（双曲线、象限分布）及性质（增减性、渐近线），清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如定义辨析（判断反比例函数）、性质应用（比较函数值大小），综合题如实际问题（气球气压与体积关系）、几何综合（与正方形结合求面积），培养抽象能力与模型意识，助力学生分层提升，教师可精准实施复习教学。

沪教版八年级下第25章 反比例函数及其应用精讲精练培优讲义 大家知道，如果一笔零花钱总额固定，想买的东西单价越贵，能买的数量就越少。去学校的路程固定，步行的速度越快，所花的时间就越短。一块面积固定的长方形土地，它的长增加了，宽就必然要缩短。 这种“一个量变大，另一个量就随之变小”的紧密关系，在我们的数学世界里，有没有一个专门的模型来刻画它呢？ 有的。这就是我们今天要结识的新朋友——反比例函数。它描述的就是这种“此消彼长，乘积恒定”的奇妙规律。它的出现，将为我们理解世界打开另一扇重要的窗户。 模块一： 反比例函数定义 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量 成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 一．反比例函数定义（共6小题） 1．下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝5x﹣1 C． D． 【分析】反比例函数的一般形式为（k为常数，k≠0），选项C为正比例函数，不符合反比例函数定义． 【解答】解：反比例函数形式为（k≠0）， A：，是反比例函数，不符合题意； B：，是反比例函数，不符合题意； C：，是正比例函数，不是反比例函数，符合题意； D：，是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A．y＝5x+1 B．y＝﹣6x C． D． 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【解答】解：A、函数y＝5x+1是一次函数，不符合题意； B、函数y＝﹣6x是正比例函数，不符合题意； C、函数y＝不是反比例函数，不符合题意； D、函数y＝是反比例函数，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的定义，熟知形如的函数叫反比例函数是解题的关键． 3．下列关系式中的两个量成反比例的是（　　） A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【解答】解：A、圆的面积＝π×半径2，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、正方形的周长＝边长×4，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、路程s一定时，速度v和时间t的关系s＝vt，是反比例函数，故本选项符合题意； D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系s＝2×（a+b），不是反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．要注意：反比例函数的判断：判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 4．已知反比例函数，当y＝6时，x＝　　 ． 【分析】此题可以直接把y＝6代入反比例函数即可得到相应x的值． 【解答】解：当y＝6时，x＝＝． 故答案为：． 【点评】此题考查了已知自变量的值求函数的值的问题． 5．若函数y＝﹣2xm是反比例函数，则m的值是 　﹣1　 ． 【分析】形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，也可以写成y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），据此解答即可． 【解答】解：若函数y＝﹣2xm是反比例函数， 则m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟知其定义是解题的关键． 6．下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 【分析】形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可． 【解答】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意； B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意； D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系． 模块二： 反比例函数的图像及性质 1、 反比例函数的图像 1、 反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 2、 反比例函数的性质 1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 二．反比例函数图像（共5小题） 7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致（　　） A． B． C． D． 【分析】k＜0时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可． 【解答】解：∵k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象经过二、四象限， 故D选项的图象符合要求． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，掌握当k＜0时，一次函数和反比例函数的图象都经过第二、四象限是解题的关键． 8．若k≠0，函数y＝k（1﹣x）和函数在同一个坐标系中图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据一次函数和反比例函数图象的特点进行逐一分析即可，由于k的符号不确定，所以需分类讨论． 【解答】解：一次函数函数解析式可化为y＝﹣kx+k， 当k＞0时，﹣k＜0， ∴一次函数y＝k（1﹣x）的图象过一、二、四象限；反比例函数的图象在一、三象限，无此选项； 当k＜0时，﹣k＞0， ∴一次函数y＝k（1﹣x）的图象一、三、四象限，反比例函数的图象在二、四象限，只有A符合； 故选：A． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 9．在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力F1×阻力臂l1＝动力F2×动力臂l2，现已知F1＝20牛，l1＝5米，F2＝m牛，l2＝n米，则m与n的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过代入计算得出m和n的函数关系m＝，根据函数的性质可判断其为反比例函数，即可判断答案． 【解答】解：∵F1×l1＝F2×l2，把F1＝20牛，l1＝5米，F2＝m牛，l2＝n米代入，可得20×5＝m×n，即mn＝100， ∴m＝， ∴函数是反比例函数，m随n的增大而减小， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）写出功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图象，求当功率小于100W时，做功时间t的取值范围． 【分析】（1）先设出P与t的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可； （2）描点连线即可； （3）把P＝100代入函数解析式即可． 【解答】解：（1）设功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式P＝（k≠0）， 把t＝10，P＝120代入解析式得：120＝， 解得：k＝1200， ∴功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式为P＝． （2）如图所示： （3）当P＝100时，100＝， ∴t＝12， ∴当功率小于100W时，做功时间t的取值范围为t＞12． 【点评】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式，用反比例函数的知识解决实际问题． 11．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是函数图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间是 　10　 小时． （2）当0≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式． （3）当棚内温度不低于16℃时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长的时间是 　12.5　 小时． 【分析】（1）根据图象直接得出保持大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10（小时）； （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，把y＝16分别代入一次函数和反比例函数的解析式即可求得时间段，求出出差即可解决问题． 【解答】解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10小时； 故答案为：10； （2）设当0≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+14， 把A（2，18）代入得18＝2k+14， ∴k＝2， ∴y＝2x+14（0≤x≤2）； （3）∵点B（12，18）在双曲线y＝上， ∴k＝12×18＝216， ∴y＝（x＞12）， 把y＝16代入得，16＝， 解得x＝13.5， 把y＝16代入y＝2x+14得，16＝2x+14， 解得x＝1， 所以这天该蔬菜能够快速生长的时间是13.5﹣1＝12.5小时． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练应用待定系数法解决问题． 三．反比例函数性质（共14小题） 12．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＞﹣2 C．k＜2 D．k≠2 【分析】反比例函数图象的分布取决于系数的符号，当系数小于0时，图象在第二、四象限． 【解答】解：由条件可知2﹣k＜0， ∴k＞2， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 13．若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞5 B．k＜5 C．k≤5 D．k≥5 【分析】根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象在每一象限内y随x的增大而增大，由此列出不等式求解即可． 【解答】解：由题意得k﹣5＜0， 解得k＜5， 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握比例系数的符号与增减性的关系是解题的关键． 14．若关于x的一元二次方程3x2﹣6x+n＝0无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【分析】先根据一元二次方程无实数根的条件求出n的范围，再确定反比例函数系数的符号，从而判断图象所在的象限． 【解答】解：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝36﹣12n＜0， 解得n＞3， ∴3﹣n＜0， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第二、四象限， 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质，熟知以上知识是解题的关键． 15．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，写出一个符合要求的k的值：　﹣1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案． 【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限， ∴k＜0， ∴k的值可以是﹣1． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 16．反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的整数值是　4（答案不唯一）　 ． 【分析】根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，可得m﹣3＞0，即可求解． 【解答】解：由条件可知m﹣3＞0， ∴m＞3， 因此符合条件的m的整数值可以是4（答案不唯一）． 故答案为：4（答案不唯一）． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 17．如图是反比例函数的图象，整数k的值是　1　 ． 【分析】由反比例函数的性质得k＞0，由图得，即可求解． 【解答】解：由题意得 ， 解得：k＜2， ∴k＞0， ∵k是整数， ∴k＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键． 18．反比例函数的图象上有两点P（3，y1），Q（2，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是　　 ． 【分析】由反比例函数的性质，k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，得3m﹣4＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象上有两点P（3，y1），Q（2，y2），3＞2＞0、y1＜y2， ∴3m﹣4＞0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 19．已知反比例函数（k为常数，且k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为 　﹣1（答案不唯一）　 ． 【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的符号，再写出符合条件的函数关系式即可． 【解答】解：∵反比例函数，当x＜0时y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴k的值可以为﹣1（答案不唯一）． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数y＝（k≠0），当k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大是解决问题的关键． 20．已知反比例函数k为常数）的图象位于第二、四象限，求k的取值范围． 【分析】根据反比例函数图象在第二、四象限，可知比例系数小于零，据此建立不等式求解，即可解题． 【解答】解：由条件可知2k﹣6＜0， 解得k＜3． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 21．已知反比例函数y＝，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数图象的性质得到：k﹣1＜0，由此求得k的取值范围； （3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 【解答】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1＝1×2， 解得k＝3； （2）∵在函数y＝图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1； （3）点C不在这个函数的图象上，理由如下： ∵k＝13，有k﹣1＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝． 将点B的坐标代入y＝，可知点B的坐标满足函数关系式， ∴点B在函数y＝的图象上， 将点C的坐标代入y＝，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式， ∴点C不在函数y＝的图象上． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． 22．如图，已知反比例函数的图象经过点A（﹣3，3），过点A作AB⊥y轴于点B，在y轴负半轴上有一点C，连接AC． （1）求反比例函数解析式； （2）请用无刻度直尺和圆规，在x轴负半轴上找一点D，使得∠BDO＝∠ACB（不写作法，保留痕迹）． 【分析】（1）把（﹣3，3）代入，即可求解； （2）过点B作BD⊥AC交x轴于点D，即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴k＝﹣9， ∴反比例函数解析式为（x＜0）； （2）如图所示，点D即为所求． 理由：由作法得：∠ABD+∠BAC＝180°﹣90°＝90°， ∵AB⊥y轴，即∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°，AB平行x轴， ∴∠ABD＝∠ACB，∠BDO＝∠ABD， ∴∠BDO＝∠ACB． 【点评】本题主要考查了求反比例函数的解析式，尺规作图：熟练掌握以上知识点是关键． 23．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【分析】（1）根据反比例函数的图象即可得出k﹣2＜0，即可求出答案； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2； （2）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣4＜﹣1＜0， ∴y1＜y2． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． 24．已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围． 【分析】（1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时k＜0，列不等式求解； （2）根据x＞0时y随x增大而减小，可知k＞0，列不等式求解． 【解答】解：（1）反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数2a﹣8＜0， 解不等式得2a＜8， 即a＜4； （2）当x＞0时，反比例函数y随x值的增大而减小， 则比例系数2a﹣8＞0， 解不等式得2a＞8， 即a＞4． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，k≠0）中k的符号对图象位置和增减性的影响． 25．已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0）当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，． （1）求a，b的值； （2）当y1＝y2时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）将数据代入两个解析式即可得到a、b的值； （2）先确定两个函数解析式，再列方程求出x值即可； （3）数形结合，直接写出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，， ∴1＝，即m＝﹣2， ∴4＝，即b＝﹣， ∴a＝﹣2n，＝﹣即n＝﹣1，a＝2， 故a＝2，b＝﹣； （2）由（1）可知y1＝﹣；y2＝﹣x， 当y1＝y2时，﹣， x＝； （3）如图： 当y1﹣y2＞0时，x的取值范围为﹣＜x＜0或x＞． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 模块三： 反比例函数应用 3、 反比例函数应用 1、 反比例函数实际应用问题 2、 反比例函数与几何图形综合 四．反比例函数应用（共11小题） 26．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 【分析】（1）设，把A（1.5，64）代入得到k＝1.5×64＝96，于是得到这个反比例函数的解析式为； （2）根据题意列不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设， 把A（1.5，64）代入上式得64＝， ∴k＝1.5×64＝96， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）当p≤144时，， ∴气球的体积应不小于立方米． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 27．根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高y是物距（小孔到蜡烛的距离）x的反比例函数（单位：cm），当x＝6时，y＝2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若火焰的像高y为3cm，求此时的物距． 【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可； （2）根据解析式代入数值解答即可． 【解答】解：（1）由题意设：y＝， 把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12， ∴y关于x的函数解析式为：y＝； （2）把y＝3代入y＝，得x＝4， ∴小孔到蜡烛的距离为4cm． 【点评】此题考查反比例函数的应用，特殊角的三角函数值，关键是记住特殊角的三角函数值，掌握待定系数法确定反比例函数的解析式． 28．人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 … 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108 （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p＝，将一对数据代入即可求出F的值． （2）将p＝2.5×108Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积． 【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p＝． 将（4×104，1.2×10﹣2）代入p＝，得F＝4×104×1.2×10﹣2＝4.8×102， ∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p＝． （2）把p＝2.5×108代入p＝得，S＝1.92×10﹣6， 答：该机器人与地面的接触面积至少为1.92×10﹣6平方米． 【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． 29．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，x轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），y轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（0≤x≤30）的速度y的大小关于时间x的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图象的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图象的一部分． （1）根据图中信息，分别求出两段图象所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； （2）若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【分析】（1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域． （2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内． 【解答】解：（1）加速段：设解析式为y＝kx+b，代入（0，3），（8，7）得 ， 解得，b＝3， ∴，0≤x≤8． 衰减段：设解析式为，代入（8，7）得 m＝8×7＝56， ∴，8＜x≤30． （2）由题意可得另一辆车速度函数：（0≤x≤30）． 当0≤x≤8时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当8＜x≤30时，有， ， x2﹣14x﹣112＝0， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键． 30．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率P甲、P乙与顾客购买总金额m（元）之间的函数关系分别如图所示，其中P乙与m成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足200≤m＜400． （1）k乙＝　100　 ；用含m的代数式表示k甲　＝0.4m ； （2）当购买总金额m（元）在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么甲：　打6折促销　 乙：　优惠100元　 ； （3）完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（200≤m＜400），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【分析】（1）把m＝200，p乙＝0.5代入中即可求得k乙，然后根据P甲始终为0.4可得k甲与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的m的值，再结合图象分类求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得k乙＝100， 由于P甲始终为0.4，即， ∴k甲＝0.4m； 故答案为：100，k甲＝0.4m； （2）由（1）及优惠率p的含义可知：当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）当200≤m≤400时，甲家商场需花0.6m元，乙家商场需花（m﹣100）元， 当m﹣100＝0.6m时，解得m＝250，即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当200≤m＜250时，乙商场更优惠；当250＜m≤400时，甲商场更优惠． 【点评】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． 31．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求R1关于U0的函数解析式； （2）用含U0的代数式表示m； （3）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【分析】（1）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为R1关于U0的函数解析式； （2）先利用待定系数法求出k，b，把第（1）问求出的R1与m的函数解析式代入第（2）中的R1与U0的关系式中消去R1，然后变形； （3）利用第（3）问中U0与m的关系式，结合0≤U0≤6和m关于U0的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量m． 【解答】解：（1）由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压， 即：可变电阻电压＝8﹣U0， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴． 化简得：， ∵R0＝30， ∴． （2）将（0，240），（120，0）代入R1＝km+b， 得：， 解得：． ∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）， 将R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入， 得：， 化简得：； （3）∵中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6， ∴m随U0的增大而增大， ∴U0取最大值6的时候，（千克）． 【点评】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于求解一次函数和反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．第（4）问除应用反比例函数的增减性解题外，也可以将m与U0的关系式转化为关于m的不等式，再代入0≤U0≤6中，求出电子体重秤可称的最大质量m． 32．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： （1）施工过程中y关于x的函数解析式是 y＝1.25x（0≤x≤0.8）　 ； （2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ （3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%） 【分析】（1）施工过程中y与x成正比例函数，设出正比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式； （2）当x＞0.8时，y与x成反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式，进而取y＝0.08，得到相应的x的值即为可以入住的时间； （3）取x＝2，x＝4，得到相应的y的值，进而设降低的百分率为m，根据2月底的甲醛含量（1﹣降低的百分率）2＝4月底的甲醛含量，计算后取得合适的解即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤0.8时，设y＝kx， ∵经过点（0.8，1）， ∴0.8k＝1， 解得：k＝1.25， ∴y＝1.25x； ∴施工过程中y关于x的函数解析式为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）． 故答案为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）； （2）当x＞0.8时，设y＝， ∵经过点（0.8，1）， ∴a＝0.8， ∴y＝， 当y＝0.08时，x＝10． 答：小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住； （3）当x＝2时，y＝0.4， 当x＝4时，y＝0.2． 设这两个月降低的百分率为m， 0.4（1﹣m）2＝0.2， （1﹣m）2＝， 解得：m1＝1+（不合题意，舍去），m2＝1﹣≈0.293≈29%． 答：降低的百分率约为29%． 【点评】本题综合考查反比例函数的应用．用待定系数法求得不同取值范围内的函数解析式是解决本题的关键． 33．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤5）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【分析】（1）根据图象设正比例函数解析式为y＝kx，根据图象可知函数解析式； （2）把x＝5代入解析式y＝4x（0≤x≤5），即可求出恒定温度； （3）根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y＝10时x的值，用24小时减去这些时间即可． 【解答】解：（1）设直线OB的函数解析式为：y＝kx（k≠0），根据题意， ∴可得方程8＝2k， ∴k＝4， ∴正比例函数解析式为y＝4x（0≤x≤5）； 根据图象可知：y＝20（5≤x≤10）； （2）∵y＝4x（0≤x≤5）； 当x＝5时，y＝20， ∴恒定温度为：20℃． （3）设10≤x≤24小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ∴k＝200， ∴函数解析式为：， ∴24小时函数解析式为：， ∵当0≤x≤5时，10＝4x， ∴x＝2.5， ∵当10≤x≤24时，， ∴x＝20， ∴在20时～24时4小时之间是气温是低于10℃的， ∴气温低于10℃的总时间为：2.5+4＝6.5（h）， ∴气温高于10℃的适宜温度是：24﹣6.5＝17.5（h）． 答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时． 【点评】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答本题的关键是找出临界点． 34．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA＝右盘物体重量×OP（不计托盘与横梁重量）． 任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为y（g），OP长x（cm）．当天平平衡时，求y关于x的函数表达式，并求y的取值范围． 任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【分析】（1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出y与x之间的关系式：100×12＝y•x．即可得到反比例函数的解析式，再根据x的取值范围求出y的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【解答】解：任务1：根据链接中给的杠杆原理，可以列出y与x之间的关系式：100×12＝y•x． 将其化为y关于x的函数表达式：y＝， 由于OB＝OC+BC＝12+28＝40（cm）． ∴OC≤x≤OB，即为12≤x≤40． ∴y的取值范围为30≤y≤100（ g ）． 任务2：根据素材2，设第一次加入水的质量为a（g），空矿泉水瓶的质量为b（g）． 第一次称量时，x＝OB＝40，y＝a+b， 根据杠杆原理列出方程：40（a+b）＝1200． 第二次称量时，x＝OC+PC＝12+12＝24，y＝2a+b， 根据杠杆原理列出方程：24（2a+b ）＝1200． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为10g． 【点评】本题考查反比例函数的实际应用． 35．某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培．某一天恒温系统从0℃开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度y（℃）随时间x（时）变化的函数图象如图，其中OA段和BC段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出OA段和BC段所对应的y与x的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）将x＝12分别代入两个函数解析式求出时间，再根据图象计算出一天中该种蘑菇适宜生长的时间即可． 【解答】解：（1）设OA段所在的解析式为y＝kx， ∵A（2，18）在函数图象上， ∴18＝2k，k＝9， ∴OA段所在的解析式为y＝9x， 设BC段所在的曲线解析式为y＝， ∵B（12，18）在函数图象上， ∴m＝216， ∴BC段所在的曲线解析式为y＝， （2）当y＝12时，12＝9x，x＝（h）， 12＝，x＝18（h）， ∴该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有18﹣＝（h）． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 36．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm． （1）求h关于ρ的函数解析式； （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ． 【分析】（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论； （2）把 h＝25 代入 ，求得ρ＝0.8，于是得到结论． 【解答】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ， 把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为 ； （2）把 h＝25 代入 ，得 ， 解得：ρ＝0.8， 答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 37.如图，点A、B在 反比例函数的图像上，且A、B 横坐标分别是a、2a．AC⊥x轴，垂足为C，三角形AOC的面积为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点也在反比例函数的图像上，试比较的大小． ( A B G D E F C O x y )【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据反比例函数的几何意义，可得 ，由，即得：， 则反比例函数解析式为； （2）当时，反比例函数图像在每个象限内， y随x的减小而增大，由，即得：，由此即得：． 【总结】考查反比例函数的几何意义，与函数图像上点的坐标无关． 38.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点A，AB⊥x轴于点B，AB=6． （1）求反比例函数的解析式； （2）在直线AB上是否存在点P，使点P到正比例函数直线OA的距离等于点P到点B 的距离?若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． ( A B O x y )【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）由AB = 6，即，令，解得：， 则，设反比例函数解析式为， 则有，解得：， 即反比例函数解析式为； （2）设，设点到距离为，由，，可得， 则有，，则有，即有，解得：，， 即得，． 【总结】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值． 39.已知反比例函数与正比例函数相交于点A，点A的坐标是（1，m）． （1）求此正比例函数解析式； （2）若正比例函数与反比例函数的图像在第一象限内相交于点B，过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，AC和OB相交于点P，求梯形PCDB的面积； （3）联结AB，求的面积． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）令，即得：，即，设正比例函数解析式为， 由于函数过点，则有，即正比例函数解析式为； （2） 令，解得：，因为图像在第一象限，即得，则有，，则有，由此可得，，， 即可得：； （3） ，根据反比例函数的几何意义，即可得，则． 【总结】考查平面直角坐标系中的几何图形的面积，把点坐标转化为平面直角坐标系中的线段长度，结合割补法和反比例函数的几何意义求几何图形的面积． 40.如图，在反比例函数的图像上，有点，他们的横坐标为1，2，3，4．分别过这些点往x轴和y轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是的值． ( 1 2 3 4 x y O )【难度】★★★ 【答案】． 【解析】因为点，，，在反比例函数图像上， 且横坐标分别为1，2，3，4， 即可得，， ，，由于矩形长均为1， 即可得：，，， 故． 【总结】考查关于反比例函数上的点与坐标轴围成的矩形的面积计算． 1．下列关于反比例函数的说法中，正确的是（　　） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为﹣10 C．当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大 D．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣5，y2）在该函数的图象上，那么y1＞y2 【分析】根据k＜0，利用反比例函数的性质一一判断即可． 【解答】解：∵y＝﹣， ∴k＝﹣＜0， ∴函数图象在二，四象限，在每个象限y随x的增大而增大，故选项A，B，C错误，选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的性质，反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 2．关于反比例函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．y随着x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线y＝﹣x对称 D．图象关于直线y＝x对称 【分析】反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，根据反比例函数的图象和性质即可得出答案． 【解答】解：A、k＝﹣2＜0，图象位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故符合题意； B、k＝﹣2＜0，图象位于第二、四象限，故不符合题意； C、图象关于直线y＝﹣x对称，故不符合题意； D、图象关于直线y＝x对称，故不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 3. 函数y＝kx﹣k与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是关键． 4．函数y＝k（x﹣1）与函数y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由函数y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点，据此可得． 【解答】解：由函数y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点， 故选：C． 【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象，根据y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点是解题的关键． 5．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂写出F与l之间的函数关系式，从而判断其图象即可． 【解答】解：根据题意，得Fl＝1200×0.5， ∴F与l之间的函数关系式为F＝，为反比例函数， ∵l＞0， ∴B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂写出F与l之间的函数关系式是解题的关键． 6．小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y＝的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成： （1）函数y＝的定义域是x≠0　 ； （2）下表列出了y与x的几组对应值： x … ﹣2 ﹣ m ﹣ ﹣ 1 2 … y … 1 4 4 1 … 表中m的值是　﹣1　 ； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数y＝的图象，写出这个函数的性质：　图象关于y轴对称　 ．（只需写一个） 【分析】（1）由分母不等于零可得答案； （2）求出y＝1时x的值即可得； （3）根据表格中的数据，描点、连线即可得； （4）由函数图象即可得． 【解答】解：（1）函数y＝的定义域是x≠0， 故答案为：x≠0； （2）当y＝1时，＝1， 解得：x＝1或x＝﹣1， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1； （3）如图所示： （4）图象关于y轴对称， 故答案为：图象关于y轴对称． 【点评】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图象及反比例函数的性质． 7．为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量y（毫克）与时间x（分）成正比例；成反比例；这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（　　） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 【分析】根据图象可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，即可判断选项A；利用待定系数法解得当0≤x＜8时和x≥8时，y关于x的函数解析式，再将x＝12代入并求值，即可确定第12分钟时，教室内的含药量，即可判断选项B；将x＝50代入并求值，可知第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，即可判断选项C；若y＝3，分别求得0≤x＜8和x≥8阶段x的值，可求得教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间，即可判断选项D． 【解答】解：由图象可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小， 故选项A正确，不符合题意； 当0≤x＜8时，设直线解析式为y＝k1x（k1≠0）， ∴6＝8k1，解得， ∴此阶段y关于x的函数解析式为， 当x≥8时，设此阶段y关于x的函数解析式为， ∴，解得k2＝48， ∴y关于x的函数解析式为， 当x＝12时，可有（毫克/立方米）， 即第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米，故选项B正确，不符合题意； 当x＝50时，可有（毫克/立方米）， 即第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，故选项C错误，符合题意； 当0≤x＜8时，若y＝3，则，解得x＝4（分钟）， 当x≥8时，若y＝3，则，解得x＝16（分钟）， 则教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为16﹣4＝12分钟，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图象获得所需信息是解题关键． 8．已知反比例函数，若在每个象限内y随x的增大而增大，那么m的取值范围是　　 ． 【分析】根据反比例函数的性质可得2m﹣1＜0，解不等式即可． 【解答】解：∵反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大， ∴2m﹣1＜0， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质和解不等式，掌握其相关知识点是解题的关键． 9．反比例函数，已知在每个象限内，g（x）的函数值随着x的增大而增大，且当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2．设p＝|g（m）|，q＝|g（m﹣a）|（m≠0且m≠a），请写出p≤q时m的取值范围　且m≠1　 ． 【分析】首先根据g（x）的函数值随着x的增大而增大，可知k＞0，根据当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2可知k＝a＝1，可得：，，分情况列不等式求解即可． 【解答】解：∵在每个象限内，的函数值随着x的增大而增大， ∴﹣k＜0， 可得：k＞0， ∴反比例函数在每个象限内随着x的增大而减小， ∵当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a， ∴，即k＝a， ∵当1≤x≤2时，函数g（x）的最小值是a﹣2， ∴， 解得：a＝1， 可得：，， ∴，， ∵p≤q， ∴且m﹣1≠0， 当m＞1时，m＞m﹣1＞0， ∴， ∴成立； 当0＜m＜1时，，， ∵， ∴， 解得：； 当m＜0时，m﹣1＜m， ∴， ∴； 综上所述，m的取值范围是且m≠1． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 10．下列函数关系式：（1）y＝﹣；（2）；（3）y＝；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是　②③　 （填入序号）． 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意． 【解答】解：①y＝﹣是二次函数； ②y＝是反比例函数； ③y＝是反比例函数； ④y﹣1＝不是反比例函数； ⑤y＝不是反比例函数； 故答案为：②③． 【点评】此题主要考查了反比例函数定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 11．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 k＜﹣2　 ． 【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限， ∴k+2＜0， 解得k＜﹣2， 故答案为：k＜﹣2． 【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当k＜0时，y＝的图象位于第二、四象限． 12．如果反比例函数的图象在x＜0的范围内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 m＜3　 ． 【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数的图象在x＜0的范围内，y随x的增大而增大， ∴m﹣3＜0， 解得m＜3． 故答案为：m＜3． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质与反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 13．当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞170kPa时．气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是 V≥　 ． 【分析】根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点（1.6，60），将点（1.6，60）代入反函数解析式即可求得k的值，从而得出函数解析式，再根据p的范围即可得出答案． 【解答】解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p＝， ∵图象过点（1.6，60）， ∴60＝， ∴k＝96， 由已知得p＝图象在第一象限内， ∴p随V的增大而减小， ∴当p＞170时，＞170 V≥． 故答案为：V≥． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 14．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离y（km）与小王的行驶时间t（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题． （1）线段OA的函数表达式为 y＝10x ； （2）曲线CD的函数表达式为 y＝　 ； （3）点K的坐标为 　（，﹣2）　 ； （4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当S≤2时，求t的取值范围． 【分析】（1）设线段OA的函数表达式为y＝kt，把（0.8，8）代入y＝kt解方程得到线段OA的函数表达式为y＝10t； （2）设曲线CD的函数表达式为y＝，把（0.1，8）代入y＝得解方程得到曲线CD的函数表达式为y＝； （3）解方程组得即可得到点K的坐标为（，﹣2）； （4）依据题意，根据题意分3种情况讨论即可． 【解答】解：（1）设线段OA的函数表达式为y＝kt， 把（0.8，8）代入y＝kt得8＝0.8k， 解得k＝10， ∴线段OA的函数表达式为y＝10t， 故答案为：y＝10t； （2）设曲线CD的函数表达式为y＝， 把（0.1，8）代入y＝得，m＝0.1×8＝0.8， ∴曲线CD的函数表达式为y＝； 故答案为：y＝； （3）解方程组得或， ∴点K的坐标为（，﹣2）； 故答案为：（，﹣2）； （4）当﹣10t＝2时，解得t＝0.2（负根已经舍去）， 当10t﹣＝2时，解得t＝0.4（负根已经舍去）， ∴t的取值范围为0.2≤t≤0.4． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，利用函数解析式进行解答． 15．为了预防流感，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，解决以下问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【分析】（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）根据题意得到不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设正比例函数解析式是y＝kt， 反比例函数解析式是y＝， 把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：＝， 解得：m＝， ∴反比例函数的解析式是y＝． 当y＝1时，代入上式得t＝， 把t＝时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝， ∴正比例函数解析式是y＝t； 综上所述，y＝， （2）由题意得＜0.25， 解得t＞6， 答：至少需要经过6小时后，学生才能进入教室． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 16．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式即可； （2）观察图象可知：三段函数都有y≥12的点，而且BC段是恒温阶段，y＝20，所以计算AB和CD两段当y＝12时对应的x值，相减就是结论． 【解答】解：（1）设双曲线CD解析式为：， ∵C（10，20）， ∴k＝200， ∴双曲线CD的解析式为：； （2）设AB的解析式为：y＝mx+n（0≤x≤5）， 把（0，10），（5，20）代入y＝mx+n中得： ， 解得：， ∴AB的解析式为：y＝2x+10， 当y＝12时，12＝2x+10， 解得x＝1， 把y＝12代入， 得， 解得：， ∴， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是注意临界点的应用． 17．反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻R＝6欧姆时，电流I＝2安培． （1）求出函数解析式． （2）当0.5安培时，求出R的值． （3）如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 【分析】（1）由题意可设，代入R＝6，I＝2即可求得U的值，从而可得I与R之间的函数关系式； （2）将I＝0.5代入（1）中所得函数关系式即可求得对应的R的值； （3）根据题意得，由此即可求得电阻控制的范围． 【解答】解：（1）由题意设， ∵当电阻R＝6欧姆时，电流I＝2安培， ∴U＝6×2＝12， ∴I与R之间的函数关系式为：； （2）把I＝0.5代入得：， 解得：R＝24（欧姆）； （3）∵不得超过10安培， ∴， ∴R的取值范围是：R≥1.2（欧姆）． 【点评】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 18．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？ 【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； （2）利用y＝4分别得出x的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． （2）当y＝4，则4＝2x，解得：x＝2， 当y＝4，则4＝，解得：x＝8， ∵8﹣2＝6（小时）， ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 19. 正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数的图像上，已知正方形OAPB的面积是16． （1） 求k的值和直线OP的函数解析式； （2） ( y A B P F O x E D )求正方形ADEF的边长． 【难度】★★★ 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由，且四边形为正方形， 则有，即可得，即， 根据反比例函数的几何意义，可得：， 设直线函数解析式为，则有，解得：， 即可得直线的函数解析式为； （2）设正方形ADEF边长为，则，因为在双曲线上， 根据反比例函数的几何意义，则有，解得：（负舍）， 即得正方形ADEF边长为． 【总结】考查反比例函数几何意义的应用． 20. ( A B C P E F y O x ) 如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点P（m，n）在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形OEPF和正方形 OABC不重合部分的面积是S． （1） 求点B的坐标； （2） 当时，求点P的坐标； （3） 写出S关于m的函数解析式． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）或； （3）． 【解析】（1）因为，且四边形为正方形，则有，即得：， 所以点B坐标为； （2） 由（1）易得，则反比例函数的解析式为：． 因为矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积是S，且，设， 当点P位于点B下方时，有，解得：，此时P点坐标为：； 当点P位于点B上方时，有，解得：，此时P点坐标为：， 综上，P点的坐标为或； （3） 用割补法求面积，即可得以下分类讨论： 当时，； 当时，，点P（m，n）在双曲线上，即可得：， 则有； 综上所述，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版八年级下第25章 反比例函数及其应用精讲精练培优讲义 大家知道，如果一笔零花钱总额固定，想买的东西单价越贵，能买的数量就越少。去学校的路程固定，步行的速度越快，所花的时间就越短。一块面积固定的长方形土地，它的长增加了，宽就必然要缩短。 这种“一个量变大，另一个量就随之变小”的紧密关系，在我们的数学世界里，有没有一个专门的模型来刻画它呢？ 有的。这就是我们今天要结识的新朋友——反比例函数。它描述的就是这种“此消彼长，乘积恒定”的奇妙规律。它的出现，将为我们理解世界打开另一扇重要的窗户。 模块一： 反比例函数定义 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量 成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 一．反比例函数定义（共6小题） 1．下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝5x﹣1 C． D． 2．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A．y＝5x+1 B．y＝﹣6x C． D． 3．下列关系式中的两个量成反比例的是（　　） A．圆的面积与它的半径 B．正方形的周长与它的边长 C．路程一定时，速度与时间 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 4．已知反比例函数，当y＝6时，x＝　 　 ． 5．若函数y＝﹣2xm是反比例函数，则m的值是 　 　 ． 6．下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 模块二： 反比例函数的图像及性质 1、 反比例函数的图像 1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 2、 反比例函数的性质 1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 二．反比例函数图像（共5小题） 7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致（　　） A． B． C． D． 8．若k≠0，函数y＝k（1﹣x）和函数在同一个坐标系中图象大致是（　　） A． B． C． D． 9．在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力F1×阻力臂l1＝动力F2×动力臂l2，现已知F1＝20牛，l1＝5米，F2＝m牛，l2＝n米，则m与n的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）写出功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图象，求当功率小于100W时，做功时间t的取值范围． 11．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是函数图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间是 　 　 小时． （2）当0≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式． （3）当棚内温度不低于16℃时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长的时间是 　 　 小时． 三．反比例函数性质（共14小题） 12．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＞﹣2 C．k＜2 D．k≠2 13．若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞5 B．k＜5 C．k≤5 D．k≥5 14．若关于x的一元二次方程3x2﹣6x+n＝0无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 15．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，写出一个符合要求的k的值：　 　 ． 16．反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的整数值是　 　 ． 17．如图是反比例函数的图象，整数k的值是　 　 ． 18．反比例函数的图象上有两点P（3，y1），Q（2，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是　 　 ． 19．已知反比例函数（k为常数，且k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为 　 　 ． 20．已知反比例函数k为常数）的图象位于第二、四象限，求k的取值范围． 21．已知反比例函数y＝，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 22．如图，已知反比例函数的图象经过点A（﹣3，3），过点A作AB⊥y轴于点B，在y轴负半轴上有一点C，连接AC． （1）求反比例函数解析式； （2）请用无刻度直尺和圆规，在x轴负半轴上找一点D，使得∠BDO＝∠ACB（不写作法，保留痕迹）． 23．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 24．已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围． 25．已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0）当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，． （1）求a，b的值； （2）当y1＝y2时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 模块三： 反比例函数应用 3、 反比例函数应用 1、 反比例函数实际应用问题 2、 反比例函数与几何图形综合 四．反比例函数应用（共11小题） 26．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 27．根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高y是物距（小孔到蜡烛的距离）x的反比例函数（单位：cm），当x＝6时，y＝2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若火焰的像高y为3cm，求此时的物距． 28．人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 … 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108 （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 29．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，x轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），y轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（0≤x≤30）的速度y的大小关于时间x的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图象的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图象的一部分． （1）根据图中信息，分别求出两段图象所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； （2）若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 30．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率P甲、P乙与顾客购买总金额m（元）之间的函数关系分别如图所示，其中P乙与m成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足200≤m＜400． （1）k乙＝　 　 ；用含m的代数式表示k甲　 　 ； （2）当购买总金额m（元）在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么甲：　 　 乙：　 　 ； （3）完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（200≤m＜400），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 31．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求R1关于U0的函数解析式； （2）用含U0的代数式表示m； （3）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 32．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： （1）施工过程中y关于x的函数解析式是 　 　 ； （2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ （3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%） 33．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤5）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 34．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA＝右盘物体重量×OP（不计托盘与横梁重量）． 任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为y（g），OP长x（cm）．当天平平衡时，求y关于x的函数表达式，并求y的取值范围． 任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 35．某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培．某一天恒温系统从0℃开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度y（℃）随时间x（时）变化的函数图象如图，其中OA段和BC段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出OA段和BC段所对应的y与x的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 36．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm． （1）求h关于ρ的函数解析式； （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ． 37.如图，点A、B在 反比例函数的图像上，且A、B 横坐标分别是a、2a．AC⊥x轴，垂足为C，三角形AOC的面积为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点也在反比例函数的图像上，试比较的大小． ( A B G D E F C O x y ) 38.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点A，AB⊥x轴于点B，AB=6． （1）求反比例函数的解析式； （2）在直线AB上是否存在点P，使点P到正比例函数直线OA的距离等于点P到点B 的距离?若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． ( A B O x y ) 39.已知反比例函数与正比例函数相交于点A，点A的坐标是（1，m）． （1）求此正比例函数解析式； （2）若正比例函数与反比例函数的图像在第一象限内相交于点B，过点A和点B分别做x轴的垂线，分别交x轴于点C和点D，AC和OB相交于点P，求梯形PCDB的面积； （3）联结AB，求的面积． 40. ( 1 2 3 4 x y O )如图，在反比例函数的图像上，有点，他们的横坐标为1，2，3，4．分别过这些点往x轴和y轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是的值． 1．下列关于反比例函数的说法中，正确的是（　　） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为﹣10 C．当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大 D．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣5，y2）在该函数的图象上，那么y1＞y2 2．关于反比例函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．y随着x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线y＝﹣x对称 D．图象关于直线y＝x对称 3．函数y＝kx﹣k与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．函数y＝k（x﹣1）与函数y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　） A． B． C． D． 6．小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y＝的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成： （1）函数y＝的定义域是　 　 ； （2）下表列出了y与x的几组对应值： x … ﹣2 ﹣ m ﹣ ﹣ 1 2 … y … 1 4 4 1 … 表中m的值是　 　 ； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数y＝的图象，写出这个函数的性质：　 　 ．（只需写一个） 7．为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量y（毫克）与时间x（分）成正比例；成反比例；这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（　　） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 8．已知反比例函数，若在每个象限内y随x的增大而增大，那么m的取值范围是　 　 ． 9．反比例函数，已知在每个象限内，g（x）的函数值随着x的增大而增大，且当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2．设p＝|g（m）|，q＝|g（m﹣a）|（m≠0且m≠a），请写出p≤q时m的取值范围　 　 ． 10．下列函数关系式：（1）y＝﹣；（2）；（3）y＝；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是　 　 （填入序号）． 11．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　 　 ． 12．如果反比例函数的图象在x＜0的范围内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 　 　 ． 13．当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞170kPa时．气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是 　 　 ． 14．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离y（km）与小王的行驶时间t（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题． （1）线段OA的函数表达式为 　 　 ； （2）曲线CD的函数表达式为 　 　 ； （3）点K的坐标为 　 　 ； （4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当S≤2时，求t的取值范围． 15．为了预防流感，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，解决以下问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 16．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 17．反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻R＝6欧姆时，电流I＝2安培． （1）求出函数解析式． （2）当0.5安培时，求出R的值． （3）如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 18．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？ 19.正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数的图像上，已知正方形OAPB的面积是16． （1） 求k的值和直线OP的函数解析式； （2） ( y A B P F O x E D )求正方形ADEF的边长． 20. ( A B C P E F y O x )如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点P（m，n）在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形OEPF和正方形 OABC不重合部分的面积是S． （1） 求点B的坐标； （2） 当时，求点P的坐标； （3） 写出S关于m的函数解析式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $