甘肃省九师联盟2025-2026学年高一上学期1月联考数学试卷

2025-2026学年甘肃省九师联盟高一（上）联考数学试卷（1月份） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.命题“，”的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为(    ) A. B. C. D. 4.已知实数m，n满足，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设，，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心O距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点P距离地面(    ) A. 40米 B. 110米 C. 米 D. 米 8.已知幂函数在上单调递增，若实数a，b满足，则的最小值为(    ) A. B. 1 C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列说法正确的有(    ) A. B. C. 小于的角一定是锐角 D. 10.已知函数，则(    ) A. 当时，的单调递减区间为 B. 当时，的单调递增区间为 C. 的图象关于y轴对称 D. 当时，的定义域为R 11.已知函数的零点为m，函数的零点为n，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知角的终边经过点，且，则m的值是        . 13.已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则关于x的不等式的解集为        . 14.已知函数，则        ，在区间上的最大值与最小值之和为        . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 求下列各式的值： ； 16.本小题15分 已知，，求和的值； 已知，求和的值. 17.本小题15分 已知函数的部分图象如图所示. 求函数的解析式； 求在上的单调递增区间； 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求t的最小值. 18.本小题17分 已知函数且是奇函数，且 求a和m的值； 判断的单调性，并用定义证明； 解关于x的不等式 19.本小题17分 已知函数 若，求的值域； 若，函数，且，求的零点的个数，并证明； 若关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：由已知可得： 故选： 是由所有属于M或者属于N的元素所组成的集合． 本题考查了集合并集的求解，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：命题“，”的否定为“，”． 故选： 根据存在量词命题的否定是全称命题可得答案． 本题主要考查命题的否定，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：由题意，扇形的弧长为，圆心角为， 设扇形的半径为r，则，解得， 所以扇形的面积 故选： 根据弧长、半径与圆心角的关系，可得半径r的值，代入面积公式，即可得答案． 本题考查了扇形的弧长公式以及面积公式的应用，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：由于，故，，若，则，则，充分性成立， 若，则，则或，必要性不成立． 故选： 先得到若，则，充分性成立，再得到若，则或，必要性不成立，得到答案． 本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 5.【答案】B  【解析】解：由题意知，，， 又在R上单调递增，所以， 所以， 又，所以 故选： 化，，根据在R上单调递增，得，再根据对数函数的单调性，得出，即可得解． 本题考查了指数函数与对数函数的性质，是基础题． 6.【答案】B  【解析】解：由题意，可得， 可得 故选： 根据同角三角函数基本关系，结合诱导公式求解即可． 本题考查了同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 7.【答案】A  【解析】解：因为摩天轮的半径为60米，其中心O距地面的距离为70米， 又摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，且摩天轮上点P的起始位置在最高点处， 设转动过程中，点P离地面距离的函数为， 所以，，，， 又，即， 故，， 所以， 所以， 即摩天轮转动12分钟后点P距离地面40米． 故选： 设函数的表达式，即可根据周期以及最值点求解参数值，进而得函数表达式，代入即可求解． 本题考查三角函数的实际应用，属中档题． 8.【答案】B  【解析】解：因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故选： 先根据幂函数的定义和单调性求出m，得到，代入利用基本不等式求解即可． 本题主要考查了幂函数定理及性质的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于基础题． 9.【答案】ABD  【解析】解：，故A正确； ，故B正确； 小于的角包含负角如， 小于的角不一定是锐角，故C错误； 2rad为第二象限角， 则，故D正确． 故选： 利用弧度转角度的公式计算验证选项A，利用正切的诱导公式化简计算选项B，根据锐角的定义判断选项C，根据三角函数在象限内的符号判断选项 本题主要考查三角函数的符号，象限角，属于基础题． 10.【答案】AC  【解析】解：当时，， 由，解得或， 函数的定义域为， 函数开口向上，对称轴为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又，在上单调递减， 由复合函数的单调性值，函数在上单调递增，在上单调递减，故选项A正确，选项B错误； ，定义域关于原点对称， ， ， 即是偶函数，其图象关于y轴对称，故选项C正确； 当时，，定义域为，不是R，故选项D错误． 故选： 根据对数型复合函数的定义域与单调性可判断选项A，B；计算可得，再结合函数奇偶性的定义可判断选项C；举反例，不妨取，求的定义域可判断选项 本题主要考查对数函数的图象与性质，熟练掌握对数型复合函数定义域与单调性的求法，函数图象的奇偶性与对称性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 11.【答案】ABC  【解析】解：对于A：易知与在上单调递减，故在上单调递减， 又因为，，根据零点存在定理，可知零点，故A正确； 对于B：由题可知，，， ，在R上单调递增， 又因为，故，得，即，故B正确； 对于C：由B可知，，， 故，得，故C正确； 对于D：由B可知，在R上单调递增， ，，由零点存在定理可知 由C可知，则，因此， 令，解得，与矛盾，故D错误． 故选： 对于A，运用零点存在定理可判断；对于B，运用指对同构将转化为，得到，再根据函数的单调性得到，即可判断；对于C，将选项B代入，即可判断；对于D，运用零点存在定理求出n的范围，再将选项C代入选项D，解出n，即可判断． 本题主要考查了零点存在定理的应用，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：因为角的终边经过点，且， 所以，解得 故答案为： 根据三角函数定义和正切值得到m的方程，求解即可． 本题主要考查任意角三角函数的定义，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：因为是定义在R上的偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增， 又， 所以不等式等价于，即， 所以， 所以或，解得或， 所以原不等式的解集为 故答案为： 根据函数的单调性与奇偶性可得，再利用“脱f法”解不等式即可． 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 14.【答案】 1   【解析】解：函数， 则， 则 因，故 ， 因此 设在上的最大值为M，最小值为m， 由可知，若，则，得； 若，则，得， 综上所述 故答案为：； 先推导为常数，利用该常数计算含对数的函数值和，再结合常数分析区间上的最值的和． 本题主要考查函数的值，属于中档题． 15.【答案】   【解析】解：； 根据分数指数幂的运算法则及根式的性质进行计算； 利用对数的运算法则及换底公式进行计算． 本题主要考查了指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题． 16.【答案】， ，  【解析】解：由题意，可得， ； 因为， 所以， ， 利用同角三角函数的平方关系及商关系求解； 利用诱导公式求出正切值，再利用诱导公式及同角三角函数的商关系进行化简求值． 本题考查了诱导公式及同角三角函数的商关系在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 17.【答案】 和   【解析】解：由函数的部分图象知的最大值为2，最小值为， 可得， 可得的最小正周期，可得， 又因为， 可得，，解得，， 又，得， 可得； 令，， 解得，， 因为， 令，得， 又，可得； 令，得， 又，可得， 可得在上的单调递增区间为和； 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到， 又由题意，此时图象经过点，可得， 可得，， 解得，， 所以，即t的最小值是 根据最值以及周期即可求解； 利用整体法得到不等式组，解出后，再合理赋值求解即可， 利用函数图像的平移变换，即可结合图像经过求解． 本题考查了由的部分图象确定其解析式，函数的图象变换以及正弦函数的性质的应用，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题． 18.【答案】，  在R上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为且在R上单调递增， 所以，即，又，， 故， 即， 因此在R上单调递增   【解析】解：因为是奇函数， 所以， 即，解得， 当时， ， 可知， 所以是奇函数； 因为，即， 所以； 由可知，， 则在R上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为且在R上单调递增， 所以，即，又，， 故， 即， 因此在R上单调递增； 解不等式， 因为是奇函数， 所以， 又在R上单调递增， 故， 即， 所以， 所以，解得， 因此不等式的解集为 根据函数为奇函数和题中条件解得参数的值； 根据函数单调性的定义证明即可； 根据函数的奇偶性和单调性解得不等式的解集． 本题考查了奇函数、指数函数及对数函数的性质，转化了转化思想及利用定义法证明函数的单调性，属于中档题． 19.【答案】  的零点的个数为1个，证明如下： 若，，且， 所以， 又，所以，所以， 所以在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递增， 又在R上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递增， 当时，则， 所以，所以， 又， 所以， 故在无零点， 当时， ，， 所以存在，使， 又在上单调递增， 故的零点的个数为1个    【解析】解：若，， 因为，所以， 所以， 所以函数的值域为； 若，的零点的个数为1个，证明如下： 若，，且， 所以， 又，所以，所以， 所以在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递增， 又在R上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递增， 当时，则， 所以，所以， 又， 所以， 故在无零点， 当时， ，， 所以存在，使， 又在上单调递增， 故的零点的个数为1个； 因为，所以， 又对恒成立， 又在上单调递增， 所以恒成立， 故； 由， 得， 即， 所以， 所以， 当时，令， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，函数在上单调递增， 由关于x的不等式对任意的恒成立， 可得，显然无解； 若时， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 此时， 又， 所以不等式任意的恒不成立； 当时，在上单调递减， 所以， 又， 故不等式任意的恒不成立； 当时，函数在上单调递增， 所以， 又， 所以对任意的恒成立； 综上所述：a的取值范围为 利用对数函数的性质可求得函数的值域； 若，可得，可得的单调性，进而由根的存在性定理可求得的零点个数； 由题意可得，利用换元法，结合分类讨论可求得a的取值范围． 本题考查了指数函数、对数函数及对勾函数的性质，考查了转化思想及分类讨论思想、零点存在定理，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $