专题04二元一次方程组的应用题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题04二元一次方程组的应用题型突破讲义 一、核心解题思路（重中之重） 解二元一次方程组应用的核心是列二元一次方程组解实际问题，本质是将实际问题中的未知量转化为两个未知数，利用等量关系建立方程组，通过解方程组得到实际问题的答案，核心步骤可概括为：审、设、列、解、验、答。 二、规范解题六大步骤（必背） 审：梳理已知条件与未知量，找出两个独立的等量关系（列方程组关键）； 设：设两个未知数（直接设为主，复杂时间接设），带单位； 列：根据两个等量关系列二元一次方程，组合成方程组，量的单位统一； 解：用代入 / 加减消元法解方程组，求出未知数的值； 验：先检验是否满足方程组，再检验是否符合实际意义（如数量非负、整数）； 答：对应问题写完整答案，带单位。 三、全题型核心等量关系 基础常考类 (1)和差倍分：A±B=总量；A=B×倍数±相差量 (2)购物问题：单价 × 数量 = 总价；甲总价 + 乙总价 = 总花费 (3)配套问题：甲数量 × 配套比 = 乙数量（固定比例，如 1 配 2 则甲 ×2 = 乙） (4)数字问题：两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字；数字间满足题干和 / 差 / 倍关系 (5)年龄问题：核心年龄差始终不变；几年前年龄 = 现年龄 - 年数，几年后年龄 = 现年龄 + 年数；不同时间点，两人年龄满足题干和 / 倍 / 差关系 拓展高频类 (6)行程问题：核心（路程 = 速度 × 时间） 相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程；追及：快路程 = 慢路程 + 初始距离 顺逆：顺速 = 本身速度 + 水 / 风速；逆速 = 本身速度 - 水 / 风速 (7)工程问题：核心（工作量 = 效率 × 时间，无总量设为 1） 合作：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量；合作效率 = 甲效率 + 乙效率 (8)浓度问题：核心（溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂） 混合：混合前溶质和 = 混合后溶质；混合前溶液和 = 混合后溶液 稀释.加浓：稀释时溶质不变.加浓时溶剂不变 (9)利润问题：核心（利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价） 打折：折后价 = 原价 × 折扣；总利润 = 甲利润 + 乙利润 (10)几何问题：紧扣周长.面积公式（如长方形：周长 = 2 (长 + 宽)、面积 = 长 × 宽），结合图形间和差.倍数关系 (11)分配问题：核心：分配前后，物品总数、总人数等核心量不变 基础 过关题 1.结合几何图形列二元一次方程组 2.结合实际问题列二元一次方程组 3.二元一次方程组应用:分配问题 4.二元一次方程组应用:数字问题 5.二元一次方程组应用:年龄问题 能力 提升题 6.二元一次方程组应用:图标信息 7.二元一次方程组应用:行程问题 8.二元一次方程组应用:工程问题 9.二元一次方程组应用:几何问题 10.二元一次方程组应用:销售问题 11.二元一次方程组应用:和差倍分问题 拓展 拔高题 12.二元一次方程组应用:方案问题 13.二元一次方程组应用:古代问题 14.二元一次方程组应用:其他问题 【题型1.结合几何图形列二元一次方程组】 1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 2．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 3．如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中的面积为，的面积为，则可列出方程： （填写一个）． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积，据此即可列方程． 【详解】解：正方形的面积为， 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积， ∴， 故答案：． 4．根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． . 【答案】任务；任务2：2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒子；任务3：的最小值是11，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：先算出小正方形的边长，再根据长方体体积公式求解； 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)，由于一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则得到两个约束条件，再分类讨论即可； 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张．则小长方形有：张，小正方形有：张，因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，所以，即，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得小正方形纸板的边长是， 所以横式无盖纸盒的体积; 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)， ∵一张甲方法裁剪的纸板有1个小正方形和5个小长方形，一张乙方法裁剪的纸板有4个小正方形和4个小长方形，则小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵， ∴最多能搭成4个纸盒； 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵，， ∴最多能搭成4个纸盒， ∴2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒 子 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张． 则小长方形有：张， 小正方形有：张， 因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完， 所以，即， 因为是整数，， 所以，的最小值是11， 此时，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 【题型2.结合实际问题列二元一次方程组】 5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：60匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据总马数为60匹，可得；根据总瓦数为100片，大马拉片，小马拉片，可得． 【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹， ∵总马数为60匹， ∴， ∵1匹大马拉3片瓦，3匹小马拉1片瓦（即1匹小马拉片瓦），总瓦数为100片， ∴， 故可列方程组为． 故选：B． 6．水东蜜枣，宣城市特产，中国国家地理标志产品．嘉琪家去年种植蜜枣的利润为12000元，今年蜜枣的收入比去年增加了，支出比去年减少了，今年的利润比去年多11400元．嘉琪列出二元一次方程组，刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的，表示的未知量分别为（　　） A．今年种植蜜枣的收入是元，支出为元 B．今年种植蜜枣的收入是元，支出为元 C．去年种植蜜枣的收入是元，支出为元 D．去年种植蜜枣的收入是元，支出为元 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，正确分析题目中给出的方程组，从而找出方程组中的，表示的未知量． 分析方程组可得方程组中的，，表示的未知量分别为：去年的总收入为元、总支出为元． 【详解】解：第一个方程表示去年种植蜜枣的利润为12000元，即去年种植蜜枣的收入减去年种植蜜枣的支出为12000元； 第二个方程表示今年种植蜜枣的收入（是去年收入的1.2倍）减今年种植蜜枣的支出（是去年支出的0.9倍）等于今年利润元； 表示去年种植蜜枣的收入，表示去年种植蜜枣的支出． 故选：C． 7．A地急需从B地运100吨物资到A地，B地决定用大、小货车共20辆去完成运输任务．若大货车每辆运6吨物资，小货车每辆运2吨物资，且大、小货车均满载，则大货车、小货车各需多少辆？若设需大货车x辆，需小货车y辆，则根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意可得等量关系：两种货车的数量和为20，大货车运的吨数和小货车运的吨数之和为100吨；根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设需大货车x辆，需小货车y辆， 根据题意得：， 故答案为：． 8．某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)65名 (2)见解析 【分析】（1）由题意可以列出二元一次方程组求解； （2）由题意列出关于、的二元一次方程，然后根据、都是非负整数可以得到解答． 【详解】（1）解：设1辆小客车能坐名学生，1辆大客车能坐名学生， 根据题意，得解得则． 答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生． （2）解：由题意，得，所以． ，为非负整数， ∴或或 ∴租车方案有三种： 方案一：租用小客车20辆； 方案二：租用小客车11辆，大客车4辆； 方案三：租用小客车2辆，大客车8辆． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键． 【题型3.二元一次方程组应用:分配问题】 9．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量． 等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 10．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要 间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间. 【答案】 1 8 【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间； （2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满． 【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元， 因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间， 花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间， 故答案为：1； （2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元， 此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间， 设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间， 则，， 当，时，满足， 因此27个男生租12个两个间，1个三个间， 此时还剩两人间：（个）， 因此m可以取3，2，1，0， 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，符合题意； 因此需要租三人间：（个）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件． 11．某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【答案】生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人， 根据题意，得，解得 答：生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人． 【题型4.二元一次方程组应用:数字问题】 12．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 13．对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的倍，则称这个四位数为“双倍数”．例如：，因为，是“双倍数”；，因为，所以不是“双倍数”．最小的双倍数是 ；对于“双倍数”，当十位上的数字是千位上的数字的倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，解方程组，千位上的数字是，百位上的数字是，设十位设的数字是，个位上的数字是，根据“双倍数”的定义判断出和的值即可；分别设出“双倍数”千位，百位，个位上的数字，得到十位上的数字，根据“双倍数”的定义得到含，，的等式，进而得到用，表示的，结合百位上的数字与个位上的数字之和能被整除，可得，，可能的值，进而根据各数位上的数字之和是偶数得到的值，相加即为所有之和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵求最小的双倍数， ∴千位上的数字是，百位上的数字是，设十位设的数字是，个位上的数字是， ∴， ∴， ∵，均为之间的整数，尽可能小， ∴，， ∴最小的双倍数是， 设“双倍数”中千位上的数字是，百位上的数字为，个位上的数字为，则十位上的数字是， ∴， 解得：， ∵百位上的数字与个位上的数字之和能被整除， ∴是正整数， ∵均为之间的整数， ∴或或， ∴或或， ∴或或， ∵各数位上的数字之和是偶数， ∴或， ∴或， ∴. 故答案为：，． 14．算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数，设个位数字为，十位数字为，由题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：依题意，百位数为，设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴这个三位数为． 【题型5.二元一次方程组应用:年龄问题】 15．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 16．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 【答案】 28 21 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 17．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【题型6.二元一次方程组应用:图表信息问题】 18．幻方（）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上的数字和都相等的图表，在如下所示的三阶幻方中，的值为（    ） 3 4 x y a c b A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据幻方的特点列出关于x、y的方程．根据“每行、每列和对角线上的数字和都相等”列出方程组并解答． 【详解】解：根据题意，得，即， 解得． 所以． 故选：C． 19．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位．已知第一、二束气球的价格如图所示（图示：第一束气球价格14元，第二束18元），则第三束气球的价格为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识点，审清题意、列二元一次方程组是解题的关键， 设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，然后根据第一、二束列出方程组求得x、y的值，最后根据第三束气球状况列代数式并求值即可． 【详解】解：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个， 由题意得：，解得：， ∴第三束气球的价格为（元）． 故答案为16． 20．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 【题型7.二元一次方程组应用:行程问题】 21．某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组是解题的关键；设水流速度为，船在静水中的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水流速度为，船在静水中的速度为． 由题意，得， 解得， 水流速度为，船在静水中的速度为， 故选：． 22．一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 米/小时． 【答案】 12 3 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 则该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时． 故答案为：12，3． 23．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【题型8.二元一次方程组应用:工程问题】 24．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 25．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 26．虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． （1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②． （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米． 【题型9.二元一次方程组应用:几何问题】 27．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形中给定的长度，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积和大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， 则图中阴影部分的面积之和为． 故选：B． 28．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故答案为： 29．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 【答案】方案一：的长度分别为．方案二：的长度分别为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 方案一：设，，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可； 方案二：设，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 方案二：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 【题型10.二元一次方程组应用:销售利润问题】 30．童童购买7块橡皮、5个作业本共花费19元；购买10块橡皮、8个作业本共花费28元；若购买3块橡皮、3个作业本则要花费（    ）元 A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设购买1块橡皮需x元，购买1个作业本需y元，则根据题意可得，进而求解即可． 【详解】解：设购买1块橡皮需x元，购买1个作业本需y元，则根据题意可得： ， 得：； ∴购买3块橡皮和3个作业本需要花费9元； 故选C． 31．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 【答案】100元、150元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元，根据第一次和第二次购进的费用列出二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元， 根据题意，得方程组： 解得： 故第一次购进A种茶每盒100元，B种茶每盒150元， 故答案为：元，元． 32．打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 【答案】(1)一件A商品16元，一件B商品4元 (2)折 (3)少花元 【分析】本题综合运用了二元一次方程组建模、解方程、折扣计算等知识点，关键在于准确列出等量关系，并理解“打折”是整体价格按比例减少的概念，适用于任意数量商品的统一折扣．本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及折扣问题的计算． （1）设没打折时，一件A商品元，一件B商品元，根据“买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元”列方程组求解即可； （2）设做活动时，商场商品打折，根据“该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元”列一元一次方程求解即可； （3）分别计算出不打折时总价和打折后总价，再求解即可． 【详解】（1）解：设没打折时，一件A商品元，一件B商品元， 由题意，得， 解得． 答：没打折时，一件A商品16元，一件B商品4元． （2）解：设做活动时，商场商品打折，由题意，得， 解得． 答：做活动时，商场商品打折． （3）解：不打折时总价为：（元）， 打折后总价为：（元）， 比不做活动时少花：（元）． 答：做活动时买100件A商品和100件B商品，比不做活动时少花80元钱． 【题型11.二元一次方程组应用:和差倍分.问题】 33．一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【答案】B 【分析】设这个活动小组男生有人，女生有人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 故选：B． 34．如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为，设演员的身高为，高跷的长度为，则的值是 ． 【答案】420 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出等量关系列出方程组是解题的关键． 根据演员身高是高跷长度的2倍得出，利用高跷与腿重合部分的长度为，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为可得，然后解二元一次方程组求得x，y的值，最后代入求解即可． 【详解】解：设演员的身高为，高跷的长度为， 根据题意可得：， 解得：， 所以． 故答案为：420． 35．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 【答案】(1)本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆 (2)租用1辆型客车，7辆型客车，更划算 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程， （1）设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，根据原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．结合两种客车的载客量，列出二元一次方程组，解方程组即可； (2) 设租用型客车辆，型客车辆，根据同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，列出二元一次方程，解方程， 再根据两种客车的租金计算比较即可． 【详解】（1）解：设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，由题意，得： ，解得：； 答：本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆； （2）解：设租用型客车辆，型客车辆，由题意，得： ， 解得：， ∵均为正整数， ∴或或； 共3种租车方案： 方案一：租用9辆型客车，辆型客车，费用为：（元）； 方案二：租用5辆型客车，4辆型客车，费用为：（元）； 方案三：租用1辆型客车，7辆型客车，费用为：（元）； ∵， ∴租用1辆型客车，7辆型客车，更划算． 【题型12.二元一次方程组应用:方案问题】 36．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 【详解】解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 37．某公园门票价格如表： 购票人数 80以上 门票价格 20元/人 16元/人 13元/人 某学校组织射影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由两次门票费用，列出方程组，可求解，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：∵1170不能整除16， ∴两个部门的人数， 又∵1560不能整除16， ∴每个部门的人数不可能同时在之间， ∵， ∴ 当， ，则有： 解得： 故答案为：． 38．某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 39．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的关键．设马每匹两，牛每头两，由马四匹、牛六头，共价四十八两得；由马二匹、牛五头，共价三十八两得，联立方程组即可得到答案． 【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为 ， 故选：B． 40．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则 ， ． 【答案】 【分析】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 设一只雀重x斤，一只燕重y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【详解】解：设一只雀重x斤，一只燕重y斤， 根据题意，得 整理，得 解得， ∴一只雀重斤，一只燕重斤， 故答案为：，． 41．华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长尺，井深尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．题中的等量关系有：将绳子折成四等份，井外余绳尺；将绳子折成五等份，井外余绳尺，据此列方程组并解方程组即可得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意得： ，解得． 答：绳长尺，井深尺． 【题型14.二元一次方程组应用:其他问题】 42．某生产线现有个工人，一个工人每天可生产6个螺杆或个螺母，1个螺杆和2个螺母为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母，则列出正确的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母，根据“生产线现有个工人”、“现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套而没有剩余”列出方程组即可． 【详解】解：设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母， 根据题意得：， 故选：C． 43．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过部分按二级单价收，五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元．若陈智家用水，则应缴费 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键．设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，根据五月份张华家用水，缴费元；李明家用水，缴费元，列出方程组，解方程组即可求出一级水费单价为元，二级水费单价为元．再计算陈智家用水应缴费数额即可． 【详解】解：设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元， 根据题意列方程组：， 解得：， 即一级水费单价为元，二级水费单价为元． ∴（元） 即陈智家用水，则应缴费元， 故答案为： 44．综合与实践：昭通苹果色泽鲜艳，肉质细脆、甜酸适度，汁液丰富，风味浓郁，多次获省优质水果称号及全国第二届农业博览会银奖．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：昭阳区某批发经销商计划运输一批苹果到大关出售，现有，两种型号的货车，已知用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨． 材料二：型车每辆需租金1000元/次，型车每辆需租金1200元/次． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务： (1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若该经销商现有34吨苹果，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨 (2)共有三种租车方案：①租用型车10辆，型车1辆；②租用型车6辆，型车4辆；③租用型车2辆，型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为10400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键． （1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据材料一建立方程组，解方程组即可得； （2）先求出，则可得必须是3的倍数，分别求出符合条件的的值，再根据材料二求出对应的租车费，由此即可得． 【详解】（1）解：设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． （2）解：∵该经销商现有34吨苹果，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物， ∴， ∴， ∵都是正整数， ∴必须是3的倍数， ∴有三种方案：①当时，，此时租车费为（元）； ②当时，，此时租车费为（元）； ③当时，，此时租车费为（元）； ∵， ∴租用型车2辆，型车7辆最省钱，最少租车费为10400元． 答：共有三种租车方案：①租用型车10辆，型车1辆；②租用型车6辆，型车4辆；③租用型车2辆，型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为10400元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二元一次方程组的应用题型突破讲义 一、核心解题思路（重中之重） 解二元一次方程组应用的核心是列二元一次方程组解实际问题，本质是将实际问题中的未知量转化为两个未知数，利用等量关系建立方程组，通过解方程组得到实际问题的答案，核心步骤可概括为：审、设、列、解、验、答。 二、规范解题六大步骤（必背） 审：梳理已知条件与未知量，找出两个独立的等量关系（列方程组关键）； 设：设两个未知数（直接设为主，复杂时间接设），带单位； 列：根据两个等量关系列二元一次方程，组合成方程组，量的单位统一； 解：用代入 / 加减消元法解方程组，求出未知数的值； 验：先检验是否满足方程组，再检验是否符合实际意义（如数量非负、整数）； 答：对应问题写完整答案，带单位。 三、全题型核心等量关系 基础常考类 (1)和差倍分：A±B=总量；A=B×倍数±相差量 (2)购物问题：单价 × 数量 = 总价；甲总价 + 乙总价 = 总花费 (3)配套问题：甲数量 × 配套比 = 乙数量（固定比例，如 1 配 2 则甲 ×2 = 乙） (4)数字问题：两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字；数字间满足题干和 / 差 / 倍关系 (5)年龄问题：核心年龄差始终不变；几年前年龄 = 现年龄 - 年数，几年后年龄 = 现年龄 + 年数；不同时间点，两人年龄满足题干和 / 倍 / 差关系 拓展高频类 (6)行程问题：核心（路程 = 速度 × 时间） 相遇：总路程 = 甲路程 + 乙路程；追及：快路程 = 慢路程 + 初始距离 顺逆：顺速 = 本身速度 + 水 / 风速；逆速 = 本身速度 - 水 / 风速 (7)工程问题：核心（工作量 = 效率 × 时间，无总量设为 1） 合作：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量；合作效率 = 甲效率 + 乙效率 (8)浓度问题：核心（溶质 = 溶液 × 浓度；溶液 = 溶质 + 溶剂） 混合：混合前溶质和 = 混合后溶质；混合前溶液和 = 混合后溶液 稀释.加浓：稀释时溶质不变.加浓时溶剂不变 (9)利润问题：核心（利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价） 打折：折后价 = 原价 × 折扣；总利润 = 甲利润 + 乙利润 (10)几何问题：紧扣周长.面积公式（如长方形：周长 = 2 (长 + 宽)、面积 = 长 × 宽），结合图形间和差.倍数关系 (11)分配问题：核心：分配前后，物品总数、总人数等核心量不变 基础 过关题 1.结合几何图形列二元一次方程组 2.结合实际问题列二元一次方程组 3.二元一次方程组应用:分配问题 4.二元一次方程组应用:数字问题 5.二元一次方程组应用:年龄问题 能力 提升题 6.二元一次方程组应用:图标信息 7.二元一次方程组应用:行程问题 8.二元一次方程组应用:工程问题 9.二元一次方程组应用:几何问题 10.二元一次方程组应用:销售问题 11.二元一次方程组应用:和差倍分问题 拓展 拔高题 12.二元一次方程组应用:方案问题 13.二元一次方程组应用:古代问题 14.二元一次方程组应用:其他问题 【题型1.结合几何图形列二元一次方程组】 1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中的面积为，的面积为，则可列出方程： （填写一个）． 4．根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． 【题型2.结合实际问题列二元一次方程组】 5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：60匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．水东蜜枣，宣城市特产，中国国家地理标志产品．嘉琪家去年种植蜜枣的利润为12000元，今年蜜枣的收入比去年增加了，支出比去年减少了，今年的利润比去年多11400元．嘉琪列出二元一次方程组，刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的，表示的未知量分别为（　　） A．今年种植蜜枣的收入是元，支出为元 B．今年种植蜜枣的收入是元，支出为元 C．去年种植蜜枣的收入是元，支出为元 D．去年种植蜜枣的收入是元，支出为元 7．A地急需从B地运100吨物资到A地，B地决定用大、小货车共20辆去完成运输任务．若大货车每辆运6吨物资，小货车每辆运2吨物资，且大、小货车均满载，则大货车、小货车各需多少辆？若设需大货车x辆，需小货车y辆，则根据题意可列方程组为 ． 8．某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【题型3.二元一次方程组应用:分配问题】 9．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 10．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要 间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间. 11．某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【题型4.二元一次方程组应用:数字问题】 12．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 13．对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的倍，则称这个四位数为“双倍数”．例如：，因为，是“双倍数”；，因为，所以不是“双倍数”．最小的双倍数是 ；对于“双倍数”，当十位上的数字是千位上的数字的倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有之和是 ． 14．算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【题型5.二元一次方程组应用:年龄问题】 15．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 16．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 17．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【题型6.二元一次方程组应用:图表信息问题】 18．幻方（）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上的数字和都相等的图表，在如下所示的三阶幻方中，的值为（    ） 3 4 x y a c b A． B．0 C．1 D．4 19．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位．已知第一、二束气球的价格如图所示（图示：第一束气球价格14元，第二束18元），则第三束气球的价格为 ． 20．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【题型7.二元一次方程组应用:行程问题】 21．某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 22．一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 米/小时． 23．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【题型8.二元一次方程组应用:工程问题】 24．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 25．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 26．虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【题型9.二元一次方程组应用:几何问题】 27．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．24 D．28 28．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ． 29．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 【题型10.二元一次方程组应用:销售利润问题】 30．童童购买7块橡皮、5个作业本共花费19元；购买10块橡皮、8个作业本共花费28元；若购买3块橡皮、3个作业本则要花费（    ）元 A．11 B．10 C．9 D．8 31．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 32．打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 【题型11.二元一次方程组应用:和差倍分.问题】 33．一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 34．如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为，设演员的身高为，高跷的长度为，则的值是 ． 35．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 【题型12.二元一次方程组应用:方案问题】 36．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 37．某公园门票价格如表： 购票人数 80以上 门票价格 20元/人 16元/人 13元/人 某学校组织射影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为 ， ． 38．某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 39．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 40．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器（即天平）称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀和6只燕的总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”若假设一只雀重x斤，一只燕重y斤，则 ， ． 41．华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【题型14.二元一次方程组应用:其他问题】 42．某生产线现有个工人，一个工人每天可生产6个螺杆或个螺母，1个螺杆和2个螺母为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母，则列出正确的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 43．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过部分按二级单价收，五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元．若陈智家用水，则应缴费 元． 44．综合与实践：昭通苹果色泽鲜艳，肉质细脆、甜酸适度，汁液丰富，风味浓郁，多次获省优质水果称号及全国第二届农业博览会银奖．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：昭阳区某批发经销商计划运输一批苹果到大关出售，现有，两种型号的货车，已知用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨． 材料二：型车每辆需租金1000元/次，型车每辆需租金1200元/次． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务： (1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若该经销商现有34吨苹果，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $