广东省梅州市兴宁市兴宁市实验学校、宁江中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. C解析：（偶数次幂为正）。 2. A解析：。 3. D解析：菱形对角线互相垂直平分，边长 = 。 4. C 5. B解析：黄金分割点满足 或 ，代入 得 或 。 6. A解析：一元二次方程有实根需满足 且 ，即 且 。 7. A解析：由相似三角形得 ，即 ，解得 。 8. C解析：量角器中心到直尺距离为半径，通过几何关系计算得半径 = 6。 9. D解析：中位线性质得 ，，面积比为 ，故D错误。 10. D解析：由抛物线开口向下（），对称轴在右（），与y轴交于正半轴（），结合选项分析得D正确。 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 3解析：设反比例函数为 ，代入 得 ，再代入 得 。 12. 12.5%解析：设月降价率为 ，则 ，解得 。 13. 50°解析：同弧所对圆周角是圆心角的一半。 14. 解析：由角平分线定理得 ，结合坐标求C点坐标，代入反比例函数求 。 15. 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 17.（1）40名，，（根据扇形图比例计算）；（2）144°（）；（3）画树状图，共有12种等可能结果，一男一女有8种，概率为 。 18.（1）作BC边中点D，连接AD即为中线；（2）利用网格构造相似三角形，使 。 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19.（1）设降价 元，则利润为 ，解得 或 （取更实惠的 ）；（2）利润函数为 ，化为顶点式得最大利润为2450元，故不能达到2500元。 20.（1），则 ，由垂径定理得 ；（2）证明 （ASA），得 。 21.（1）由正弦定理 ，得 ；（2）面积 ；（3）楼高 。 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22.（1）代入 、 得 ；（2）设 ，通过面积相等列方程解得 ；（3）旋转后点 坐标为 ，代入抛物线不满足，故不在图象上。 23.（1）逆等线 ； （2）证明 ，得 ，故 为逆等线；（3）由反比例函数对称性及逆等线性质，得 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026秋季学期九年级教学质量评估试题(数学科) 说明：本试卷共5页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分). 的值是( ) A. 2026 B.-2026 C.1 D.-1 2.我们知道，一些较大的数适合用科学记数法表示，小于1的正数也可以用科学记数法表示.则0.0000257用科学记数法表示为( ) B.25.7×10⁻⁶ C.0.257×1 D.257×10⁻⁷ 3.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( ) A. 10 B. 8 C. 6 D.5 4.下列四个物体的俯视图与给出的视图一致的是( ). 5.若C是线段AB的黄金分割点, 且AB=2, 则AC=( ) 或 6.关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是( ) 日 且a≠0 且a≠0 7.如图，某学校课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是( ) A. 12.8m B. 14.4m C. 20m D. 22.5m 8.如图，将直尺、含60°的直角三角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的半径是( ). A.3 C.6 9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是( ) C. △ADE∽△ABC 10.二次函数 的图象如图所示，下列结论正确的是：( ) A. abc>0 B. 3|a|+|c|<2|b| C. 2a+b>0 D. 若-1<m<n<1,则 二、填空题：(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.已知反比例函数的图象经过点(m，2)和(-2，3)，则m的值为 。 12.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由6400元降到了4900元，则平均每月降价的百分率为 。 13.同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是 。 14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(8，6)，∠AOB的平分线与 AB相交于点 C，反比例函数 经过点C，那么k的值为 。 15.矩形ABCD中, E是BC边上一动点, 则的值为 。 三、解答题(一)：(本大题共3小题，每小题7分，共21分). 16.计算: 17.为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年 学生读书行动实施方案》，于是远光中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系 列读书活动，学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周 末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 阅读时长 t(小时) 0≤t<1 1≤t<2 2≤t<3 频数 12 m n 6 请根据图表中提供的信息解答下面的问题： (1)此次调查共抽取了 名学生, m= , n= ; (2)扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是 度； (3)已知在D类的学生有4名初三学生，其中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率. 18.如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：要求：仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹. (1)在图甲中, 作△ABC的中线AD. (2)在图乙中,AB边上确定一点P,使得AP=3. (提示：利用构造全等或相似解题) 四、解答题(二)：(本大题共3小题，每小题9分，共27分). 19.奔赴苍穹，逐梦九天，我国神舟号飞船开创了中国航天的新里程，航天员出舱修复太阳翼取得圆满成功.某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出100个，平均每个可盈利20元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出10个.若设每个模型降价x(x>0)元. (1)要使该模型平均每天销售利润达2160元，每个模型应降价多少元? (2)该商店平均每天销售利润能达到2500元吗?请用你所学过的一元二次方程或者是二次函数的知识分析，并写出你的理由. 20.如图, AB是⊙O的直径, 点C在⊙O上, 半径OD⊥AC, DE⊥AB 于点E, 交弦AC于点F, 连接BD, AD. (1) 若∠ABD=25°, 求∠DAC的度数; (2)求证: DF=AF. 21.【探究活动】: 在Rt△ABC中,的对边分别是a，b，c，称是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即也就是 其实对于任意的锐角三角形ABC，上述结论仍然成立. 如图①, 过点A作AD⊥BC于点D, 则 在Rt△ABD中, 所以所以 在Rt△ACD中, 所以所以 同理可得 因此 即 因为abc≠0,每项都除以abc,得 即 任务： 【初步应用】： (1)如图②，在锐角三角形ABC中，则AC的长是 ; (2)求问题(1)中的面积. 【综合应用】： (3)如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼AB的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为点D处的俯角为B,C,D在一条直线上,且C,D两点的距离为100m,求楼AB的高度.(参考数据： 五、解答题(三) : (本大题共2小题,22题13分, 23题14分, 共27分) 22.如图，二次函数 的图像与x轴交于A、B(4,0)两点(A在B的左侧), 与y 轴交于点C(0.-4), 点P在抛物线上, 连接BC, BP. (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S₁,△DBP的面积为S₂,当时，求点P的坐标； (3)如图2，将线段BC绕点B顺时针旋转60°，得到线段BP，点P是否落在二次函数图象上? 23.如图1, 等腰△ABC中, 点E、F分别在腰AB、AC上, 连结EF, 若AE=CF, 则称EF为该等腰三角形的逆等线. (1) 如图1, EF是等腰△ABC的逆等线, 若EF⊥AB, AB=AC=5, AE=2, 求逆等线EF 的长; (2)如图2，若直角△DEF 的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC 底边BC上的中点，且点E、F分别在 AB、AC上, 求证: EF 为等腰△ABC的逆等线; (3)如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数 的图象交△AOB于点C、D, 若CD恰为△AOB 的逆等线, 过点C、D分别作CE⊥x轴于点E,DF⊥x轴于点F, 已知OE=2, 求OF 的长. 学科网（北京）股份有限公司 $