1.1 三角形内角和定理（六大题型）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.1 三角形内角和定理 题型一 三角形内角和定理的证明 1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 2．如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 3．如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，得出因为，故，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 4．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 5．如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 6．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 7．如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，高线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟知各性质定理．先根据高线的性质和三角形内角和定理求出和的度数，根据角平分线的性质可求得的度数，从而得解． 【详解】解：是的高，，， ，， 是的角平分线， ， ． 故选：A． 8．如图，在中，平分，平分，，则 度． 【答案】80 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 由角平分线的定义可得，即；再运用三角形内角和定义以及可知，即，最后再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80． 9．如图，已知中，平分交于，于，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理． 根据三角形的内角和定理求得，，则，根据角平分线的定义即可求得的度数，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ， ． 题型四 三角形内角和定理的应用 10．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 11．小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出即可判断. 【详解】解：在中，， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 12．如图，中，平分交于点，，垂足为点，，交于点，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形外角与内角的关系及三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线得出，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分交于点， ． ∵， ∴， ∴． 题型五 三角形折叠中的角度问题 13．如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质和三角形内角和是，熟练掌握三角形内角和是是解题的关键． 先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 14．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则 °． 【答案】 【分析】设，，由折叠的性质可得和，进而证得，根据和可得和，进而得到，在中，根据三角形的内角和为，列出方程，解出、的值即可． 【详解】解：设，， 由折叠得：、， , ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 15．如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 题型六 三角形的外角的定义及性质 16．如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 17．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】  本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的 性质即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据判定即可； （2）根据三角形全等的性质可得，再根据外角的性质即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ； （2）解：， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $1.1三角形内角和定理 题型一三角形内角和定理的证明 1.“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在 一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是() B -.C A.三角形的内角和等于180° B.三角形的内角和等于360 C.直角三角形的两个锐角互余 D.三角形的外角等于与它不相邻的两个 内角的和 2.如图，∠B=46°，∠A+10°=∠1，AB∥CD,则∠ACD= 3.如图，在ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F, 且△ACD≌△BED. (1)若BC=11,AD=8,求CD的长度； (2)求证：∠AFE=∠ADB: (3)若S△BCF=20,S图边形CFED=8,则S。AEF= 题型二与平行线有关的三角形内角和问题 4.如图，直线a∥b,若∠1=40°，270，则∠3等于() a 6 A.30° B.40° C.50° D. 70° 5.如图，直线a∥b,∠1=135°，∠2=33°，则∠3的度数为 C 3 2 -b 6.如图，在ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC,若∠ADE=155°， 求∠B的度数. A o E B C 题型三与角平分线有关的三角形内角和问题 7.如图，BD,BE分别是ABC的高和角平分线，若∠C=45°，∠A=35°，则 ∠DBE的度数为() D A.5 B.15° C.20° D.25 8.如图，在ABC中，B1平分∠ABC,CI平分∠ACB，,LBIC=130°，则LA=一 度 9.如图，己知ABC中，AD平分∠BAC交BC于D,AE⊥BC于E,若∠ADE=80 ,∠EAC=40°，求∠B的度数. B 2 题型四三角形内角和定理的应用 10.ABC的三条边分别为a,b,c,下列条件不能判断ABC是直角三角形的是 () A.a2+b2=c2 B.∠A=∠B+∠C C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.a=5,b=12,c=13 11.小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上， 如图通过测量测得ABC中∠C=55°，LB=35°，则ABC是 三角形. (填“锐角”、“直角”或“钝角”) 12.如图，ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥AB,垂足为点E,BD, CE交于点F,己知LA=66°，LACB=54°，求∠EFD的度数. 题型五三角形折叠中的角度问题 13.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将DE对折，使点C落在 ABC外的点C处，若∠1=20°，则∠2的度数为() D A.80° B.90° C.100° D.110 3 14.折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带ABCD,将纸带沿EF 折叠后，点B,C分别落在点B,C的位置，C在AD上，再沿AB折叠，点B落 在点B位置，点B在CE上，若∠I=∠2，则1=一°· D G B 15.如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A处，若∠1+∠2=100，则 ∠A的度数是多少？ B 20 题型六三角形的外角的定义及性质 16.如图，ABC的角平分线AE与外角LBCD的平分线交于点E,若∠B=60°， ∠BAE=25°，则∠E的度数为() D A.35° B.32° C.30° D.25 17.如图，在Rt△ABC中，LC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,AE平分 ∠BAC交BD于点E,则∠AED的度数是 18.如图，∠A=∠D,∠B=∠E,AF=CD. D C (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若LA=25°，∠E=67°，求∠BCF的度数. 5