第04讲 二元一次方程组的应用 三元一次方程组及其解法（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第04讲 二元一次方程组的应用 三元一次方程组及其解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 二元一次方程组的应用 一、列二元一次方程组解决实际问题的步骤 1. 审题：明确问题中的已知量和未知量，找出关键的等量关系。 · 分析题目涉及的两个不同角度的数量关系，例如“总量”与“分量”、“和差”与“倍分”等。 2. 设元：设两个未知数（通常用 (x) 和 (y) 表示），用字母表示未知量。 · 设元时需明确未知数的实际意义，例如“设甲的速度为 (x) km/h，乙的速度为 (y) km/h”。 3. 列方程组：根据找到的两个等量关系，列出两个二元一次方程，组成方程组。 · 例如：若“购买3支钢笔和2本笔记本共花费30元，购买2支钢笔和3本笔记本共花费25元”，可列方程组： 4. 解方程组：用代入消元法或加减消元法求解方程组，得到未知数的值。 5. 检验与作答： · 检验解是否满足方程组的两个方程； · 检验解是否符合实际问题的意义（如人数、长度不能为负数）； · 写出完整的答句。 二、常见应用类型及等量关系 1. 行程问题 · 相遇问题：两者路程之和 = 总路程，即； · 追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离，即 (v_快t - v_慢t = S_0)； · 航行问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度。 2. 工程问题 · 工作总量 = 工作效率×工作时间； · 合作问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（通常设总工作量为1）。 3. 利润问题 · 利润 = 售价 - 成本； · 利润率； · 总销售额 = 单价×数量。 4. 数字问题 · 两位数：设十位数字为 (a)，个位数字为 (b)，则两位数为 (10a + b)； · 数字位置互换后，新数与原数的关系可列方程。 5. 和差倍分问题 · 已知两数之和与差：，； · 倍数关系：（(k) 为倍数，(b) 为常数）。 知识点2 ： 三元一次方程组及其解法 一、三元一次方程的定义 含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 · 一般形式：（(a,b,c,d) 为常数，且 (a,b,c) 不全为0）。 二、三元一次方程组的定义 由三个含有相同未知数的三元一次方程组成的方程组，叫做三元一次方程组。 · 一般形式： 三、三元一次方程组的解法 基本思路：消元——化三元为二元，再化二元为一元，具体步骤如下： 1. 选择消元对象：观察方程组中各未知数的系数，选择系数较简单或某未知数系数成倍数关系的方程，确定先消去的未知数（如 (z)）。 2. 消元得到二元一次方程组： · 从三个方程中任选两个方程，消去选定的未知数，得到一个二元一次方程（方程④）； · 再从剩下的一个方程和已选的两个方程中任选一个，消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程（方程⑤）； · 联立方程④和⑤，组成关于另外两个未知数（如 (x,y)）的二元一次方程组。 3. 解二元一次方程组：用代入法或加减法求出 (x,y) 的值。 4. 回代求第三个未知数：将 (x,y) 的值代入原方程组中含 (z) 的任意一个方程，求出 (z) 的值。 5. 检验并作答：将 (x,y,z) 的值代入原方程组的三个方程中检验，确认是否均满足，最后写出解。 四、解法示例 例：解方程组 解： 1. 消去 (z)： · ① - ②：（方程④）； · ① + ③：（方程⑤）； 2. 联立④和⑤： 由④得 ，代入⑤：，解得 ，则 ； 3. 将 代入①：，解得 ； 4. 方程组的解为。 五、三元一次方程组的应用 当实际问题中存在三个未知量，且需建立三个等量关系时，可列三元一次方程组求解，步骤与二元一次方程组的应用类似（审题→设元→列方程组→求解→检验作答）。 · 常见场景：溶液配比问题、行程问题（三人或三种速度）、几何图形的边长与面积关系等。 【题型1 列二元一次方程组】 例1．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为 ； 故选A． 例2．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元可得，根据购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程组为． 故选：C． 变式1．华联商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%，乙商品加价40%作为标价，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售．某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场共盈利88元，设甲商品的进价为x，乙商品的进价为y，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲商品的进价为x元/件，乙商品的进价为y元/件，根据盈利=售价-成本即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元， 根据题意，甲商品的售价为元， 乙商品的售价为元， 因为某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元， 所以， 又因为商场共盈利88元， 所以甲、乙两种商品的总进价为元，即， 因此，可列方程组为：， 故答案为：． 变式2．手工课上，同学们用丝带和贴纸装饰书签，两种装饰材料一共准备了64件（丝带按“根”算，贴纸按“张”算），每装饰一张书签需要3根丝带和1张贴纸（固定搭配），最后所有丝带和贴纸刚好全部用完，没有剩余．设所用丝带总数为x根，贴纸总数为y张，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系．根据丝带和贴纸的总件数以及每张书签的固定用料关系列方程组． 【详解】解：设所用丝带总数为x根，贴纸总数为y张， 由两种材料总件数为64件，得； 由每张书签需3根丝带和1张贴纸，且材料刚好用完，得． 故答案为：． 变式3．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 【题型2 二元一次方程组的应用——分配问题】 例1．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意可知：生产玩偶A的布的米数+生产玩偶B的布的米数=总的布的米数，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B， 依题意，得：． 故选：B． 例2．有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 根据题意，得方程组：， 得， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 故选：A． 变式1．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则 ． 【答案】310 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意，列出关于图书总数x和学生数y的二元一次方程组，并通过求解方程组得到x的值． 【详解】由题意，得方程组： 解得， 故答案为：310． 变式2．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用（配套问题），解题的关键是找出两个核心等量关系：一是加工机轴与轴承的总人数等于车间总人数，二是每天加工的轴承数量是机轴数量的2倍（根据“每根机轴配2个轴承”的配套要求）． 先根据总人数为98人，得到加工机轴的人数与加工轴承的人数的和为98，列出第一个方程；再根据“每根机轴配2个轴承”的配套规则，可知轴承总数（）是机轴总数（）的2倍，列出第二个方程，进而组成方程组． 【详解】解：根据题意，找两个等量关系： 加工机轴人数加工轴承人数总人数，即； 轴承总数机轴总数（每根机轴配2个轴承），其中机轴总数为，轴承总数为，故； 综上，组成的方程组为． 故答案为：． 变式3．某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，理解题意，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 【题型3 二元一次方程组的应用——几何问题】 例1．如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形找到两个等量关系是解决问题的关键．根据图形找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵小长方形的长比宽大4， ∴； ∵大长方形的周长为34， 即， ∴， 即； ∴方程组为． 故选：D． 例2．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 变式1．如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，设每块小长方形的长为，宽为，可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查根据图形中的数量关系列二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 从图中可以看出，大长方形的长为两个小长方形的长和一个小长方形的宽组成，大长方形的宽为两个小长方形的宽和一个小长方形的长组成，列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，由题意得： ， 故答案为： ． 变式2．如图，直线与相交于点O，且，比大，设，则可列方程组为 ．    【答案】 【分析】由比大可得方程，由对顶角相等可得，即可得到方程，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在几何图形中的应用，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键． 变式3．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 【题型4 二元一次方程组的应用——行程问题】 例1．甲、乙两港口相距100 km，若一艘轮船往返两港口，顺流航行用4 h，逆流航行用5 h，则这艘轮船在静水中的速度是（    ） A．2.5  km/h B．22.5  km/h C．4.5  km/h D．20.5  km/h 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设轮船在静水中的速度为 km/h，水流速度为 km/h，根据顺流和逆流的速度与时间关系列方程组求解. 【详解】解：设轮船在静水中的速度为 km/h，水流速度为 km/h， 由题意得： 解得： 因此，轮船在静水中的速度为 ． 故选：B． 例2．甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 变式1．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 变式2．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 变式3．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 【答案】(1)坡道的长度为1800米 (2)经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——上下坡问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列方程，是解题的关键． （1）设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟．根据从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，列二元一次方程组解答； （2）利用第（1）问求出的速度，设经过分钟后两车相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程解答. 【详解】（1）解：设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟． 根据题意，得解得 答：坡道的长度为1800米． （2）解：由（1）可知甲、乙两车上坡的速度为600米／分钟，下坡的速度为（米／分钟）． 设经过t分钟后两车相距300米， ①相遇之前：，解得； ②相遇之后：，解得． 答：经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米． 【题型5 二元一次方程组的应用——工程问题】 例1．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 例2．一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作天后，乙再单独做天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作天就可完成全部工作”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入即可求出结论． 【详解】解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， 依题意得：， 解得：， ∴， ∴甲独做这件工作天可以完成． 故选：B． 变式1．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 变式2．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米， 依题意可得：． 故答案为：． 变式3．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 【题型6 二元一次方程组的应用——温度问题】 例1．某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． 李老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满；小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯、温度为的水（不计热损失）．下列三个结论： ①李老师的水杯容量为； ②李老师接满水后，水杯中水温为（不计热损失）； ③小明同学的接水时间为． 其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用．①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答．②结合“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”即可列式，结合题意列式，解方程，即可作答．③设小明接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：①依题意： ， ∴李老师的水杯容量为． ②接入水杯的温水吸收的热量为：； 由题意：， 解得，即水温约； ③设小明接温水的时间为，接开水的时间为， 则，    解得， ， ∴小明同学的接水时间为． 综上，①③正确， 故选：B． 例2．声音在某介质中传播的速度随着温度的变化而变化，若用表示声音在该介质中的传播速度，表示温度，则满足公式：（为常数）．若时，；时，，则的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把，；，代入公式，得到关于的二元一次方程组，解方程组即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵时，；时，， ∴， 解得， 故选：． 变式1．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：，为已知数，则表中 ． 气温 速度米秒 【答案】 【分析】根据题意将；代入公式，进而得出 【详解】解：将；代入： 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确读懂表格中的数据是解题的关键． 变式2．一根金属棒在0℃时的长度是b（m），温度每升高1℃，它就伸长a（m），当温度为x（℃）时，金属棒的长度y可用公式y=ax+b计算．已测得当x=100℃时，y=2.002m；当x=500℃时，y=2.01m．若这根金属棒加热后长度伸长到2.015m，则此时金属棒的温度是 ℃． 【答案】750 【分析】将两次测得结果分别代入y=ax+b中，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b值，再将a、b和y=2.015代入y=ax+b中，即可求出金属棒的温度． 【详解】根据题意，将两次测得结果分别代入y=ax+b中，得： ，解得：， 则y=0.00002x+2， 将y=2.015代入得：0.00002x+2=2.015， 解得：x=750， ∴此时金属棒的温度750℃， 故答案为：750． 【点睛】此题考查方程的解和解方程，涉及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． 变式3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水_____，水温为_____； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)200；51 (2)学生接温水时间为；接开水的时间为 【分析】本题主要考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程或方程组． （1）分别求出温水和开水的体积，再根据温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度列方程即可求解； （2）设该学生分别接温水和开水的时间分别为，根据开水和温水的体积和为温度，混合温度为列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：温水的体积为，开水的体积， 则接完后杯中共有水， 设接完后杯中水温为，则， 解得， 即接完后杯中水温为； （2）设该学生分别接温水和开水的时间分别为， 由题意得， 解得， 答：学生接温水的时间为，接开水的时间为． 【题型7 二元一次方程组的应用——百分比问题】 例1．小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据去年节余为收入减成本，今年节余为今年收入减今年成本，今年收入比去年高，成本比去年低，列出方程组． 【详解】解：去年收入为元，成本为元，节余元， ， 今年收入比去年高， 今年收入为， 今年成本比去年低， 今年成本为， 今年节余元， ， 可列方程组． 故选：C． 例2．某校去年原计划招收初一新生1000人，实际招到初一新生1240人，其中男生超，女生超．设该校去年计划招收男生x人，招收女生y人，则依据题意列出方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据计划人数，实际招生数建立等式解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组是解题的关键． 【详解】解：设该校去年计划招收男生x人，招收女生y人， 则依据题意列出方程组是， 故选：C． 变式1．用含盐15％与含盐8％的盐水配含盐10％的盐水300千克，设需含盐15％的盐水千克，含盐8％盐水千克，则所列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据等量关系：盐水总质量为300千克，配制前后的含盐量相同，即可列出方程组． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 变式2．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为 ，y表示的未知量为 ． 【答案】 去年的总收入为x万元 去年的总支出为y万元 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故答案为：去年的总收入为x万元，去年的总支出为y万元 变式3．沤江镇小源同学的爸爸在种植黄桃的期间，发现黄桃树出现了炭疽病，他打算配一些杜邦克露溶液来喷洒治病，要用含药和的两种药液，配制含药的药水．你来帮他算算含药和的两种药水各需取多少？ 【答案】需的药液，的药液 【分析】设需的药液，的药液，根据“配制含药的药水”列出方程组求解即可． 【详解】解：设需的药液，的药液， 根据题意，可得：， 解得：， 答：需的药液，的药液． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解． 【题型8 三元一次方程组的定义与解法】 例1．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 例2．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 变式1．已知是方程组的解，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查解三元一次方程组，设，则，，，代入方程中，求出的值，进而求出的值，求和即可． 【详解】解：设，则，，，代入方程得，即， 合并得， 解得． 所以，，， 则． 故答案为：15． 变式2．请写出一个以为解的三元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义． 将、、的值代入能使等式成立即可． 【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如， 把，，代入：， ∴得到三元一次方程． 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键． （1）用代入消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 把④代入①得：，即， 把④、⑤分别代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 把代入⑤得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【题型9 三元一次方程组的应用】 例1．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 【详解】解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式． 例2．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 变式1．有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 变式2．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为 分． 【答案】36 【分析】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【详解】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 变式3．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 【题型10 《九章算术》中的“方程”】 例1．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据题意可知上一排依次表示第一个方程x对应的系数，y对应的系数和等号右边的常数，下一排依次表示第二个方程x对应的系数，y对应的系数和等号右边的常数，据此即可得解．审清题意是解题的关键． 【详解】解：依题意得：图2所示的算筹图我们可以表述为：， 故选：A． 例2．九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，方程组是由算筹布置而成的．九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为，根据题意列出方程组，把代入，求得的值便可．此题是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组． 【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为，根据题意得， ， 把代入得， ， 由③得，， 把代入④得，， ， 故选：C． 变式1．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列二元一次方程组，读懂题意，得到所给未知数的系数及相加结果是解题的关键． 由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为． 故答案为：． 变式2．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，内容十分丰富．其中表示数的算筹有纵、横两种方式，如要表示一个多位数，即把各个位的数字从左到右横向排列，各位数的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示，在《九章算术》中，用算筹图来表示二元一次方程的方法，如“”表示方程，则方程组的解为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义，根据新定义可知方程组即为，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：根据题意可得方程组即为方程组， 解得， 故答案为：． 变式3．阅读下列材料，并完成相应的任务． 名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，在我国古代的数学名著《九章算术》和《孙子算经》（如图1）中都有记载．“算筹”是古代用来进行计算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式（如图2）．当表示一个多位数时，要像阿拉伯计数一样，把各数位的数码从左到右排列，但各数位数码的摆放需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，例如：2307用“算筹”表示就是，而《九章算术》中“方程”一章介绍了用“算筹图”解决二元一次方程组的方法，例如，在从左到右的符号中，前两个符号分别代表未知数的系数，后两个符号表示对应的常数项，则根据此图可以列出方程 任务： （1）用“算筹”表示的数是____________． （2）请你根据如图所示的“算筹图”，列出方程组并求解． 【答案】（1）6238；（2）， 【分析】（1）根据题干中不同的横、纵式所表示的数字即可得出答案； （2）对照横、纵式表示的数字，前两个分别表示x、y的系数，剩下的表示右边的常数，据此列出关于x、y的方程组，解之即可． 【详解】 解：（1）用“算筹”表示的数是6238 （2）根据“算筹”可得 由①得③ 把③代入②得解得 把代入③得 ∴原方程组的解得 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是根据题意理解不同的横、纵式所表示的数字，并列出关于x、y的方程组及加减消元法解二元一次方程组的能力． 1．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据“人出七，盈二”表示总钱数比货物总价多2钱，可得；根据“人出六，不足三”表示总钱数比货物总价少3钱，可得． 【详解】解：∵每人出7钱，多2钱， ∴； ∵每人出6钱，差3钱， ∴； ∴可列方程组为． 故选：B． 2．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 3．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 4．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题的关键；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程组求解即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ， 整理得， 解得：， 的值分别是，1， 故选：． 5．在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据总卡纸数12张和每个包装盒所需侧面与底面的比例关系列出方程组求解即可． 【详解】设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面， 根据题意，得 解得 ， ∴ 可做包装盒个数为， 故最多可做4个包装盒． 故选：B． 6．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个； ∵有个和尚， ∴； ∵有个馒头， ∴； 故答案为：； 7．请写出三元一次方程的一组解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键．写出合适的答案即可． 【详解】解：当时，那么符合题意； 故答案为：． 8．如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 9．神话故事“哪吒闹海”众所周知，另有描写哪吒斗夜叉的场面：哪吒和夜叉真个是各显神通，分身有术，只杀得走石飞沙昏天暗地，只见“八臂一头是夜叉，三头六臂是哪吒，三十六头难分辨，手臂缠绕百零八，试向看官问一句，几个夜叉几哪吒？”问：哪吒有 个 【答案】10 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设夜叉有 个，哪吒有 个，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设夜叉有 个，哪吒有 个， 根据题意得：， 解得：， ∴哪吒有10个， 故答案为：10． 10．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先根据“大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8”，得出关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n，再根据，，求出，最后把m、n代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵，， ∴ ， 故答案为：16． 11．某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 【答案】应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系． 设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，根据题中的等量关系列出方程组求解． 【详解】解：设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套， 依题意有， 解得． 答：应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 12．一家超市中，芒果的售价为4元/千克，荔枝的售价为10元/千克，小明在这家超市买了芒果和荔枝共10千克，共花费76元，求小明这次买的芒果、荔枝各多少千克． 【答案】小明购买的芒果4千克，荔枝6千克 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出两个不同的相等关系，正确地列出方程组即可．设小明购买的芒果为千克，荔枝为千克，根据等量关系式芒果的重量荔枝的重量千克，芒果的花费荔枝的花费元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小明购买的芒果为千克，荔枝为千克， 由题意得，， 解得：， 答：小明购买的芒果4千克，荔枝6千克． 13．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方120个，数独棋40个 (2)852元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）及题意可直接列式进行求解． 【详解】（1）解：设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意得： 根据题意得， 解得； 答：该商店购进魔方120个，数独棋40个． （2）解：由题意得： （元） 答：该商店共获利852元． 14．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握利用整体思想求解方程是解题的关键；根据题意可把整体代入求解z，然后再求解方程组即可． 【详解】解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 15．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1) 种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． (2) 共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， ∴种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 41 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二元一次方程组的应用 三元一次方程组及其解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 二元一次方程组的应用 一、列二元一次方程组解决实际问题的步骤 1. 审题：明确问题中的已知量和未知量，找出关键的等量关系。 · 分析题目涉及的两个不同角度的数量关系，例如“总量”与“分量”、“和差”与“倍分”等。 2. 设元：设两个未知数（通常用 (x) 和 (y) 表示），用字母表示未知量。 · 设元时需明确未知数的实际意义，例如“设甲的速度为 (x) km/h，乙的速度为 (y) km/h”。 3. 列方程组：根据找到的两个等量关系，列出两个二元一次方程，组成方程组。 · 例如：若“购买3支钢笔和2本笔记本共花费30元，购买2支钢笔和3本笔记本共花费25元”，可列方程组： 4. 解方程组：用代入消元法或加减消元法求解方程组，得到未知数的值。 5. 检验与作答： · 检验解是否满足方程组的两个方程； · 检验解是否符合实际问题的意义（如人数、长度不能为负数）； · 写出完整的答句。 二、常见应用类型及等量关系 1. 行程问题 · 相遇问题：两者路程之和 = 总路程，即； · 追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离，即 (v_快t - v_慢t = S_0)； · 航行问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度。 2. 工程问题 · 工作总量 = 工作效率×工作时间； · 合作问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（通常设总工作量为1）。 3. 利润问题 · 利润 = 售价 - 成本； · 利润率； · 总销售额 = 单价×数量。 4. 数字问题 · 两位数：设十位数字为 (a)，个位数字为 (b)，则两位数为 (10a + b)； · 数字位置互换后，新数与原数的关系可列方程。 5. 和差倍分问题 · 已知两数之和与差：，； · 倍数关系：（(k) 为倍数，(b) 为常数）。 知识点2 ： 三元一次方程组及其解法 一、三元一次方程的定义 含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 · 一般形式：（(a,b,c,d) 为常数，且 (a,b,c) 不全为0）。 二、三元一次方程组的定义 由三个含有相同未知数的三元一次方程组成的方程组，叫做三元一次方程组。 · 一般形式： 三、三元一次方程组的解法 基本思路：消元——化三元为二元，再化二元为一元，具体步骤如下： 1. 选择消元对象：观察方程组中各未知数的系数，选择系数较简单或某未知数系数成倍数关系的方程，确定先消去的未知数（如 (z)）。 2. 消元得到二元一次方程组： · 从三个方程中任选两个方程，消去选定的未知数，得到一个二元一次方程（方程④）； · 再从剩下的一个方程和已选的两个方程中任选一个，消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程（方程⑤）； · 联立方程④和⑤，组成关于另外两个未知数（如 (x,y)）的二元一次方程组。 3. 解二元一次方程组：用代入法或加减法求出 (x,y) 的值。 4. 回代求第三个未知数：将 (x,y) 的值代入原方程组中含 (z) 的任意一个方程，求出 (z) 的值。 5. 检验并作答：将 (x,y,z) 的值代入原方程组的三个方程中检验，确认是否均满足，最后写出解。 四、解法示例 例：解方程组 解： 1. 消去 (z)： · ① - ②：（方程④）； · ① + ③：（方程⑤）； 2. 联立④和⑤： 由④得 ，代入⑤：，解得 ，则 ； 3. 将 代入①：，解得 ； 4. 方程组的解为。 五、三元一次方程组的应用 当实际问题中存在三个未知量，且需建立三个等量关系时，可列三元一次方程组求解，步骤与二元一次方程组的应用类似（审题→设元→列方程组→求解→检验作答）。 · 常见场景：溶液配比问题、行程问题（三人或三种速度）、几何图形的边长与面积关系等。 【题型1 列二元一次方程组】 例1．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 例2．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 变式1．华联商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%，乙商品加价40%作为标价，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售．某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场共盈利88元，设甲商品的进价为x，乙商品的进价为y，则可列方程组 ． 变式2．手工课上，同学们用丝带和贴纸装饰书签，两种装饰材料一共准备了64件（丝带按“根”算，贴纸按“张”算），每装饰一张书签需要3根丝带和1张贴纸（固定搭配），最后所有丝带和贴纸刚好全部用完，没有剩余．设所用丝带总数为x根，贴纸总数为y张，则可列方程组为 ． 变式3．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【题型2 二元一次方程组的应用——分配问题】 例1．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 变式1．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则 ． 变式2．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组 ． 变式3．某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 【题型3 二元一次方程组的应用——几何问题】 例1．如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，设每块小长方形的长为，宽为，可列方程组： ． 变式2．如图，直线与相交于点O，且，比大，设，则可列方程组为 ．    变式3．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【题型4 二元一次方程组的应用——行程问题】 例1．甲、乙两港口相距100 km，若一艘轮船往返两港口，顺流航行用4 h，逆流航行用5 h，则这艘轮船在静水中的速度是（    ） A．2.5  km/h B．22.5  km/h C．4.5  km/h D．20.5  km/h 例2．甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 变式1．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 变式2．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 变式3．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 【题型5 二元一次方程组的应用——工程问题】 例1．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 例2．一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 变式1．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 变式2．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ． 变式3．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【题型6 二元一次方程组的应用——温度问题】 例1．某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． 李老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满；小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯、温度为的水（不计热损失）．下列三个结论： ①李老师的水杯容量为； ②李老师接满水后，水杯中水温为（不计热损失）； ③小明同学的接水时间为． 其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 例2．声音在某介质中传播的速度随着温度的变化而变化，若用表示声音在该介质中的传播速度，表示温度，则满足公式：（为常数）．若时，；时，，则的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：，为已知数，则表中 ． 气温 速度米秒 变式2．一根金属棒在0℃时的长度是b（m），温度每升高1℃，它就伸长a（m），当温度为x（℃）时，金属棒的长度y可用公式y=ax+b计算．已测得当x=100℃时，y=2.002m；当x=500℃时，y=2.01m．若这根金属棒加热后长度伸长到2.015m，则此时金属棒的温度是 ℃． 变式3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水_____，水温为_____； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【题型7 二元一次方程组的应用——百分比问题】 例1．小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 例2．某校去年原计划招收初一新生1000人，实际招到初一新生1240人，其中男生超，女生超．设该校去年计划招收男生x人，招收女生y人，则依据题意列出方程组是（   ） A． B． C． D． 变式1．用含盐15％与含盐8％的盐水配含盐10％的盐水300千克，设需含盐15％的盐水千克，含盐8％盐水千克，则所列方程组为 ． 变式2．某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为 ，y表示的未知量为 ． 变式3．沤江镇小源同学的爸爸在种植黄桃的期间，发现黄桃树出现了炭疽病，他打算配一些杜邦克露溶液来喷洒治病，要用含药和的两种药液，配制含药的药水．你来帮他算算含药和的两种药水各需取多少？ 【题型8 三元一次方程组的定义与解法】 例1．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 例2．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 变式1．已知是方程组的解，则 ． 变式2．请写出一个以为解的三元一次方程： ． 变式3．解下列方程组： (1)； (2)． 【题型9 三元一次方程组的应用】 例1．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 例2．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 变式1．有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 变式2．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为 分． 变式3．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【题型10 《九章算术》中的“方程”】 例1．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（    ） A． B． C． D． 例2．九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，方程组是由算筹布置而成的．九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（　　）    A． B． C． D． 变式1．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ． 变式2．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，内容十分丰富．其中表示数的算筹有纵、横两种方式，如要表示一个多位数，即把各个位的数字从左到右横向排列，各位数的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示，在《九章算术》中，用算筹图来表示二元一次方程的方法，如“”表示方程，则方程组的解为 ．    变式3．阅读下列材料，并完成相应的任务． 名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，在我国古代的数学名著《九章算术》和《孙子算经》（如图1）中都有记载．“算筹”是古代用来进行计算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式（如图2）．当表示一个多位数时，要像阿拉伯计数一样，把各数位的数码从左到右排列，但各数位数码的摆放需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，例如：2307用“算筹”表示就是，而《九章算术》中“方程”一章介绍了用“算筹图”解决二元一次方程组的方法，例如，在从左到右的符号中，前两个符号分别代表未知数的系数，后两个符号表示对应的常数项，则根据此图可以列出方程 任务： （1）用“算筹”表示的数是____________． （2）请你根据如图所示的“算筹图”，列出方程组并求解． 1．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 2．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 4．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 5．在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ． 7．请写出三元一次方程的一组解： ． 8．如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则 ． 9．神话故事“哪吒闹海”众所周知，另有描写哪吒斗夜叉的场面：哪吒和夜叉真个是各显神通，分身有术，只杀得走石飞沙昏天暗地，只见“八臂一头是夜叉，三头六臂是哪吒，三十六头难分辨，手臂缠绕百零八，试向看官问一句，几个夜叉几哪吒？”问：哪吒有 个 10．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ． 11．某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 12．一家超市中，芒果的售价为4元/千克，荔枝的售价为10元/千克，小明在这家超市买了芒果和荔枝共10千克，共花费76元，求小明这次买的芒果、荔枝各多少千克． 13．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 14．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 15．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $