第二十二章 二次函数 期末复习检测试卷 2025—2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章二次函数期末复习检测试卷人教版2025—2026学年九年级数学上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴交点坐标为 D．函数的最大值是3 2．若点都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的最小值为，则一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．若抛物线 的顶点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为，其中，，且．以下结论：①；②；③当时，；④；⑤若方程（）的两根为、（），则，．其中正确结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x 3 4 5 6 7 8 … y m … 则表格中m的值是 ． 10．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 11．已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是 ． 12．抛物线与轴交于，两点，则的长为 ． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，且点B（﹣2，n）在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； （2）若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 14．如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板． （1）若仓库的面积为150平米，求AB． （2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积． 15．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）． （1）①求b，c的关系式； ②求pc的最大值； （2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围． 16．已知二次函数（a为常数，a≠0）． （1）当x＝2时，求该二次函数的值； （2）若二次函数与直线y＝﹣x+1有唯一交点，设，求T的值． 17．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 18．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．C 5．B 6．C 7．B 8．B 二、填空题 9．【解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为： 直线， ∴与关于对称轴对称， ∴， 故答案为：； 10．【解】解：∵把代入中，得：, ∴， ∴函数解析式为：， ∵， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴， ∵， ∴，， ①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴， 解得：， 且， 则有， 解得：； ②当，即时，函数在处取得最大值， ∴， 解得：，这与矛盾，故不成立； 综上可得：． 故答案为： ． 11．【解】解：由题意，∵， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵抛物线过， ∴对称轴是直线． 又∵，且抛物线过， ∴． ∴． ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ③当时，， ∴无解； 综上所述，或． 故答案为：或． 12．【解】解：把代入， 解得：， ∴， ∴令，解得：，， ∴， ∵， ∴的长为， 故答案为：7； 三、解答题 13．【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m＝0， 解得：m＝0或m＝1， 又∵m﹣1≠0，即m≠1． ∴当m＝0时，这个函数是一次函数． 此时，函数y＝﹣x+1， 将点B（﹣2，n）代入y＝﹣x+1得：n＝3； 令x＝0，则y＝1， 令y＝0，则x＝1， 故函数y＝﹣x+1与坐标轴的交点为（0，1）和（1，0）， 两交点的距离为， 故原点到直线的距离． 答：m的值为0，n的值为3，原点到直线的距离是； （2）根据二次函数的定义，得m2﹣m≠0， 解得m≠0且m≠1． ∴当m≠0且m≠1时，这个函数是二次函数． 答：m的值满足的条件m≠0且m≠1． 14．【解答】解：（1）设AB的长为x m，则AD＝（38+2﹣2x）m， 根据题意得，x（38+2﹣2x）＝150， 解得：x1＝15，x2＝5， 当x1＝15时，AD＝10，当x2＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去）， ∴AB＝15； （2）设仓库的面积为y平方米， 根据题意得，y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200， ∵a＝﹣2＜0，38+2﹣2×10＝20＜22， ∴当x＝10时，y最大值＝200， 答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米． 15．【解答】解：（1）①由题意，把A（1，2）代入y＝x2+bx+c， ∴1+b+c＝2． ∴b+c＝1． ②由（1）得：b+c＝1， ∴c＝1﹣b． 把（2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b， ∴p＝4+2b+1﹣b＝b+5． ∴pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣b2﹣4b+5＝﹣（b+2）2+9≤9． ∴pc的最大值为9． （2）∵抛物线为y＝x2+bx+c， ∴抛物线开口向上． ∵对于任何的实数t都有（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立， ∴点B（2，p）必为抛物线的最低点，即点B为抛物线的顶点． ∴对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大． ∵y1≥y2，点C（t，y1）AD（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点， ∴， ∴t≤1． 16．【解答】解：（1）把x＝2代入yax2﹣ax+2， 得：ya×22﹣2a+2＝2， ∴当x＝2时，该二次函数的值为2； （2）联立得：ax2﹣ax+2＝﹣x+1， 整理得：ax2+（﹣a+1）x+1＝0， ∵二次函数yax2﹣ax+2与直线y＝﹣x+1有唯一交点， ∴Δ＝（﹣a+1）2﹣4a×1＝0，即a2﹣4a+1＝0， ∴a2＝4a﹣1， ∴a3＝a（4a﹣1）＝4a2﹣a＝4（4a﹣1）﹣a＝15a﹣4， a4＝（4a﹣1）2＝16a2﹣8a+1＝16（4a﹣1）﹣8a+1＝56a﹣15， a7＝a4•a3＝（56a﹣15）（15a﹣4）＝840a2﹣449a+60＝840（4a﹣1）﹣449a+60＝2911a﹣780， ∴T ． 17．【解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 18．【解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； （2）解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $