特训06 二次函数——将军饮马与胡不归专练-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训06 二次函数——将军饮马与胡不归专练 【特训过关】 一、二次函数——将军饮马问题 1．抛物线经过点，． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点P，使的周长最小，求点P的坐标． 3．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．    （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 4．如图，二次函数的图象过点、点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）在对称轴上找一点M，使取得最大值，求出此时M的坐标． 5．如图，二次函数的图象的对称轴为直线l，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）作出点C关于对称轴l的对称点D． （2）在抛物线对称轴l上作点P，使的值最大． 6．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交y轴于点D，点M为x轴上一动点，点N为直线上一动点，当取最大值时，求点P的坐标以及此时的最小值． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点A． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线上一点，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最小值． 8．如图抛物线经过点，点，点． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D、E是直线上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形的周长的最小值及此时点D的坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于A、，与y轴交于点，点在抛物线上，如图1，连接、、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点E是y轴上一动点，点F为抛物线对称轴上一动点，点M为直线上一动点，连接，，，当时，求的最小值． 10．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是线段下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点H，点E和点F是直线上的两个动点（点F在点E的下方），且，连接，，当有最大值时，求的最小值． 二、二次函数——胡不归问题 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 （1）求抛物线的表达式； （2）若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 13．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． （1）求抛物线解析式； （2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，连结．点P为线段上方抛物线上的一动点，点E是线段上一动点，连结，，，当面积最大时，求的最小值． 15．有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作．，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题． 请根据上述信息解答下列问题： （1）在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为 ； （2）已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式； ②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接，求的最小值． 16．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A、B、D三点，其中A点坐标为，． （1）求抛物线解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值． 17．如图，二次函数与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C．若点E为线段上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得的和最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由． 18．已知二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 如图，点P是直线上方的抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，交x轴于点D．点M为线段上一动点，过点M作轴交抛物线的对称轴于点N，当四边形面积最大时，求的最小值． 7 学科网（北京）股份有限公司 $特训06 二次函数 将军饮马与胡不归专练 【特训过关】 一、二次函数一一将军饮马问题 1.抛物线y=-x2+bx+c经过点A-1,0),B(0,3). 本y (1)求这条抛物线的解析式： (2)如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP,BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标 【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)P点坐标为(1,2). 【解析】(1)解：把A(-1,0),B(0,3分别代入y=-x2+bx+c得 -1-b+c=0 c=3 b=2 解得 c=3 ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：设抛物线与x轴的另一个交点为C, :y=-x2+2x+3=-x-1+4, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1, 当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得x=-1,x2=3 .C3,0 连接BC交直线x=1于P点，如下图 1 B Al O C\x PA=PC, .PA+PB=PB+PC=BC, .此时AP+BP最小， 设直线BC的解析式为y=x+n, 把C3,0),B(0,3分别代入得 3m+n=0 n=3 m=-1 解得 n=3, ∴.直线BC的解析式为y=-x+3, 当x=1时，y=-x+3=2, P点坐标为(1,2). 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，与y 轴交于点C. B (1)求抛物线的表达式： (2)在对称轴上找一点P,使△APC的周长最小，求点P的坐标. 【答案1y=方--2：2点P价型标为引 123 2 【解析】(1)解：抛物线y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A-1,0),B(4,0)两点， 将这两点代入抛物线表达式可得： a-b-2=0 16a+4b-2=0 1 a= 3 b 2 123 '.抛物线的表达式为y=二x2 x-2 2”2 (2)抛物线y=x2-3x-2, 2 B 3 3 ∴其对称轴为x=一 2 12 2× 2 当x=0时，y=-2,所以C(0,-2), 殴点C关于对称铺x的对称点为C,则C3,-2乳 连接AC交对称轴于P, .PC=PC', ∴.AC+AP+CP=AC+AP+PC'≥AC+AC', .当A,P,C三点共线时，△APC的周长最小， 设直线AC的表达式为y=kx+m,把A-1,0),C(3,-2)代入可得： -k+m=0 3k+m=-2 3 1 k=一 2 m=- 2 ÷直线AC"的表达式为y=-x-1 2-2 P在对称轴x三)上，把r 代入y=- 11 2 。X一 22 得：y=- 1315 222=-4 .点P的坐标为 4 3.如图，己知直线y=一x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点， 3 且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1. B 0 (1)求抛物线的函数解析式： (2)在抛物线的对称轴上找一点P,使得PC+PB的值最小，求此时点P的坐标. 4 【解析】(1)解：将x=0代入y=x+4,得y=4,即C(0,4), 3 4 4 将y=0代入y=-x+4,得。x+4=0,解得x=-3,即A-3,0), 3 3 ,对称轴为直线x=一1，点A,B关于对称轴对称， B1,0), 设抛物线的函数解析式为y=ax-1)(x+3),将C(0,4)代入y=a(x-1(x+3),得-3a=4,解得 0s、4 3 y=x-训x+到= 4x2_8x 2x+4, 331 4 428 ∴.抛物线的函数解析式为y=- -x+4; 33 (2)解：，点A与点B关于直线x=-1对称，点P在直线x=-1上， ..PB=PA, 当点P是线段AC与抛物线对称轴的交点时，PC+PB=PC+PA的值最小，即PC+PB的值最小为线 段AC的长， 4 4 将x=-1代入直线4C的函数解武y三x+4,得少=×-+4氵 3 3 时P 4.如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象过点A-1,0)、点B(0,3). (1)求抛物线的顶点坐标； (2)在对称轴上找一点M,使MA-MC取得最大值，求出此时M的坐标. B A X 【答案】(1)(1,4)；(2)M的坐标为(1,6). 【解析】解：(1)y=-x2+2x+3=-(x-12+4, .二次函数的顶点坐标为1,4， 故答案为：(1,4； (2)函数的对称轴为直线x=1,点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，如图所示， AM'-M'C=AM'-BM≤AB, 连接AB与对称轴交于点M,此时AM-MC=AM-BM=AB, ∴.AM-MC的最大值为AB; 设直线AB解析式为y=kx+b的图象经过A,B两点， 5 -k+b=0 k=3 得 b=3 b=3 ∴.直线AB解析式为y=3x+3, 把x=1代入得，y=3×1+3=6, ∴.M的坐标为(1,6. M B 5.如图，二次函数y=-x-1+4的图象的对称轴为直线1，且与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图.（保留作图痕迹） 3 A -210 34 (1)作出点C关于对称轴1的对称点D (2)在抛物线对称轴1上作点P,使AP-CP的值最大. 【答案】作图见解析。 【解析】解：(1)如图所示： (2)如图所示： 6 4 3 D 卡C B 6.如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C. A 0 M (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥BC交y轴于点D,点M为x轴上一动 点，点N为直线BC上一动点，当CD取最大值时，求点P的坐标以及此时DM+MW的最小值. 【答案】1)y=-+x+2:(2)P2,3到，DM+MN的最小值为125 1 3 2 5 【解析】(1)解：，抛物线y=ax2+bx+2过点A-1,0)和点B(4,0), a-b+2=0 a=- 2 解得 16a+4b+2=0 b= 2 123 六该抛物线的解析式为y=一2X+(+2, 2 1 3 (2)解：把x=0代入抛物线y=-二x2+三x+2,得y=2, 2 2 .C(0,2）, 设直线BC的函数解析式为y=kx+t, 7 直线BC过点B(4,0)和点C(0,2), 1 4k+t=0 k=- 解得 2 t=2 t=2 ·直线BC的函数解析式为y=-} x+2. 1 ,PD∥BC, 1 .设直线PD的解析式为y= 2x+m, 1 aP2P+P+2在直线PD上 1 3 1 2p2+p+2=-2P+m 解得m=-2p+2p+2, 直线PD的解析式为y=一久x一2P+2p+2 令x=0.则y=p+2p+2, 00-2p+2》 C(0,2), c0-2p=0-2+22 ∴.当p=2时，CD有最大值，为CD=2, 此时P(2,3,D(0,4). 作点D(0,4)关于x轴的对称点D'(0,-4,连接D'M,DN, 8 D .DM =D'M, .∴.DM+NM=D'M+NM≥D'N, 过点D'作DH⊥BC于点H, 根据垂线段最短可得DN≥DH. B(4,0),C(0,2）,D'(0,-4), .B0=4,CD=6,BC=V42+22=2V5, S.cm=CD'BO=BC.D'H DH=CDB0-6×4125 BC255 DM+NM≥DW≥D'H=I25 12V5 .DM+MN的最小值为 5 9 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+br+c与x轴交于点B(-2,0)和点C(4,0),与y轴 交于点A. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PQ⊥AC,垂足为点Q,点E,F分别是x轴和 直线AC上一点，当PQ取得最大值时，求此时点P的坐标及OF+EF+EQ的最小值. 【答案】1)y=-】x+x+4:(2)P2,4),0F+EF+E0的最小值为V58. 2 【解析】1)解：抛物线的表达y=-x2+br+c与x轴交于点B-2,0)和点C(4,0), 2 y=- x+20x-4到=2+x+4. 2 1 (2)解：由抛物线的表达式y=-二x2+x+4知，当x=0时，y=4, 2 .点A0,4, ∴.OA=4, C4,0), ..OA=OC=4, ∴.∠CAO=45°， 设直线AC的表达式为y=kx+b, 4k+b=0 k=-1 ,解得： b=4 b=4 ∴.直线AC的表达式为y=-x+4, 过点P作PH∥y轴交AC于点H,则∠PHQ=∠CAO=45°，则PQ= 2PH· 9