1.2 等腰三角形（七大题型）专项训练2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2等腰三角形 题型一等边对等角 1.如图所示，MW为⊙0的弦，∠N=50°，则∠M0N的度数为() A.50° B.60° C.70° D.80° 2.在ABC中，∠BAC=110°，∠C=30°，点E在边BC上，且不与点B,点C重合， 连接AE,若△AEC是等腰三角形，则∠BAE的度数是 3.如图，ABC是等腰三角形，AB=AC,点D是BC上一点，过点D作 DF⊥BC交AC于点E,交BA的延长线于点F.求证：AF=AE, 题型二三线合一 4.如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,若BC=8cm,则BD的长为() A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 5.如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，∠B=70°，则∠CAD的大小 为 1 6.如图，在ABC中，AB=AC=12cm,∠BAC=120°，AD是ABC的中线，AE 是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F. (I)求证：△ADF是等腰三角形； (2)求DF的长. 题型三等边三角形的性质 7.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，E、F分别是 AC、AD边上的动点.当EF+CF取得最小值时，则LECF的度数为() A.15 B.25 C.30° D.45° 8.如图，在等边三角形ABC中，AD1BC于点D,DE1AC于点E.若CE= 则AB的长是 D 9.在等边三角形ABC中，AB=4,D是BC所在直线上的一个动点，DE⊥AB于 点E,DF⊥AC于点F. D 图① 图② 图③ (1)如图①，当D只在线段BC上移动时(D不与B,C重合)，请说明BE+CF的值 是不是一个固定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请举出例子； (2)如图②、图③，当D在BC的延长线和反向延长线上时，请分别说明BE和CF 有什么数量关系. 题型四根据等角对等边证明等腰三角形 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，LA=37°，若某个直角三角形与ABC能拼 成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有() B A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 11.把一张长方形纸片如图折叠，则△ACE的形状是 B 12.如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE,AB=CB,AD与 CE相交于点F. (1)证明：△ABD≌△CBE. (2)证明：△AFC是等腰三角形. 3 题型五根据等角对等边证明边相等 13.如图，在ABC中，BP,CP分别平分∠ABC与∠ACB,且PD∥AB,PE∥AC ,△PDE的周长为10，则BC的长为() A.4 B.6 C.8 D.10 14.如图，∠ABC的平分线BF与ABC的外角LACG的平分线相交于点F,过点F 作DF∥BC交AB于点D,交AC于点E,若BD=Tcm,CE=5cm,则DE的长为 cm G 15.如图，点0是等边ABC内一点，D是ABC外的一点，LA0B=110°， LB0C=a,△B0C≌aADC,L0CD=60°，连接0D. (1)求证：△OCD是等边三角形： (2)当a=150°时，试判断△A0D的形状，并说明理由； (3)当a=时，△AOD是等腰三角形. 题型六根据等角对等边求边长 16.如图，在ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，AD=4,则BC的长为() B 0 A A.1 B.2 C.3 D.4 17.如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交 AB于M,交AC于N,若BM=4,CN=3,则线段MN的长为 18.在ABC中，D是BC边上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=75°. y 人34△C (1)求∠DAC的度数； (2)若BC=a,DC=b,试用a、b表示△ADC的周长. 题型七等腰三角形的性质和判定 19.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD,DE平分∠ADB交 AB于点E.若AC=6,BC=8,则AE的长是() E B D A.3 B.4 C.5 D.6 20.如图，把一个等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系xOy中，点A和点B的 坐标分别是(-8,4)和(0,4)，点C在x轴负半轴上.∠ABC的平分线交x轴于点D, 则点D的坐标是· 21.已知：ABC与ADE都是等腰直角三角形，LBAC=LEAD=90°，且点D在 直线BC上，连接BE, D B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，点D在射线CB上，求证：EB⊥BC; (2)如图2，点D在BC上，DE交AB于点F,且DF=DA,求证：AB+BE=BC; (3)如图3，点D在射线BC上，AE交BC于点G,且BE=AC,若S△DEG=4,求 BG的长. 1.2 等腰三角形 题型一 等边对等角 1．如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 2．在中，，，点E在边上，且不与点B，点C重合，连接，若是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确分类讨论． 根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当时；当时；当时，情况不成立，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴如图所示，当时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时， ∴ ∵， ∴； 当时， ∴， ∴，与矛盾，故不成立． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 3．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到，即可得证． 【详解】证明：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型二 三线合一 4．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 5．如图，在中，，D是的中点，，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，，，是 的中线，是的平分线，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，进而可知，根据等角对等边证明即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2），是 的中线， ，， ， ∴． 题型三 等边三角形的性质 7．如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为是边上的中线， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值 ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，在等边三角形中，于点，于点．若，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是注意掌握数形结合思想． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得，又由，由三线合一的知识，得出，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， 故答案为：2． 9．在等边三角形中，，D是所在直线上的一个动点，于点E，于点F． (1)如图①，当D只在线段上移动时（D不与B，C重合），请说明的值是不是一个固定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请举出例子； (2)如图②、图③，当D在的延长线和反向延长线上时，请分别说明和有什么数量关系． 【答案】(1)的值是一个固定值2； (2)D在的延长线和反向延长线上时，和的数量关系分别是，． 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由等边三角形的性质，直角三角形的性质推出，，于是得到； （2）由等边三角形的性质，直角三角形的性质，当D在延长线上时，推出，，得到，当D在的反向延长线上时，推出，，得到． 【详解】（1）解：的值是一个固定值， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是一个固定值2； （2）解：①当D在的延长线上， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴和数量关系是； ②当D在反向延长线上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴和的数量关系是． 题型四 根据等角对等边证明等腰三角形 10．如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，考虑以为腰的等腰三角形即可． 【详解】解：把分别沿边翻折，有两种等腰三角形，还有两种情况如下图所示； 左图中，则， ∴； 右图中，则， ∴． 综上，共有4种拼法； 故选：B． 11．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 12．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型五 根据等角对等边证明边相等 13．如图，在中，分别平分与，且，，的周长为10，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故选：D． 14．如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 15．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)或或． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得到，再根据等边三角形的判定定理证明即可；   （）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可；   （）分，，三种情况，再根据等腰三角形的判定定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 题型六 根据等角对等边求边长 16．如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点．先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 17．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 18．在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用外角性质用表示出，由三角形内角和定理得出的度数，由此得出结论． （2）先求出，利用等角对等边求出，即可求出的周长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 题型七 等腰三角形的性质和判定 19．如图，在中，，点在边上，，平分交于点．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分，且， ∴点为中点， ∴， 故选C． 20．如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意依次求出和的长是解题的关键． 根据题意，得出轴，据此可推出，再分别求出和的长，进一步得出的长即可解决问题． 【详解】解：∵点和点的坐标分别是和， ∴轴，，． ∵△是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 21．已知：与都是等腰直角三角形，，且点在直线上，连接． (1)如图1，点在射线上，求证：； (2)如图2，点在上，交于点，且，求证：； (3)如图3，点在射线上，交于点，且，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质(边相等、角为或)，三角形全等的判定()及性质(对应边、对应角相等)，三角形内角和定理与外角性质的应用，同时结合了线段等量代换、面积公式的设元求解，是几何中“全等模型+等腰直角：三角形性质”的综合运用． （）利用等腰直角三角形的边相等()，通过角的和差推得，证，进而得到，结合，算出，证明垂直； （）先借助等腰直角三角形的边相等和角的差量关系，用证，得出，将待证式转化为；再通过三角形外角性质与等腰直角三角形的角，推得，结合等条件证，得到，又因故；最后把代入，即可证得； （）先通过角的差量关系和证，推出，结合等腰直角三角形的角度算出，再由得，进而推出，即；设，则，代入的面积公式，求出，得到；最后利用等腰直角三角形的性质，结合三角形面积公式算出相关边长，最终确定的长度． 【详解】（1）证明：如图， 在等腰直角中， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图， ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，∴， 令，则， ∵， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 令，则，， ∵， ∴， ∴（舍去）， ∴，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $