1.2 等腰三角形（九大题型）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2 等腰三角形 题型一 格点图中画等腰三角形 1．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 2．如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 3．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求；理由如下： ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）如图3中，即为所求（答案不唯一）． 题型二 找出图中的等腰三角形 4．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 5．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 6．如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 题型三 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 7．如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据题意三种情况：，，，作图解答即可． 【详解】解：由题意可分三种情况：，，， 作图可得： 由图可得点一共有个， 故选：A． 8．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 9．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 题型四 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 10．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 11．在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质和判定，画出图形即可解决问题； 【详解】解：如图， 观察图象可知，满足条件的点C坐标为或或． 故答案为：或或． 12．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求，两点坐标； (2)求的坐标； (3)在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理与折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型五 反证法证明中的假设 13．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 14．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设 ． 【答案】 【分析】本题考查反证法，熟记反证法的解题步骤是解决问题的关键． 根据反证法的解题步骤，首先要否定结论，结合题目所给结论直接否定即可得到答案． 【详解】解：用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设， 故答案为：． 15．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：，也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 【答案】(1)是一个有理数 (2)见解析 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握反证法是解此题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）仿照（1）中所给例子证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得：先假设是一个有理数； （2）证明：假设是一个有理数， 则存在互素的整数、，使得， ∴ 两边平方得： ∴， 即， ∴， ∴， ∵、是整数， ∴是有理数，但已知是无理数，矛盾， 故假设错误， 故是无理数． 题型六 用反证法证明命题 16．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 17．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 【答案】③④①② 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 18．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立． 【详解】证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 题型七 等边三角形的判定 19．若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（  ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查平方的性质，等边三角形的判定，熟记平方的性质是解题的关键． 由平方和为零可得，即可判断该三角形的形状． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴，， 即且， ∴， ∴是等边三角形． 故选：A 20．已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为 三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵a，b，c为的三边长， ∴，即 ∵a是方程的解 ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 21．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由得到，然后等量代换得到，推出，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 题型八 等边三角形的判定和性质 22．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：依题意得 ，，米． ， ． ， 为等边三角形． 米． 故选：A． 23．如图，和均为等边三角形，M为中点，，若，，则的长度是 ． 【答案】 【分析】连接，以为边作等边，交于点N，过点D作于点H，连接，，根据等边三角形的性质可证明．设，通过角之间的关系可以得出，由直角三角形的性质可得．设，利用勾股定理构造方程，解出x的值，之后求出的长． 【详解】解：连接，以为边作等边，交于点N，过点D作于点H，连接，，如图所示： ∵为等边三角形，M为的中点， ∴，，，， 由勾股定理得，， ∵，为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴，N为的中点， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∵在直角，，，则， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， 在直角中，． 故答案为：． 24．如图，点是线段上的两个点，与交于点M．已知，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形、等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由推得，根据边角边推得三角形全等； （2）由推得，从而得到，结合推得是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形． 题型九 含30度角的直角三角形 25．已知在中，，，是边上的高．若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出即可．关键是求出，． 【详解】解：是高，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 26．如图，在中，D是上的一点，连接，在的延长线上取一点E，使得，若，，当是等边三角形时，则的长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点C作于点F，构造出含有角的直角三角形，算出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作于点F， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：13． 27．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)8 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 等腰三角形 题型一 格点图中画等腰三角形 1．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 3．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 题型二 找出图中的等腰三角形 4．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 6．如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 题型三 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 7．如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 9．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 题型四 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 10．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 11．在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 12．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求，两点坐标； (2)求的坐标； (3)在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 题型五 反证法证明中的假设 13．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 14．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设 ． 15．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：，也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 题型六 用反证法证明命题 16．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 17．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 18．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 题型七 等边三角形的判定 19．若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（  ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 20．已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为 三角形． 21．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 题型八 等边三角形的判定和性质 22．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 23．如图，和均为等边三角形，M为中点，，若，，则的长度是 ． 24．如图，点是线段上的两个点，与交于点M．已知，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 题型九 含30度角的直角三角形 25．已知在中，，，是边上的高．若，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 26．如图，在中，D是上的一点，连接，在的延长线上取一点E，使得，若，，当是等边三角形时，则的长是 ． 27．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $